[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③

이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다.

 

#Expectation Value of Observables

확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고)

 

DEFINITION            Expectation Value

 

사건 X의 가능한 결과값 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다.

$$ E[X] = \sum _{i} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + \cdots $$

 

따라서 에너지의 expectation value도 같은 방식으로 구할 수 있다. 그러나 양자역학에서는 가능한 에너지 값의 개수가 무수히 많기 때문에, 위의 정의보다는 적분을 이용하여 구한다.

 

일단, 이전에 구한 결과들 중 몇 가지를 정리하자.

 

① 에너지 측정값은 Hamiltonian operator \(H\)의 eigenvalue \(E_n\)만 가능하고 각각 가능한 에너지에 대응되는 eigenvector \(\left| n \right\rangle\)는 basis vector이다.

$$ H\left| n \right\rangle = E_n \left| n \right\rangle $$

② \(\left| f \right\rangle\)는 basis vector들로 전개된다.

$$ \left| f \right\rangle = \sum _{n=1} ^\infty c_n \left| n \right\rangle $$

이 때, 계수 \(c_n\)은 \(\left| f \right\rangle\)과 basis vector의 inner product로 구한다.

$$ c_n = \left\langle n \left| f \right. \right\rangle $$

③ \(\left| f \right\rangle\)의 에너지를 측정했을 때, \(E_n\)이 나올 확률은 다음과 같다.

$$ p_n = \frac{\left| \left\langle n \left| f \right. \right\rangle \right|^2}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} $$

 

이제 위의 정의와 결과를 이용하면, \(\left| f \right\rangle\)의 에너지를 측정했을 때, 기대값은

$$ \begin{array}{rcl} E[H] & = & \sum _{n=1} ^\infty E_n p_n \\ & = & \sum _{n=1} ^\infty E_n \frac{\left| \left\langle n \left| f \right. \right\rangle \right|^2}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} \\ &=& \frac{1}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} \sum _{n=1} ^\infty E_n \left\langle n \left| f \right. \right\rangle \left\langle n \left| f \right. \right\rangle ^\ast \\ &=& \frac{1}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} \sum _{n=1} ^\infty E_n c_n \left\langle f \left| n \right. \right\rangle \\ &=& \frac{1}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} \sum _{n=1} ^\infty c_n \left\langle f \left| H n \right. \right\rangle \\ &=& \frac{1}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} \left\langle f \left| H \sum _{n=1} ^\infty c_n n \right. \right\rangle \\ &=& \frac{\left\langle f \left| Hf \right. \right\rangle}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} \end{array} $$

만약 \(\left| f \right\rangle\)이 normalized 되어있는 경우 \(\left\langle f \left| f \right. \right\rangle=1\)이므로

$$ E[H] = \left\langle f \left| Hf \right. \right\rangle = \int _0 ^L f^\ast (x) \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} f(x) \right] ~dx $$

가 된다. \(\left\langle f \left| Hf \right. \right\rangle\) 대신 \(\left\langle f \left| H \right| f \right\rangle\)로 표현하기도 한다. 이를 일반화하면,

 

THEOREM            Expectation Value of Observables

 

물리적 측정값 \(\mathcal{A}\)에 대한 Hermitian operator를 \(A\)라고 하자. Wave function \(\left| f \right\rangle\)의 \(\mathcal{A}\)에 대한 기대값은 다음과 같다.

$$ E[A] = \frac{\left\langle f \left| A \right| f \right\rangle}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} = \frac{ \int _{\mathrm{\small{정의역}}} f^\ast (x) A(f(x)) ~dx}{\int _{\mathrm{\small{정의역}}} f^\ast (x) f(x) ~dx} $$

특히 \(\left| f \right\rangle\)이 normalized된 경우

$$ E[A] = \left\langle f \left| A \right| f \right\rangle = \int _{\mathrm{\small{정의역}}} f^\ast (x) A(f(x)) ~dx $$

 

예를 들어, infinite potential well의 normalized wave function

$$ \left| f \right\rangle = \sqrt{\frac{30}{L^5}} x(x-L) $$

의 에너지 측정값의 기대값은

$$ E[H] = \int _0 ^L \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) \right) \right] ~dx $$

로부터 \(\frac{5\hbar^2}{2mL^2}\)임을 계산할 수 있다.

 

여기에서 주의할 것은 이 값은 에너지의 기대값이라는 것이다. 즉, 무수히 많이 측정한 결과의 평균값이라는 뜻이다. 딱 한번만 에너지를 측정한다면, 반드시 eigenvalue 값 중에서 하나로 나와야 한다. 기대값과 측정값을 혼동하지 말자.

 

Example

Expectation value를 이용하면, variance(분산)과 standard deviation(표준편차)도 구할 수 있다.

 

DEFINITION            Variance, Standard Deviation

 

사건 X의 가능한 결과값 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), ... 이면, X에 대한 variance를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathrm{var}(X) = E[(X-E[X])^2] $$

Expectation value의 성질로 부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ \mathrm{var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $$

또한 variance의 제곱근을 X에 대한 standard deviation이라고 부른다.

 

이 정의를 이용해 infinite potential well의 basis vector \(\left| n=1 \right\rangle\)의 위치와 운동량에 대한 표준편차를 구해보자.

 

먼저 위치의 variance를 구하기 위해

$$ E[X] = \left\langle n=1 \left| X \right| n=1 \right\rangle = \int _0 ^L \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L} \cdot x \cdot \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{\pi x}{L} ~dx $$

$$ E[X^2] = \left\langle n=1 \left| X^2 \right| n=1 \right\rangle = \int _0 ^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{\pi x}{L} \cdot x^2 \cdot \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{\pi x}{L} ~dx $$

를 계산하면,

$$ E[X] = \frac{L}{2} $$

$$ E[X^2] = \frac{L^2}{6}\left( 2- \frac{3}{\pi^2} \right) $$

을 얻는다. 위치의 기대값 \(E[X]\)가 \(\frac{L}{2}\), 즉 well의 가운데임을 확인할 수 있다. 이제, 위치의 variance를 구하면,

$$ \mathrm{var}(X) = \frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{\pi^2} \right) $$

 

이제 운동량의 variance를 구해보자.

$$ E[P] = \left\langle n=1 \left| P \right| n=1 \right\rangle = \int _0 ^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{\pi x}{L} \left[ -i\hbar \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{\pi x}{L} \right) \right] ~dx $$

로부터 0임을 계산할 수 있다. \(E[P^2]\)의 경우는 직접 적분을 할 수도 있지만,

$$ P^2 = 2mH $$

그리고 eigenvalue를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

$$ E[P^2] = \left\langle n=1 \left| 2mH \right| n=1 \right\rangle = \frac{\hbar^2 \pi^2}{L^2} $$

따라서 운동량의 variance는

$$ \mathrm{var}(P) = \frac{\hbar^2 \pi^2}{L^2} $$

 

Uncertainty Principle(불확정성 원리)에 따르면,

$$ (x\mathrm{의~표준편차}) \cdot (p\mathrm{의~표준편차}) \ge \frac{\hbar}{2} $$

를 만족한다. 위의 결과로부터 직접 계산하면,

$$ (x\mathrm{의~표준편차}) \cdot (p\mathrm{의~표준편차}) = \hbar \sqrt{\frac{\pi^2}{12} - \frac{1}{2}} $$

이므로 \(\hbar /2\)보다 크다는 것을 확인할 수 있다.