(선형대수학) 1.2 Linearly Independent

Linear Combination

 

고등학교 물리나 일반물리 과정에서 포물선 운동하는 물체의 속도를 x축, y축 성분으로 나눠서 분석한다. 또한 x축 단위 벡터와 y축 단위 벡터를 적절히 늘리고 더하여, 2차원 공간의 어떤 벡터라도 만들어 낸다. 이렇게 여러개의 vector에 적절한 scalar multiplication과 vector addition을 하여 새로운 vector를 만들어 내는 과정을 linear combination이라고 한다.

DEFINITION            Linear Combination

 

Vector space \(V\)의 원소 \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_n \)에 대하여,

$$ \vec{v} = \sum ^n _{i=1} c_i \cdot \vec{v}_i $$

를 vector \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_n \)의 linear combination이라고 한다.

예를 들어 vector space \( \mathbb{R}^3 \)에서 vector \( (1,3,2) \)는 \( (1,1,0) \)과 \( (0,1,1) \)의 linear combination으로 나타낼 수 있다.

$$ (1,3,2) = 1 \cdot (1,1,0) + 2 \cdot (0,1,1) $$

그러나 어떤 vector를 주어진 vector 모임의 linear combination으로 나타낼 때 그 계수가 유일한 것은 아니다. 예를 들어 \( (6,6,0) \)은 \( (1,1,0) \)과 \( (2,2,0) \)의 linear combination으로 나타낼 때

$$ (6,6,0) = 2(1,1,0) + 2(2,2,0) = 4(1,1,0) + 1(2,2,0) = \cdots $$

처럼 여러가지 경우가 가능하다.

 

 

Linearly Independent

 

그렇다면 0-vector인 \( (0,0,0) \)은 어떨까? 0-vector는 최소한 vector에 곱해지는 계수가 모두 0일 경우에 linear combination으로 표현되므로 어떠한 vector들의 모임을 이용해서도 linear combination으로 나타낼 수 있다. 위의에서 본것과 같이 0-vector를 나타내기 위한 linear combination의 계수가 하나의 조합만 가능할 수 있거나 아니면 여러가지 경우가 있을 수 있다.

 

0-vector를 \( (1,1,0) \)과 \( (0,1,1) \)의 linear combination으로 나타낼 경우 계수는 모두 0일 때만 가능하다. 이를 증명하기 위해

$$ (0,0,0) = x(1,1,0) + y(0,1,1) $$

이라고 하고 각 계수를 직접 구하기 위해 우변을 계산하면,

$$ (0,0,0) = (x,x+y,y) $$

가 된다. 이를 만족하기 위해서는 3가지 식 \(x=0\), \(x+y=0\), \(y=0\)의 연립방정식이 참이 되어야 한다.

 

그러나 \( (1,1,0) \)과 \( (2,2,0) \)의 linear combination으로 0-vector를 linear combination으로 표현하는데는 많은 경우수가 존재한다. 첫번째 예처럼 0-vector를 linear combination으로 나타내는데 계수가 0만 가능한 경우에 vector들이 서로 linearly independent하다고 하고, 두번째 경우처럼 여러가지 계수가 가능하면 linearly dependent하다고 한다.

 

DEFINITION            Linearly Independent

 

Vector space \(V\)의 vector \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_n \)에 대하여, 다음의 linear combination

$$ \vec{0} = \sum ^n _{i=1} c_i \cdot \vec{v}_i $$

일 때, 모든 계수 \( c_i \)가 0 만 가능할 경우 vector \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), ... , \( \vec{v}_n \)은 linearly independent하다고 부른다. 서로 linearly independent하지 않은 경우 vector들은 linearly dependent하다고 부른다.

 

Linearly dependent의 의미를 먼저 살펴보자면, 0-vector를 만드는데 있어 어느 한 계수가 0이 아닌 경우가 존재한다는 의미이다. 그 계수가 j번째에 있다면,

$$ \vec{v}_j = \sum _{i \ne j} -\frac{c_i}{c_j} \vec{v}_i $$

로 나타낼 수 있다. 즉, j번째 vector를 다른 vector들의 linear combination으로 나타낼 수 있음을 의미한다. 만약 linearly independent하다면 모든 계수가 0이어서 이러한 나눗셈은 할 수 없기 때문에 이러한 linear combination이 불가능하다. 즉, 어느 한 vector를 다른 vector들의 linear combination을 통해 만들어 낼 수 없다는 의미이다.

Vector sapce는 대부분이 무한집합이기 때문에 모든 원소를 직접 나열하는 것은 불가능하다. 그러나 몇몇 vector들의 linear combination으로 많은 vector들을 얻어낼 수 있다면, 이들만으로 vector space에 대한 많은 것을 표현할 수 있다. 최대한 적은 수의 vector들을 골라 내기 위해서 linearly independent는 핵심적인 역할을 한다.