(선형대수학) 2.4 Dual Space

Linear Functionals

 

여기에서는 linear transformation 중에서 공역이 실수 집합(계속 이야기 하지만 여기에서는 field를 실수 집합으로 가정했다. 만약 field가 다른 것이라면 그 field가 공역)인 것들에 대하여 살펴볼 것이다. 이러한 linear transformation들을 특별히 linear functional이라고 부른다. Lagrangian mechanics나 calculus of variations에서

$$ S[L]=\int _a ^b L(x,\dot{x};t) ~dt $$

처럼 함수 자체를 독립변수처럼 받아 적분값을 주는 형태의 함수를 functional이라고 하는데, 함수의 집합도 vector space이고 적분도 linear transformation이므로 calculus of variations에서의 functional은 선형대수학에서 배우는 linear functional임을 알 수 있다.

 

DEFINITION            Linear Functional

 

Vector space \(V\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 linear tranformation을 \(V\)의 linear functional이라고 한다.

 

 

Dual Space

 

Linear functional도 linear transformation이기 때문에 이들의 집합 역시 vector space이다. 다만 \(L(V,\mathbb{R})\) 대신 \(V^*\)로 표기하고 \(V\)의 dual space라고 부른다.

 

DEFINITION            Dual Space

 

Vector space \(V\)의 linear funcional들의 집합

$$ V^*=\{ f:V\to \mathbb{R}~|~f(c\mathbf{a}+\mathbf{b})=cf(\mathbf{a})+f(\mathbf{b})\mathrm{~for~all~}\mathbf{a},\mathbf{b}\in V\} $$

를 \(V\)의 dual space라고 한다.

 

 

Dual Basis

 

이제 \(V^*\)의 basis를 구해보자. 이전 페이지와 마찬가지로 무한차원의 경우에는 무한과 수렴의 문제가 있으므로 이 페이지에서도 \(\dim{V}=n\)이라 가정하고 \(V\)의 basis를 \(\mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\cdots,\mathbf{e}_n\}\)이라고 하자.

 

\(V^*=L(V,\mathbb{R})\)이므로 (선형대수학) 2.2 The Set of Linear Transformations에서 본 것처럼 다음과 같이  \(V\)의 basis에 대한 함수값으로 정의되는 linear functional \(f_i\)들이 basis가 된다.

$$ f_i(\mathbf{e}_j)=\left\{\begin{array}{} 1 & \mathrm{if} & i=j \\ 0 & \mathrm{if} & i \ne j \end{array}\right. $$

흔히 우변을 줄여서 간단히 기호로 \(\delta_{ij}\)라고 쓴다. 이 기호를 Kronecker delta라고 한다.

$$ \delta_{ij}=\left\{\begin{array}{} 1 & \mathrm{if} & i=j \\ 0 & \mathrm{if} & i \ne j \end{array}\right. $$

 

(이런 표현에 익숙해 지기위해 다시한번 basis임을 증명한다. 집합 \(\mathcal{B}^*=\{f_1,\cdots,f_n\}\)이 \(V^*\)의 basis가 되기 위해서는 1. linearly independent와 2. 임의의 linear functional이 \(\mathcal{B}^*\)의 linear combination으로 표현됨을 보여야 한다.

 

1. 일단 linearly independent를 증명하기 위해서는

$$ 0=\sum _{i=1} ^n c_if_i $$

가 성립하면 계수 \(c_i\)가 항상 0임을 보여야 한다. 이때 \(0\)은 모든 vector를 0으로 보내는 linear functional을 의미한다. 이제 위 식에 임의의 basis vector \(\mathbf{e}_j\)를 넣으면

$$ 0=\sum_{i=1} ^n c_if_i(\mathbf{e}_j)=\sum_{i=1}^nc_i\delta_{ij}=c_j $$

이어야 한다.

 

2. 임의의 linear functional \(f\)가 \(\mathcal{B}^*\)의 linear combination으로 표현된다는 것을 보이기 위해

$$ d_i=f(\mathbf{e}_i) $$

라고 정의하면, 임의의 vector \(\mathbf{v}=\sum_{i=1}^nv_j\mathbf{e}_j\)에 대하여

$$ \sum_{i=1}^nd_if_i(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^nd_uf_i\left(\sum_{j=1}^nv_j\mathbf{e}_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd_iv_j\delta{ij}=\sum{i=1}^nd_iv_i=\sum_{i=1}^nv_if(\mathbf{e}_i)=f(\mathbf{v}) $$

이므로 결국

$$ f=\sum_{i=1}^nd_if_i $$

처럼 linear combination으로 표현된다.

 

그러므로 \(\mathcal{B}^*\)는 \(V^*\)의 basis가 된다.)

 

이를 특별히 basis \(\mathcal{B}\)에 대한 dual basis라고 부른다.

 

DEFINITION            Dual Basis

 

\(n\)-dimensional vector space \(V\)의 basis \(\mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n\}\)에 대하여 dual space \(V^*\)의 basis \(\mathcal{B^*}=\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\)가

$$ f_i(\mathbf{e}_j)=\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{} 1 & \mathrm{if} & i=j \\ 0 & \mathrm{if} & i \ne j \end{array}\right. $$

를 만족하는 경우 \(\mathcal{B}^*\)를 \(\mathcal{B}\)의 dual basis라고 한다.

 

직접적인 결론으로 \(n\)-dimensional vector space의 dual space는 \(n\)-dimensional이며 isomorphic함을 알 수 있다. 주의할 것은 dual basis는 원래의 vector space의 basis에 의해서 결정되는 것이지 독립적인 개념이 아니라는 것이다. \(V\)에서 \(\mathbf{e}_i\)이 vector 연산에서 하는 역할은 \(V^*\)에서 \(f_i\)가 똑같이 한다. 현재로서는 isomorhpism을 이렇게 설정해야할 특별한 이유가 보이지 않는데, 사실 \(\mathbf{e}_i\)와 \(f_{i+1}\)을 대응시키고 \(\mathbf{e}_n\)은 \(f_1\)에 대응시키는 것 또한 isomorphism이 된다. 이러한 isomorphism을 택하는 것이 어떤 의미인가는 나중에 (선형대수학) 4.4 Hermitian Adjoint of Operators에서 살펴볼 것이다.