[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③

이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다.

 

#Expectation Value of Observables

확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고)

 

DEFINITION            Expectation Value

 

사건 X의 가능한 결과값 $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 $p_1$, $p_2$, $p_3$, ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다.

$$E[X]=\sum _i{x}_i{p}_i=x_1{p}_1+x_2{p}_2+x_3{p}_3+\cdots$$

 

따라서 에너지의 expectation value도 같은 방식으로 구할 수 있다. 그러나 양자역학에서는 가능한 에너지 값의 개수가 무수히 많기 때문에, 위의 정의보다는 적분을 이용하여 구한다.

 

일단, 이전에 구한 결과들 중 몇 가지를 정리하자.

 

① 에너지 측정값은 Hamiltonian operator $H$의 eigenvalue $E_n$만 가능하고 각각 가능한 에너지에 대응되는 eigenvector $|n⟩$는 basis vector이다.

$$H|n⟩=E_n|n⟩$$

② $|f⟩$는 basis vector들로 전개된다.

$$|f⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n|n⟩$$

이 때, 계수 $c_n$은 $|f⟩$과 basis vector의 inner product로 구한다.

$$c_n=⟨n|f⟩$$

③ $|f⟩$의 에너지를 측정했을 때, $E_n$이 나올 확률은 다음과 같다.

$$p_n=\frac{{\left|⟨n|f⟩\right|}^2}{⟨f|f⟩}$$

 

이제 위의 정의와 결과를 이용하면, $|f⟩$의 에너지를 측정했을 때, 기대값은

$$\begin{array}{rcl}E[H]& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n{p}_n\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\frac{{\left|⟨n|f⟩\right|}^2}{⟨f|f⟩}\\ & =& \frac{1}{⟨f|f⟩}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n⟨n|f⟩{⟨n|f⟩}^{\ast }\\ & =& \frac{1}{⟨f|f⟩}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n{c}_n⟨f|n⟩\\ & =& \frac{1}{⟨f|f⟩}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n⟨f|Hn⟩\\ & =& \frac{1}{⟨f|f⟩}⟨f|H\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}n⟩\\ & =& \frac{⟨f|Hf⟩}{⟨f|f⟩}\end{array}$$

만약 $|f⟩$이 normalized 되어있는 경우 $⟨f|f⟩=1$이므로

$$E[H]=⟨f|Hf⟩={\int }_0^L{f}^{\ast }(x)[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)]dx$$

가 된다. $⟨f|Hf⟩$ 대신 $⟨f\left|H\right|f⟩$로 표현하기도 한다. 이를 일반화하면,

 

THEOREM            Expectation Value of Observables

 

물리적 측정값 $\mathcal{A}$에 대한 Hermitian operator를 $A$라고 하자. Wave function $|f⟩$의 $\mathcal{A}$에 대한 기대값은 다음과 같다.

$$E[A]=\frac{⟨f\left|A\right|f⟩}{⟨f|f⟩}=\frac{{\int }_{\mathrm{정}\mathrm{의}\mathrm{역}}{f}^{\ast }(x)A(f(x))dx}{{\int }_{\mathrm{정}\mathrm{의}\mathrm{역}}{f}^{\ast }(x)f(x)dx}$$

특히 $|f⟩$이 normalized된 경우

$$E[A]=⟨f\left|A\right|f⟩={\int }_{\mathrm{정}\mathrm{의}\mathrm{역}}{f}^{\ast }(x)A(f(x))dx$$

 

예를 들어, infinite potential well의 normalized wave function

$$|f⟩=\sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L)$$

의 에너지 측정값의 기대값은

$$E[H]={\int }_0^L\sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L)[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}(\sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L))]dx$$

로부터 $\frac{5{\hslash }^2}{2m{L}^2}$임을 계산할 수 있다.

 

여기에서 주의할 것은 이 값은 에너지의 기대값이라는 것이다. 즉, 무수히 많이 측정한 결과의 평균값이라는 뜻이다. 딱 한번만 에너지를 측정한다면, 반드시 eigenvalue 값 중에서 하나로 나와야 한다. 기대값과 측정값을 혼동하지 말자.

 

Example

Expectation value를 이용하면, variance(분산)과 standard deviation(표준편차)도 구할 수 있다.

 

DEFINITION            Variance, Standard Deviation

 

사건 X의 가능한 결과값 $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 $p_1$, $p_2$, $p_3$, ... 이면, X에 대한 variance를 다음과 같이 정의한다.

$$\mathrm{var}(X)=E[(X-E[X]{)}^2]$$

Expectation value의 성질로 부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\mathrm{var}(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$

또한 variance의 제곱근을 X에 대한 standard deviation이라고 부른다.

 

이 정의를 이용해 infinite potential well의 basis vector $|n=1⟩$의 위치와 운동량에 대한 표준편차를 구해보자.

 

먼저 위치의 variance를 구하기 위해

$$E[X]=⟨n=1\left|X\right|n=1⟩={\int }_0^L\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}\cdot x\cdot \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}dx$$

$$E[X^2]=⟨n=1\left|X^2\right|n=1⟩={\int }_0^L\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}\cdot x^2\cdot \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}dx$$

를 계산하면,

$$E[X]=\frac{L}{2}$$

$$E[X^2]=\frac{L^2}{6}(2-\frac{3}{{\pi }^2})$$

을 얻는다. 위치의 기대값 $E[X]$가 $\frac{L}{2}$, 즉 well의 가운데임을 확인할 수 있다. 이제, 위치의 variance를 구하면,

$$\mathrm{var}(X)=\frac{L^2}{12}(1-\frac{6}{{\pi }^2})$$

 

이제 운동량의 variance를 구해보자.

$$E[P]=⟨n=1\left|P\right|n=1⟩={\int }_0^L\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}[-i\hslash \frac{d}{dx}(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L})]dx$$

로부터 0임을 계산할 수 있다. $E[P^2]$의 경우는 직접 적분을 할 수도 있지만,

$$P^2=2mH$$

그리고 eigenvalue를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

$$E[P^2]=⟨n=1\left|2mH\right|n=1⟩=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{L^2}$$

따라서 운동량의 variance는

$$\mathrm{var}(P)=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{L^2}$$

 

Uncertainty Principle(불확정성 원리)에 따르면,

$$(x\mathrm{의}\mathrm{표}\mathrm{준}\mathrm{편}\mathrm{차})\cdot (p\mathrm{의}\mathrm{표}\mathrm{준}\mathrm{편}\mathrm{차})\ge \frac{\hslash }{2}$$

를 만족한다. 위의 결과로부터 직접 계산하면,

$$(x\mathrm{의}\mathrm{표}\mathrm{준}\mathrm{편}\mathrm{차})\cdot (p\mathrm{의}\mathrm{표}\mathrm{준}\mathrm{편}\mathrm{차})=\hslash \sqrt{\frac{{\pi }^2}{12}-\frac{1}{2}}$$

이므로 $\hslash /2$보다 크다는 것을 확인할 수 있다.