이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다.
#Expectation Value of Observables
확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고)
사건 X의 가능한 결과값
따라서 에너지의 expectation value도 같은 방식으로 구할 수 있다. 그러나 양자역학에서는 가능한 에너지 값의 개수가 무수히 많기 때문에, 위의 정의보다는 적분을 이용하여 구한다.
일단, 이전에 구한 결과들 중 몇 가지를 정리하자.
① 에너지 측정값은 Hamiltonian operator
②
이 때, 계수
③
이제 위의 정의와 결과를 이용하면,
만약
가 된다.
물리적 측정값
특히
예를 들어, infinite potential well의 normalized wave function
의 에너지 측정값의 기대값은
로부터
여기에서 주의할 것은 이 값은 에너지의 기대값이라는 것이다. 즉, 무수히 많이 측정한 결과의 평균값이라는 뜻이다. 딱 한번만 에너지를 측정한다면, 반드시 eigenvalue 값 중에서 하나로 나와야 한다. 기대값과 측정값을 혼동하지 말자.
Example
Expectation value를 이용하면, variance(분산)과 standard deviation(표준편차)도 구할 수 있다.
사건 X의 가능한 결과값
Expectation value의 성질로 부터 다음과 같이 계산할 수 있다.
또한 variance의 제곱근을 X에 대한 standard deviation이라고 부른다.
이 정의를 이용해 infinite potential well의 basis vector
먼저 위치의 variance를 구하기 위해
를 계산하면,
을 얻는다. 위치의 기대값
이제 운동량의 variance를 구해보자.
로부터 0임을 계산할 수 있다.
그리고 eigenvalue를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.
따라서 운동량의 variance는
Uncertainty Principle(불확정성 원리)에 따르면,
를 만족한다. 위의 결과로부터 직접 계산하면,
이므로
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