[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②

잠시 Newton 역학에서 경사를 내려가는 물체 문제를 생각해보자.

 

 

Mets501 / CC BY-SA

 

물체에 작용하는 힘은 중력과 수직항력이다. 중력은

$$ \vec{F}_\mathrm{grav} = -mg ~\hat{y} $$

중력을 다시 경사면에 평행한 vector와 수직인 vector로 분리하면

$$ \vec{F}_\mathrm{grav} = -mg \cos \theta ~\hat{e}_1 + -mg \sin \theta ~\hat{e}_2 $$

이 때, 수직항력은 중력을 경사면에 수직인 vector로 분리한 크기와 같으므로, net force는

$$ \vec{F}_\mathrm{net} = -mg \sin \theta ~ \hat{e}_2 $$

가 된다. 문제를 풀어가는 방법들을 살펴보면, 일반적인 좌표계인 \(\hat{x}\), \(\hat{y}\)로 표현된 \(\vec{F}_\mathrm{grav}\)를 문제를 푸는데 적합한 새로운 좌표계 \(\hat{e}_1\), \(\hat{e}_2\)로 바꾸고, net force를 구하기 위하여 중력과 수직항력을 더했다. 여기에서 중요한 것은 "하나의 vector는 basis vector를 무엇으로 하느냐에 따라 표현법이 다르다"라는 점이다.

 

굳이 여기에서 기초 Newton 역학 문제를 살펴본 것은 양자역학의 기본적인 구조는 이것과 크게 다르지 않기 때문이다. 이제부터 infinite potential well 문제를 통해 양자역학의 기본적인 구조를 살펴보자.

 

#Vector Stucture of Wave Functions

1.2 상태 벡터 State Vectors에서 언급한 것과 같이, 하나의 wave function과 또 다른 wave function을 더한 함수는 새로운 wave function이 된다. 예를 들어, Schrödinger equation의 해인

$$ \begin{array}{lcl} \psi_1 (x) & = & \sin \frac{\pi x}{L} \\ \psi_2 (x) & = & \sin \frac{2\pi x}{L} \end{array} $$

의 합인 새로운 함수

$$  f(x) = \psi_1 (x) + \psi_2 (x) = \sin \frac{\pi x}{L} + \sin \frac{2 \pi x}{L} $$

역시 infinite potential well에 있는 입자 1개를 표현하는 wave function이 된다. 또한 \(\psi_1(x)\)을 3배한 후 더한 함수

$$ g(x) = 2 \cdot \psi_1 (x) + \psi_2 (x) = 3 \sin \frac{\pi x}{L} + \sin \frac{2 \pi x}{L} $$

역시 wave function이 된다. 즉, [선형대수학] 1.1 Vector Space에서 소개된 연산이 모두 wave function에도 적용된다.

 

SUPPLEMENTARY           Operations on Wave Functions

 

1. Wave function addition

 

  wave function \(f(x)\)와 wave function \(g(x)\)의 덧셈

$$ h(x) = f(x) + g(x) $$

  도 wave function이 된다.

 

2. Wave function scalar multiplication

 

  wave function \(f(x)\)의 scalar곱

$$ k(x) = c \cdot f(x) $$

  도 wave function이 된다.

 

3. Distribution law

 

  wave function의 덧셈, scalar곱은 분배법칙이 성립한다.

$$ \begin{array}{rcl} c \cdot [f(x) + g(x)] & = & c \cdot f(x) + c \cdot g(x) \\ [c+d] \cdot f(x) & = & c \cdot f(x) + d \cdot f(x) \end{array} $$

 

이러한 vector의 관점을 표현하기 위해서 양자역학에서는 wave function을 함수 대신 다음과 같이 표현한다.

$$ f(x) = \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) ~~~~ \rightarrow ~~~~ \left| f \right\rangle = \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) $$

이러한 표현법을 bra-ket notation이라고 부른다. Schrödinger equation의 해와 같이 quantum number가 있는 함수들은 보통 함수 이름 대신 quantum number로 vector를 표현한다.

$$ \psi_n (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n \pi x}{L} ~~~~ \rightarrow ~~~~ \left| n \right\rangle = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L} $$

예를 들면

$$ \left| n{\scriptstyle=3} \right\rangle = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{3\pi x}{L} $$

 

다시 한번 언급할 것은, wave function이 반드시 time independent Schrödinger equation의 해가 되는 것이 아니다.

$$ \left| f \right\rangle = \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) $$

에 대해서 \(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left| f \right\rangle\)을 직접 계산하면, \(\mathrm{constant} \cdot \left| f \right\rangle\)로 만들수 없다는 것을 확인할 수 있다.

