(선형대수학) 1.4 Coordinate Representation

Representations of Vectors

 

Basis의 정의로부터 vector space의 임의의 vector는 basis vector들의 linear combination으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간 \( \mathbb{R}^3 \)에 대하여 basis를

$$ \mathcal{B} = \{~(1,0,0)~,~(1,1,0)~,~(0,0,1)~\} $$

로 구성하면, 임의의 vector \( (a,b,c) \)는

$$ (a,b,c) = [a-b] (1,0,0) + b(1,1,0) + c(0,0,1) $$

과 같이 basis vector들의 linear combination으로 표현된다. 이 때 linear combination의 계수는 주어진 vector와 basis에 의해 유일하게 결정된다. 이제, 또 다른 vector \( (d,e,f) \)와의 덧셈을 계산해보자. 우선, \( (d,e,f) \)를 basis의 linear combination으로 표현하면,

$$ (d,e,f) = [d-e] (1,0,0) + e (1,1,0) + f(0,0,1) $$

이므로, vector 연산의 분배법칙으로부터

$$ (a,b,c,)+(d,e,f) = [(a-b) + (d-e)] (1,0,0) ~+~ [b+e] (1,1,0) ~+~ [c+f](0,0,1) $$

을 얻는다. (좌변을 직접 계산한 결과를 basis로 전개하여도 같은 결과를 얻는다.) 이제, 두 vector의 basis 전개와 addition의 basis 전개를 살펴보면, linear combination의 계수들만을 더한 것이 vector의 addition과 같음을 알 수 있다. 비슷하게 scalar multiplication을 계산해보면

$$ t(a,b,c,) = [t(a-b)] (1,0,0) ~+~ tb(1,1,0) ~+~ tc(0,0,1) $$

와 같이 계수들에 곱셈을 해준 것이 vector의 scalar multiplication과 같다. 결국 하나의 vector에 대한 정보는 basis로 전개를 했을 때의 계수에 있고, vector들간의 연산도 계수들만으로 이루어 진다고 할 수 있다. 그러므로 basis가 고정되었다면 vector와 연산은 계수들만으로 표현 가능하다. 예를 들어,

$$ (a,b,c) \longleftrightarrow \begin{bmatrix} a-b \\ b \\ c \end{bmatrix} $$

로 표현한다면,

$$ (a,b,c) + (d,e,f) \longleftrightarrow \begin{bmatrix} a-b \\ b \\ c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d-e \\ e \\ f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a-b)+(d-e) \\ b+e \\ c+f \end{bmatrix} \longleftrightarrow (a+d,b+e,c+f) $$

$$ t(a,b,c) \longleftrightarrow t \begin{bmatrix} a-b \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t(a-b) \\ tb \\ tc \end{bmatrix} \longleftrightarrow (ta,tb,tc) $$

와 같이 계수들로 변환하고 연산을 한 뒤 다시 vector로 변환하여 vector의 연산을 대신할 수 있다. 이렇게 vector를 basis 전개의 계수를 이용하여 표현하는 것을 representaion(또는 coordinate)라고 한다.

 

DEFINITION            Matrix Representation of Vector

 

\(n\)-dimensional vector space \(V\)의 basis

$$ \mathcal{B} = \{ \vec{e}_1, \cdots, \vec{e}_n \} $$

에 대하여 vector \( \vec{v} \in V \)가

$$ \vec{v} = c_1 \vec{e}_1 + c_2 \vec{e}_2 + \cdots + c_n \vec{e}_n = \sum _{i=1} ^n a_i \vec{e}_i $$

이면 matrix

$$ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} $$

를 \( \vec{v} \)의 (\( \mathcal{B} \)에 대한) matrix representation이라고 부른다.

 

Basis가 바뀐다면 linear combination의 계수가 달라지므로 representation도 바뀌게 된다. Basis를

$$ \mathcal{C} = \{~(1,1,1)~,~(0,-1,0)~,~(0,0,-1)~\} $$

로 잡는다면, vector \( (a,b,c) \)를 basis의 linear combination으로 표현하면,

$$ (a,b,c) = a(1,1,1) ~+~ [a-b] (0,-1,0) ~+~ [a-c] (0,0,-1) $$

처럼 계수가 바뀐다. 이렇게 basis가 무엇이냐에 따라서 matrix representation이 달라지므로 vector \( \vec{v} \)의 representaion을 \( \left[ \vec{v} \right]_{\mathcal{B}} \)와 같이 basis를 표기한 기호로 표현하기도 한다. (주의할 것은 representation은 계수의 순서에 따라 행렬이 달라지므로 basis vector에 순서를 고정해야 한다. 이렇게 순서가 정해진 basis를 ordered basis라고 부른다.)

