(선형대수학) 1.4-(1) Example: Rotations in Plane

2차원 평면 \( \mathbb{R}^2 \)에 대하여 standar basis는

$$ \mathcal{B} = \{ ~(1,0)~,~(0,1)~\} $$

이다. 첫번째 basis vector는 x축 단위 벡터, 2번째는 y축 단위 벡터이다. 이제, 다음 그림과 같이 basis를 standard basis에서 \(\theta\)만큼 회전한 vector들로 구성하자.

그림에서 보는 바와 같이 삼각함수의 정의로부터,

$$ \vec{e}_1 = ( \cos{\theta} , \sin{\theta} ) $$

$$ \vec{e}_2 = ( -\sin{\theta} , \cos{\theta} ) $$ 

임을 알 수 있다. 이제 representation의 변환행렬을 구하기 위해 standard basis vector들을 새로운 basis의 linear combination으로 표현하면,

$$ (1,0) = \cos{\theta}~ \vec{e}_1 ~-~ \sin{\theta} ~\vec{e}_2 $$

$$ (0,1) = \sin{\theta}~ \vec{e}_1 ~+~ \cos{\theta} ~\vec{e}_2 $$

이므로 변환행렬은

$$ R = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$

이 된다. 평면위의 점에 대한 standard basis에서의 coordinate와 새로운 basis에서의 coordinate는 그림과 같다.

 

 

새로운 coordinate는 기존의 coordinate와 다음과 같은 관계를 가진다.

$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

이 된다. 이 것이 일반적인 회전에 대한 공간상의 점의 변환행렬이다.

 

회전 방향에 주의해야 하는데, 보통 물리 문제에서 회전을 한다는 것은 공간 상의 점을 회전하는 것을 의미하는 경우가 많은데, 우리가 논의한 회전은 그림에서 보는 바와 같이 좌표축의 회전이므로, 두 경우의 방향은 서로 반대이다. 공간 상의 점의 회전은 representation의 변환이라기 보다는 다음에 나올 linear transformation으로 이해해야 한다. 다만 여기에서는 방향이 반대라는 점으로부터 \(\theta\) 대신 \(-\theta\)를 대입하면 공간 상의 점의 회전 변환

$$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$

을 얻을 수는 있다.