 

#Basis Vectors of Wave Functions

그러면 time independent Schrödinger equation의 해는 어떤 특별한 의미를 가지는 것일까? 선형대수학에 따르면, \( \left| n \right\rangle \)은 Newton 역학에서 \(\hat{x}\), \(\hat{y}\)와 같이 wave function들의 basis vector가 된다. 따라서 중력을 basis vector들로 분해했듯이, 일반적인 wave function도 Schrödinger equation의 해들로 분해할 수 있다.

$$ \left| f \right\rangle = \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) = \sum _{n=1} ^\infty c_n \left| n \right\rangle $$

(자세히 살펴보면, 미적분학에서 배운 Fourier series임을 알 수 있다.--calculus,Fourier Series-- 참고) 문제는 \(c_n\)의 실제값을 어떻게 구하는가이다. 이를 구하기 위해서는 먼저 필요한 것이 있다.

 

DEFINITION            Inner Product of Wave Functions

 

Wave function \(\left| f \right\rangle\), \(\left| g \right\rangle\)에 대하여 연산

$$ \left\langle f \left| g \right. \right\rangle = \int _\mathrm{\small{정의역}} f^\ast (x) g(x) ~dx $$

를 \(f\)와 \(g\)의 inner product라고 부른다.

 

다음 연산법칙은 적분의 성질로부터 쉽게 증명할 수 있다. ([선형대수학] 4.1 Inner Product Space 참고)

 

SUPPLEMENTARY            Inner Product of Wave Functions

 

Wave function \(\left| f \right\rangle\), \(\left| g \right\rangle\), \(\left| h \right\rangle\), 상수 \(a\)에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \left\langle f \left| a \cdot g + h \right. \right\rangle = a \cdot \left\langle f \left| g \right. \right\rangle + \left\langle f \left| h \right. \right\rangle $$

$$ \left\langle a \cdot f + g \left| h \right. \right\rangle = a^\ast \cdot \left\langle f \left| h \right. \right\rangle + \left\langle g \left| h \right. \right\rangle $$

$$ \left\langle f \left| g \right. \right\rangle = \left\langle g \left| f \right. \right\rangle ^\ast $$

 

Inner product는 vector 내적의 일반화된 개념이다. 따라서 vector 내적에서 사용한 테크닉들이 거의 그대로 양자역학에서 사용된다. 특히 basis vector가 서로 직각일 경우 임의의 vector를 basis로 전개했을 때 계수는 vector와 basis vector를 내적하여 구할 수 있는데, 이는 양자역학에서도 똑같이 사용된다.

 

이를 위해 Schrödinger equation의 해 \(n_1\)과 \(n_2\)가 (개념상) 직각인지 확인해보자.

$$ \begin{array}{rcl} \left\langle n_1 \left| n_2 \right. \right\rangle & = & \int _0 ^L \frac{2}{L} \sin \frac{n_1\pi x}{L} \sin \frac{n_2 \pi x}{L} ~dx \\ & = & \frac{2}{L} \int _0 ^L -\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{L}(n_1+n_2) - \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{L}(n_1-n_2) ~dx \end{array}$$

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

$$ \left\langle n_1 \left| n_2 \right. \right\rangle = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mathrm{if~} |n1| \ne |n2| \\ 1 & \mathrm{if~} |n1| = |n2| \end{array} \right. $$

사실 같은 절대값의 quantum number는 wave function의 계수만 다르기 때문에(계수가 양수이냐 음수이냐만 다름) 같은 wave function이다. 따라서 앞으로는 infinite potential well의 quantum number는 자연수로 할 것이다.

