(선형대수학) 1.4-(2) Example: Spin

양자역학에서 물리적 시스템은 Hilbert space라고 부르는 특정한 vector space의 vector로 (좀더 자세히는 ray라고 불리는 equivalent class로) 표현된다. 여기에서는 물리적 시스템의 양자역학적 특징보다는 하나의 시스템이 vector의 언어로 어떻게 표현되는가를 확인한다. 이러한 시스템 중 가장 간단한 시스템인 하나의 입자에 대하여 스핀만 고려되는 경우를 살펴보자.

Quantum field theory에 의하면 하나의 spin \(n\) 입자는 \((2n+1)\)-dimensional vector space로 표현된다. 만약 basis가 주어진다면, vector addition과 scalar multiplication이 실제 물리적으로 어떤 의미를 가지는 연산인지 알지 못하더라도 임의의 시스템에 대한 vector addition과 scalar multiplication이 어떻게 표현되는지 알 수 있다. (다만, vector addition은 spin addition이 아니며 scalar multiplication은 ray의 관점에서는 물리적으로 의미가 없으므로 고려하지 않는다.) 양자역학에서는 vector를 \( \left| \phi \right\rangle \)와 같이 표기하며, 같은 방식으로 스핀 \(n\) 입자 하나에 대한 vector space의 basis를 \( \left| n \right\rangle \), \( \left| n-1 \right\rangle \), ..., \( \left| -n+1 \right\rangle \), \( \left| -n \right\rangle \)으로 표현한다. 따라서 spin \(n\) 입자 하나는

$$ \left| \phi \right\rangle = \sum _{k=-n} ^n \phi_k \left| k \right\rangle ~~\longleftrightarrow ~~ \begin{bmatrix} \phi_n \\ \phi_{n-1} \\ \vdots \\ \phi_{-n+1} \\ \phi_{-n} \end{bmatrix} $$

와 같은 행렬로 표현된다.

 

electron의 경우 spin \( \frac{1}{2} \) 입자이다. 따라서 electron 한개의 spin을 표현하는 vector space는 dimension은 2이다. 보통 basis를

$$ | \frac{1}{2} \rangle = \left| + \right\rangle = \left| \uparrow \right\rangle $$

$$ | -\frac{1}{2} \rangle = \left| - \right\rangle = \left| \downarrow \right\rangle $$

로 표현하고 첫번째 basis vector를 up spin, 두번째 basis vector를 down spin이라고 부른다. 일반적인 electron 한개의 spin은

$$ \left| \phi \right\rangle = s_+ \left| \uparrow \right\rangle + s_- \left| \downarrow \right\rangle $$

이 된다. 또는 Matrix representation

$$ \begin{bmatrix} s_+ \\ s_- \end{bmatrix} $$

으로 표현할 수 있다.