 

 

Change of Coodinates

수학에서는 같은 오브젝트 표현에 여러 방법들이 있을 때는 그들 사이에 변환 관계에 일정한 법칙이 있는지 살펴본다. 한 vector에 대하여 두 개의 basis에 대한 각각의 representation사이의 관계를 살펴보자. 우선 vector space를 \(n\) dimension으로 가정하고 basis를

$$ \mathcal{B} = \{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_n \} $$

$$ \mathcal{B}' = \{ \vec{e}_1',\vec{e}_2',\cdots ,\vec{e}_n' \} $$

이라고 하자. 이제 임의의 vector \( \vec{v} \)의 basis \( \mathcal{B} \)에 대한 linear combination을

$$ \vec{v} = a_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 + \cdots + a_n \vec{e}_n = \sum _{i=1} ^n a_i \vec{e}_i $$

이라고 하자. 이 때 basis vector 역시 vector이므로 basis \( \mathcal{B}' \)의 linear combination으로 표현이 가능하다. 그 linear combination을

$$ \vec{e}_i = r_{1i} \vec{e}_1' + r_{2i} \vec{e}_2' + \cdots + r_{ni} \vec{e}_n' = \sum _{j=1} ^n r_{ji} \vec{e}_j' $$

라고 한다면

$$ \vec{v} = \sum _{i=1} ^n a_i \vec{e}_i = \sum _{i=1} ^n a_i \left( \sum _{j=1} ^n r_{ji} \vec{e}_j' \right) = \sum _{j=1} ^n \left( \sum _{i=1} ^n r_{ji} a_i \right) \vec{e}_j' $$

가 된다. 이 때, \( \mathcal{B}' \)에 대한 representaion은

$$ \vec{v} = \sum _{j=1} ^n b_j \vec{e}_j' $$

이므로

$$ \vec{0} = \vec{v}+(-\vec{v}) =\sum _{j=1} ^n \left( \sum _{i=1} ^n r_{ji} a_i \right) \vec{e}_j' + \sum _{j=1} ^n -b_j \vec{e}_j' = \sum _{j=1} ^n \left( \sum _{i=1} ^n r_{ji} a_i - b_j \right) \vec{e}_j' $$

이다. Basis는 linear independent이므로, 각 \(j\)에 대하여 계수가 0이 되어야 하므로,

$$ \sum _{i=1} ^n r_{ji} a_i = b_j $$

이어야 한다. 이 식은 행렬의 곱셈에 대한 성분의 표현으로

$$ R = \begin{bmatrix} r_{11} & \cdots & r_{1n}  \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1} & \cdots & r_{nn} \end{bmatrix} $$

이라고 한다면,

$$ R \left[ \vec{v} \right] _\mathcal{B} = \left[ \vec{v} \right]_{\mathcal{B}'} $$

이 된다. 이 식이 representation 사이의 변환식이다. 위의 식들을 정리하면, \( R \)의 \( i \), \( j \)번째 성분은 변환하기 전 basis \( \mathcal{B} \)의 \(j\)번째 basis vector를 변환 후 basis \( \mathcal{B}' \)의 representation으로 표현할 때의 \(i\)번째 계수임을 알 수 있다. 또는 변환 전 basis vector의 representation을 순서대로 세로로 쓰면 행렬 \(R\)이 된다.

$$ R = \begin{bmatrix} [\vec{e}_1]_{\mathcal{B}'} & \cdots & [\vec{e}_n]_{\mathcal{B}'} \end{bmatrix} $$

 

 

Example: Matrix Representation of Polynomials of degree 2

 

2차 이하의 다항식들의 space \( P^2[x] \)의 basis를 \( \{ 1, x, x^2 \} \)로 잡으면, 임의의 vector \( c_0+c_1x+c_2x^2 \)의 representation은

$$ c_0 + c_1x+c_2x^2 \longleftrightarrow \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} $$

가 된다. 이 페이지의 처음에 예로 들었던 \( \mathbb{R}^3 \)의 representation과 비교를 해보면, vector 자체는 다르게 보이나 representation은 똑같은 형태를 가진다. Vector 연산이 어떻게 정의되든 representation의 연산(행렬 연산)으로 변환되므로 representation이 같다는 것은 space의 구조가 vector의 관점에서는 차이 없음을 의미한다. 자세한 것은 (선형대수학) 2.3 Isomorphism에서 더 자세히 살펴볼 것이다.