(선형대수학) 2.1 Linear Transformation

Linear Transformation

 

수학에서는 한 종류의 집합 개념이 소개되면 그 다음에는 항상 그들 사이의 함수를 살펴보고 이들 중 특별한 특성을 가진 것들을 찾는 작업을 한다. 이제 vector space를 살펴봤으니 vector space간의 함수들 중 특별한 특성을 가진 함수인 linear transformation에 대하여 알아보자. (이후부터 vector는 \( \vec{a} \) 대신 \( \mathbf{a} \)와 같이 bold체로 표기하고 scalar는 \(a\)와 같이 보통글씨로 표기함)

 

DEFINITION            Linear Transformation

 

집합 \(V\)와 \(W\)를 vector space라고 하자. vector space \(V\)로부터 vector space \(W\)로의 함수 \( T:V\to W\)가 \(V\)의 모든 원소 \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\)에 대하여

$$ T(c\mathbf{a}+\mathbf{b})=c(T(\mathbf{a}))+T(\mathbf{b}) $$ 

이면 함수 \(T\)를 linear transformation from \(V\) into \(W\)라고 부른다.

 

이때 주의해야 하는 것은 좌변의 연산은 \(V\)에서 정의된 것이고 우변의 연산은 \(W\)에서 정의된 것이다. 좀더 구분해서 쓰자면, \(V\)에서 정의되는 연산을 \(+_{(V)}\)와 \(\cdot_{(V)}\)로 쓰고 \(W\)에서 정의되는 연산을 \(+_{(W)}\)와 \(\cdot_{(W)}\)로 쓴다면,

$$ T(c ~\cdot_{(V)}~ \mathbf{a} ~+_{(V)}~\mathbf{b})=c~\cdot_{(W)}~T(\mathbf{a})~+_{(W)}~T(\mathbf{b}) $$

로 표현할 수 있다. 이후에는 특별히 구분하지 않을 것이다.

보통 함수 값을 \(f(x)\)와 같이 표기하지만 선형대수에서는 \(T\mathbf{a}\) 와 같이 표기하기도 한다.

 

Examples

 

1. zero transforamtion

함수 \(T\)가 모든 \(V\)의 원소에 대하여 항상 \(W\)의 0 vector를 대응시키면,

$$ T(c\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{0}=c\mathbf{0}+\mathbf{0}=c(T\mathbf{a})+T\mathbf{b} $$

이므로 linear transformation이다.

2. identity map

함수 \(I:V\to V\)가 vector \(\mathbf{b}\)에 대하여 \(I\mathbf{v}=\mathbf{v}\)인 함수를 identity map이라고 부른다. Identity map도 linear transformation이다.

3. Line in Plane

함수 \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\)가 \(f(x)=kx\)와 같이 원점을 지나는 직선이면 linear transformation이다. 만약 함수가 직선이 아니면 linear transformation이 아니다. 또한 직선이라도 원점을 지나지 않으면 linear transformation이 아니다.

직선이 원점을 지난다는 것은 0에 대한 함수 값이 0이라는 것을 의미한다. vector로 바꿔서 말하면 zero vector의 함수 값은 zero vector라는 뜻이다. 이러한 성질은 모든 linear transformation에 대하여 성립한다.

$$ T\mathbf{a} = T(\mathbf{a}+\mathbf{0})=T\mathbf{a}+T\mathbf{0} $$

이므로 \(T\mathbf{0}=\mathbf{0}\)임을 알 수 있다. (앞의 zero vector는 \(V\)의 zero vector이고 뒤의 것은 \(W\)의 zero vector임을 주의) 또 다른 중요한 성질은 정의로부터 바로 알 수 있는 것으로, \(V\)에서의 linear combination에 대한 linear transforamtion은 \(W\)에서의 linear combination이 된다는 것이다.

4. Differentiation

미분 가능한 함수들의 집합 \(V\)와 연속인 함수들의 집합 \(W\)은 vector space이다. 이제 \(T:V\to W\)를 다음과 같이 정의하자. 미분 가능 함수 \(f\)에 대하여 \(Tf=\frac{df}{dx}\)라고 하면, 미분의 성질에 의해

$$ T(cf+g)=\frac{d}{dx}(cf+g)=c\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}=c(Tf)+Tg $$

이므로 \(T\)는 linear transformation이다. 양자역학의 momentum operator \(P\)는

$$ P = -i\hbar\frac{d}{dx} $$

와 같이 정의되는데(\(i\)는 \(\sqrt{-1}\), \(\hbar\)는 \(1.055\times10^{-34}\)값을 가지는 상수), 이 역시 linear transformation임을 알 수 있다.

3번의 예제와 같이, vector space \(V\)가 정의역이면서 동시에 치역인, linear transforamtion from \(V\) into \(V\)를 특별히 linear operator on \(V\)라고 부른다.