본문 바로가기
Physics/양자역학

[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③

by 피그티 2020. 5. 9.

이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다.

 

#Expectation Value of Observables

확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고)

 

DEFINITION            Expectation Value

 

사건 X의 가능한 결과값 x1, x2, x3, ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 p1, p2, p3, ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다.

E[X]=ixipi=x1p1+x2p2+x3p3+

 

따라서 에너지의 expectation value도 같은 방식으로 구할 수 있다. 그러나 양자역학에서는 가능한 에너지 값의 개수가 무수히 많기 때문에, 위의 정의보다는 적분을 이용하여 구한다.

 

일단, 이전에 구한 결과들 중 몇 가지를 정리하자.

 

① 에너지 측정값은 Hamiltonian operator H의 eigenvalue En만 가능하고 각각 가능한 에너지에 대응되는 eigenvector |n는 basis vector이다.

H|n=En|n

|f는 basis vector들로 전개된다.

|f=n=1cn|n

이 때, 계수 cn|f과 basis vector의 inner product로 구한다.

cn=n|f

|f의 에너지를 측정했을 때, En이 나올 확률은 다음과 같다.

pn=|n|f|2f|f

 

이제 위의 정의와 결과를 이용하면, |f의 에너지를 측정했을 때, 기대값은

E[H]=n=1Enpn=n=1En|n|f|2f|f=1f|fn=1Enn|fn|f=1f|fn=1Encnf|n=1f|fn=1cnf|Hn=1f|ff|Hn=1cnn=f|Hff|f

만약 |f이 normalized 되어있는 경우 f|f=1이므로

E[H]=f|Hf=0Lf(x)[22md2dx2f(x)] dx

가 된다. f|Hf 대신 f|H|f로 표현하기도 한다. 이를 일반화하면,

 

THEOREM            Expectation Value of Observables

 

물리적 측정값 A에 대한 Hermitian operator를 A라고 하자. Wave function |fA에 대한 기대값은 다음과 같다.

E[A]=f|A|ff|f=f(x)A(f(x)) dxf(x)f(x) dx

특히 |f이 normalized된 경우

E[A]=f|A|f=f(x)A(f(x)) dx

 

예를 들어, infinite potential well의 normalized wave function

|f=30L5x(xL)

의 에너지 측정값의 기대값은

E[H]=0L30L5x(xL)[22md2dx2(30L5x(xL))] dx

로부터 522mL2임을 계산할 수 있다.

 

여기에서 주의할 것은 이 값은 에너지의 기대값이라는 것이다. 즉, 무수히 많이 측정한 결과의 평균값이라는 뜻이다. 딱 한번만 에너지를 측정한다면, 반드시 eigenvalue 값 중에서 하나로 나와야 한다. 기대값과 측정값을 혼동하지 말자.

 

Example

Expectation value를 이용하면, variance(분산)과 standard deviation(표준편차)도 구할 수 있다.

 

DEFINITION            Variance, Standard Deviation

 

사건 X의 가능한 결과값 x1, x2, x3, ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 p1, p2, p3, ... 이면, X에 대한 variance를 다음과 같이 정의한다.

var(X)=E[(XE[X])2]

Expectation value의 성질로 부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

var(X)=E[X2](E[X])2

또한 variance의 제곱근을 X에 대한 standard deviation이라고 부른다.

 

이 정의를 이용해 infinite potential well의 basis vector |n=1의 위치와 운동량에 대한 표준편차를 구해보자.

 

먼저 위치의 variance를 구하기 위해

E[X]=n=1|X|n=1=0L2LsinπxLx2LsinπxL dx

E[X2]=n=1|X2|n=1=0L2LsinπxLx22LsinπxL dx

를 계산하면,

E[X]=L2

E[X2]=L26(23π2)

을 얻는다. 위치의 기대값 E[X]L2, 즉 well의 가운데임을 확인할 수 있다. 이제, 위치의 variance를 구하면,

var(X)=L212(16π2)

 

이제 운동량의 variance를 구해보자.

E[P]=n=1|P|n=1=0L2LsinπxL[iddx(2LsinπxL)] dx

로부터 0임을 계산할 수 있다. E[P2]의 경우는 직접 적분을 할 수도 있지만,

P2=2mH

그리고 eigenvalue를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

E[P2]=n=1|2mH|n=1=2π2L2

따라서 운동량의 variance는

var(P)=2π2L2

 

Uncertainty Principle(불확정성 원리)에 따르면,

(x )(p )2

를 만족한다. 위의 결과로부터 직접 계산하면,

(x )(p )=π21212

이므로 /2보다 크다는 것을 확인할 수 있다.