(선형대수학) 2.2 The Set of Linear Transformations

The Space of Linear Trnasformations

 

Linear Transformation도 함수의 일종이므로 함수의 addition과 scalar multiplication을 정의한 것과 같이 linear transformation의 addition과 scalar multiplication을 정의할 수 있다.

 

Vector space \(V\), \(W\)에 대하여, 함수 \(T\)와 \(U\)를 linear transformation이라고 하자. 이제 두 linear transformation의 addition \(T+U\)와 scalar multiplication \(cT\)를 다음과 같이 정의 한다. 

$$ (T+U)\mathbf{v}=T\mathbf{v}+U\mathbf{v} $$

$$ (cT)\mathbf{v}=c(T\mathbf{v}) $$

이렇게 정의된 linear transformation의 addition과 scalar multiplication도 다시 linear transformation이 된다.

$$ (T+U)(c\mathbf{a}+\mathbf{b}=T(c\mathbf{a}+\mathbf{b})+U(c\mathbf{a}+\mathbf{b})=c(T\mathbf{a}+U\mathbf{a})+T\mathbf{b}+U\mathbf{b}=c(T+U)\mathbf{a}+(T+U)\mathbf{b} $$

그러므로 linear transformation from \(V\) into \(W\)의 집합은 addition과 scalar multiplication에 대하여 닫혀있고 vector space의 조건을 만족하므로 vector space가 된다. 이 vector space를 \(L(V,W)\)로 표기한다.

 

THEOREM            The Space of Linear Transformations

 

Vector space \(V\)로부터 vector space \(W\)로의 linear transformation들의 집합

$$ L(V,W)=\{~T:V\to W~|~T \mathrm{~is~linear}~\} $$

는 vector space이다.

 

 

Basis of \(L(V,W)\)

 

이제 \(L(V,W)\)의 basis를 살펴보자. 다만, 여기에서는 \(V\)와 \(W\)가 finite dimensional인 경우만 살펴본다. infinite dimensional인 경우에는 무한급수에 대한 수렴의 문제가 있기때문에 이에 대한 논의는 뒤로 미룬다.

\(V\)의 basis를 \(\{\mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_n\}\), \(W\)의 basis를 \(\{\mathbf{b}_1,\cdots,\mathbf{b}_m\}\)라고 하자. 이제 다음과 같이 \(V\)의 basis vector에 정의된 linear transformation \(E_{ij}\)를 생각해보자.

$$ E_{ij}(\mathbf{a}_k)=\left\{ \begin{array} \mathbf{b}_j & \mathrm{if} & k=i \\ 0 & \mathrm{if} & k\ne i \end{array} \right. $$

이 linear transformation들은 \(L(V,W)\)의 basis가 된다. 우선 linearly independence를 확인해보면, \(L(V,W)\)의 zero vector는 zero transformation이므로 임의의 vector \(\mathbf{v}\in V\)에 대한 transformation

$$ \left(\sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^m c_{ij}E_{ij}\right)\mathbf{v} $$

가 0이기 위해서는 \(\mathbf{v}=\mathbf{a}_k\) 일 때에도 0이어야 하므로

$$ 0=\left(\sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^m c_{ij}E_{ij}\right)\mathbf{a}_k=\sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^m c_{ij}E_{ij}\mathbf{a}_k=\sum_{j=1} ^m c_{kj}\mathbf{b}_j $$

를 만족해야 한다. 마지막 등호와 basis의 정의로부터 모든 \(j\)에 대하여 \(c_{kj}=0\) 임을 알 수 있다. 첫 항의 basis vector도 임의로 정한 것이므로 결국 모든 \(k\)에 대해서도 \(c_{kj}=0\)이다. 그러므로 \(E_{ij}\)들은 서로 linearly independent임을 알 수 있다.

 

다음으로 임의의 linear transformation \(T\)가 \(E_{ij}\)의 linear combination으로 표현됨을 보이기 위해서 \(T\mathbf{a}_i\)가 \(W\)의 vector임을 이용하여 basis로 전개하면

$$ T\mathbf{a}_i = \sum_{j=1} ^m f_{ij} \mathbf{b}_j $$

라고 가정하자. 이제 \(E_{ij}\)의 linear combination

$$ \sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^m f_{ij} E_{ij} $$

를 임의의 vector \( \mathbf{v}=\sum_{k=1} ^n v_k \mathbf{a}_k\)에 작용시키면

$$ \left(\sum_{i=1} ^n\sum_{j=1} ^m f_{ij}E_{ij}\right)\mathbf{v}=\sum_{i=1} ^n\sum_{j=1} ^m f_{ij}E_{ij}\mathbf{v}=\sum_{i=1} ^n\sum_{j=1} ^m\sum_{k=1} ^n f_{ij}v_kE_{ij}\mathbf{a}_k=\sum_{j=1} ^m\sum_{k=1} ^n f_{kj}v_{k}\mathbf{b}_j=\sum_{k=1} ^n v_k T\mathbf{a}_k = T\mathbf{v} $$

이므로

$$ T=\sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^m f_{ij}E_{ij} $$

와 같이 linear combination으로 표현된다. 그러므로 \(E_{ij}\)는 \(L(V,W)\)의 basis가 되고 \(L(V,W)\)의 dimension은 \(nm\)이다.

 

 

The Algebra of Linear Operators

 

Linear operator도 기본적으로는 linear transformation의 특수한 형태이므로 linear operator on \(V\)의 집합 역시 vector space가 되며 경우에 따라 \(L(V,V)\) 대신 \(L(V)\)와 같이 쓰기도 한다.

Linear transformation은 함수이므로 이들의 합성 함수를 생각할 수 있다. \(T\in L(V,W)\), \(U\in L(W,X)\)라고 한다면 합성 함수 \(U\circ T\)는 \(V\)로부터 \(X\)로의 함수가 된다. 게다가 이 함수는 \(V\)로부터 \(X\)로의 linear transformation이 된다.

$$ (U\circ T)(c\mathbf{a}+\mathbf{b})=U(T(c\mathbf{a}+\mathbf{b}))=U(cT\mathbf{a}+T\mathbf{b})=cU(T\mathbf{a})+U(T\mathbf{b})=c(U\circ T)\mathbf{a}+(U\circ T)\mathbf{b} $$

즉, \(U\circ T\in L(V,X)\)이다. 보통 linear transformation의 합성 함수는 합성 함수 기호인 \(\circ\)을 생략하고 \(UT\)와 같이 표기한다.

 

2개의 Linear operator들을 합성하면 다시 linear operator가 된다. 여기에서 group이라는 새로운 수학적 구조가 정의된다. Group은 미분방정식과 해의 구조에 대하여 더 깊은 이해를 제공하지만, 다른 영역의 주제이므로 여기에서는 다루지 않겠다.