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Mathematics/다양체(텐서)31

[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ② Lie Algebras Lie group \(G\) 의 원소 \(g\) 에 대하여, 다음과 같이 정의되는 map \(L_g:G\to G\) , \(R_g:G\to G\) 를 각각 \(g\) 의 left multiplication, right multiplication이라고 부른다.$$ \begin{eqnarray} L_gh &=& gh \\ \\ R_gh &=& hg \end{eqnarray} $$만약 \(G\) 의 vector field \(X\) 가 모든 group element \(g\) 에 대하여,$$ (L_g)_\ast X = X $$를 만족하면, \(X\) 를 left-invariant하다고 부른다. 이러한 left-invariant한 vector field들의 집합은 vector space가.. 2018. 10. 8.
[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ① Lie group은 양자역학에서 angular momentum과 같은 연속적인 대칭성을 이해하는데 핵심적인 이론적 토대를 제공한다. 이 페이지에서는 Lie group 그리고 Lie algebra의 아주 기초적인 개념만을 소개한다. Lie Groups Lie group은 group(--abstract algebra,group-- 참고)이면서 동시에 differential manifold(1.1 Differentiable Manifolds 참고)의 구조를 가지고 있는 집합이다. DEFINITION Lie Group Group \(G\) 가 finite-dimensional smooth manifold이고, group operation과 inverse가 smooth map이면 \(G\)를 Lie group이라.. 2018. 10. 7.
[다양체,텐서] 3.5 Exponential Maps, Normal Coordinates Riemannian manifold \((M,g)\)에 affine connection \(\nabla\)가 정의되면 exponential map이라는 특별한 함수를 정의할 수 있다. Exponential Maps \(p\) 를 \(M\) 위의 point라고 하고, \(v\) 를 \(p\) 에서의 tangent vector라고 하자. 그러면,$$ \begin{eqnarray} \gamma_v (0) & = & p \\ \\ \dot{\gamma}_v (0) & = & v \end{eqnarray} $$를 만족하는 geodesic \(\gamma_v : I \subset \mathbb{R} \to M\) 이 유일하게 존재한다. 이를 이용해, exponential map을 다음과 같이 정의한다. DEFINI.. 2018. 10. 6.
[다양체,텐서] 3.4-(1) Example: Geometry on Unit Sphere 반지름이 1인 구표면의 Levi-Civita connection과 여기로부터 얻어지는 구표면에서의 기하학에 대하여 살펴보자. The Levi-Civita Connection on Sphere 3.1-(2) Gradient of Function의 예제에서 살펴본 것과 같이 구표면에 대한 parametrization을$$ \Psi (\theta,\varphi) = (\sin\theta \cos\varphi , \sin\theta \sin\varphi, \cos\theta) $$로 택하면, Riemannian metric과 그 inverse를 구해보면,$$ \begin{eqnarray} g & = & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2{\theta} \end{arr.. 2018. 10. 5.
[다양체,텐서] 3.4 Levi-Civita Connection Affine connection은 Riemannian metric과는 독립적으로 정의되는 개념이기 때문에, parallel transport와 geodesic도 Riemannian metric과는 독립적인 개념이다. 그러므로 3차원 Euclidean space라고 하더라도 affine connection을 정의하는 것에 따라 유클리드 기하학과는 다른 기하학을 얻을 수 있다. 예를 들어 상수 \(\omega\)와 Levi-Civita symbol$$ \epsilon _{ijk} = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mathrm{for~even~permutation~of~}(1,2,3) \\ -1 & \mathrm{for~odd~permutation~of~}(1,2,3) \\ 0 & \.. 2018. 10. 5.
[다양체,텐서] 3.3 Parallel Transport, Geodesics Euclidean space에서는 유클리드 기하학의 공리들로부터, 하나의 직선을, 교차하는 다른 curve 위에서 평행하게 옮기는 것이 가능하다. Affine connection이 정의된 manifold에서도 이러한 것이 가능한데 이를 parallel transport라고 부른다. Parallel Vector Field along a Curve Affine connection \(\nabla\)가 정의된 manifold \(M\)의 differentiable curve \(\gamma:I\to M\)에 대하여, map \(X: I \to TM\)$$ X(t) \in T_{\gamma(t)}M $$를 \(\gamma\) 에 정의된 vector field라고 부른다. 가장 대표적인 예가 curve의 tang.. 2018. 9. 26.
[다양체,텐서] 3.2-(2) Coordinates Changes of Christoffel Symbols 수학에서는 tensor field를 vector field와 1-form에 대한 multilinear map으로 정의하는 반면에, 많은 상대성이론 텍스트북에서는 2.3 Tensor Fields에서 살펴본 계수의 coordinate transformation으로 tensor를 구별한다. 예를 들어 수학에서는, vector field와 1-form에 대한 함수 \(A: \mathfrak{X}(M) \times \Omega^1 (M) \to \mathbb{R}\) 가 임의의 실수 \(c\), vector field \(X\), \(Y\), 1-form \(\omega\), \(\mu\)에 대하여,$$ \begin{eqnarray} A(cX+Y,\omega) & = & c\cdot A(X,\omega) + A(.. 2018. 9. 26.
[다양체,텐서] 3.2-(1) Torsion Tensors 나사가 돌아가면서 전진하는 것과 같은 현상을 표현하기 위한 개념이 curve의 torsion이다. 이러한 torsion의 개념은 affine connection에 의하여 일반화 된다. DEFINITION Torsion Operator Smooth manifold \(M\)에 정의된 affine connection을 \(\nabla\)라고 하자. map \(T:\mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)\)$$ T(X,Y) = \nabla _XY - \nabla _YX - [X,Y] $$를 torsion operator라고 부른다. 만약 affine connection이 torsion-free, 즉,$$ T = 0 $$또는$$ \nabla _XY.. 2018. 9. 15.

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