 

THEOREM            Orthonormal Property of Solutions

$$ \left\langle n_1 \left| n_2 \right. \right\rangle = \delta_{n_1 n_2} = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mathrm{if~} n_1 \ne n_2 \\ 1 & \mathrm{if~} n_1 = n_2 \end{array} \right. $$

 

위 식으로부터 Schrödinger equation의 해들은 서로 직각이고, 길이가 1이라고 해석할 수 있다. 이제 wave function \(\left| f \right\rangle\)에 basis vector \(\left| m \right\rangle\)을 inner product해보자.

$$ \begin{array}{rcl} \left\langle m \left| f \right. \right\rangle & = & \left\langle m \right| \sum _{n=1} ^\infty c_n \cdot n \left. \right\rangle \\ & = & \sum_{n=1} ^\infty c_n \left\langle m \left| n \right. \right\rangle \\ & = & \sum_{n=1} ^\infty c_n \delta_{mn} \\ & = & c_m \end{array} $$

따라서 \(\left| f \right\rangle\)을 basis vector들로 전개했을 때 곱해지는 계수 \(c_n\)은 basis vector와의 inner product를 이용해서 구해진다는 것을 알 수 있다.

$$ c_n = \left\langle n \left| f \right. \right\rangle = \int _0 ^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n \pi x}{L} \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) ~dx $$

적분을 직접 계산하면

$$ \begin{array}{rcl} \left| f \right\rangle & = & \sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L) \\ & = & -\frac{8}{\pi^3}\sqrt{15} \left| n{\scriptstyle=1} \right\rangle + 0 \left| n{\scriptstyle=2} \right\rangle + -\frac{8}{\pi^3}\sqrt{\frac{5}{243}} \left| n{\scriptstyle=3} \right\rangle + \cdots \end{array} $$

[선형대수학] 1.4 Coordinate Representation에서 살펴본 것과 같이 basis vector가 정해지면, 일반적인 wave function은 행렬로 표현할 수 있다.

$$ \left| f \right\rangle = -\frac{8}{\pi^3}\sqrt{15} \left| n{\scriptstyle=1} \right\rangle + 0 \left| n{\scriptstyle=2} \right\rangle + -\frac{8}{\pi^3} \sqrt{\frac{5}{243}} \left| n{\scriptstyle=3} \right\rangle + \cdots ~~~~~~ \rightarrow ~~~~~~ \begin{bmatrix} -\frac{8}{\pi^3}\sqrt{15} \\ 0 \\ -\frac{8}{\pi^3}\sqrt{\frac{5}{243}} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

 

#Energy Measurement of Wave Functions

이제 wave function \(\left| f \right\rangle\)의 에너지를 측정하면 어떻게 되는지 알아보자.

 

먼저 Schrödinger equation의 해들이 각각의 E 값에 대응된다는 것을 기억하자. 즉, \(\left| n{\scriptstyle=1} \right\rangle\)은 에너지 \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\)에 대응되고, \(\left| n{\scriptstyle=2} \right\rangle\)은 에너지 \(\frac{4\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\)에 대응된다. \(\left| f \right\rangle\)의 에너지를 측정해도 이렇게 허용된 에너지 밖에 나오지 않는다. 대신 각 에너지 값이 나올 확률이 존재한다. 이 확률은 다음과 같이 주어진다.

$$ P[E_n] = \frac{\left| \left\langle n \left| f \right. \right\rangle \right|^2}{\left\langle f \left| f \right. \right\rangle} $$

위에서 본것과 같이 분자는 계수의 제곱이고, 분모는 normalization된 wave function이므로 1이다. 따라서 wave function

$$ \left| f \right\rangle = \frac{30}{L^5} x(x-L) $$

의 에너지를 측정하면, \(n=1\)인 에너지가 나올 확률이 \(\frac{960}{\pi^6}\)이고 \(n=2\)인 에너지가 나올 확률이 0, \(n=3\)인 에너지가 나올 확률이 \(\frac{320}{243\pi^6}\)이 된다. (1.4 Measures, Probabilities 참고)