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Mathematics/다양체(텐서)31

[다양체,텐서] 2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields 1.6 Integral Curve에서 살펴본 Lie derivative는 vector calculus에서 directional derivative의 일반화된 개념이다. Real-valued function과 vector field에 정의된 것과 마찬가지로 differentiable form에도 Lie derivative를 정의할 수 있다. Lie Derivatives of Tensor Fields Vector field의 Lie derivative를 정의할 때, local flow를 이용한 것과 같이 tensor field의 Lie derivative도 local flow를 이용하여 정의한다. DEFINITION Lie Derivative of Tensor Field Smooth manifold \(M\.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 2.4-(2) Example: Maxwell's Equations in 4D Spacetime 학부 1학기 내내 Maxwell's equations의 성립을 공부할만큼 물리학에서 Maxwell's equations은 아주 중요한 위치를 차지하고 있다. Maxwell's equation은 vector field의 미분인 divergence와 curl로 이루어져 있다. $$ \begin{array}{rcl} \nabla \cdot \mathbf{E} & = & \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \\ \nabla \cdot \mathbf{B} & = & 0 \\ \\ \nabla \times \mathbf{E} & = & - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \\ \nabla \times \mathbf{B} & = & \mu_0 \left( \ma.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl 3차원 공간에서 real-valued function에 대한 미분인 gradient, vector field에 대한 미분인 divergence와 curl은 전자기학 이론을 이해하는데 매우 중요하다. 3차원 공간에서 standard basis를 $$\{\vec{e}_x , \vec{e}_y, \vec{e}_z \}$$ 라고 하면, real-valued function \(f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) 의 gradient는 vector-valued fuction $$ \mathrm{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{e}_y + \frac{\partial f}{.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 2.4 Differential Forms, Exterior Derivatives Manifold의 성질과 기하학에서 antisymmetric tensor field는 중요한 역할을 한다. 이번 페이지에서는 differentiable antisymmetric tensor field인 differential form과 differential form에 정의되는 연산인 differential exterior derivative에 대하여 살펴본다. Differential Form Antisymmetric covariant \(k\)-tensor field를 \(k\)-form이라고 부른다. DEFINITION \(k\)-form Smooth manifold \(M\)에 대하여 Antisymmetric covariant \(k\)-tensor field를 \(k\)-form이라고 부른다. 즉.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 2.3 Tensor Fields Manifold의 기하학에 등장하는 curvature와 같은 오브젝트를 다루기 위해서는 tensor field를 정의해야 한다. 이 페이지에서는 manifold에서의 tensor field와 tensor의 coordinate change에 대하여 살펴본다. Cotangent Space \(n\)-dimentional differentiable manifold \(M\)에 정의 되는 real-valued differentiable function \(f:M \to \mathbb{R} \) 에 대하여, \(M\)의 point \(p\)에서의 differential \((df)_p\) 를 생각해보자. 1.4 Derivatives of Differentiable maps에서 정의한 것과 같이 \((df)_p\).. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 2.2 Symmertric Tensors, Antisymmetric Tensors, Exterior Algebra 이 페이지에서는 앞으로 많이 등장하게 될 antisymmetric tensor들을 살펴본다. 그리고 비슷한 개념의 symmetric tensor도 같이 살펴본다. 논의의 편의상 covariant tensor만 다루지만, contravariant tensor에도 똑같은 방식으로 적용된다. 이하에서는 vector space \(V\)의 basis를 $$ \{ e_1, e_2, \cdots , e_n\} $$ 그리고 dual space \(V^*\)의 dual basis를 $$ \{ e^* _1, e^* _2, \cdots, e^* _n \} $$ 으로 가정한다. Symmetric Tensors Symmetric tensor는 변수로 들어가는 vector들 중에서 2개의 위치를 바꿨을 때 같은 값이 나오는 t.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 2.1 Tensor Product 잠시 manifold에 대한 설명을 접어두고 일단 대수학적인 개념들에 대해 살펴보자. 두개의 vector space로 새로운 vector space를 얻을 수 있는 방법 중 하나가 tensor product를 이용하는 방법이 있다. 기하학에서는 tangent space와 dual space가 사용될 것이지만, tensor product는 일반적인 vector space들에서 정의된다. Tensor Product DEFINITION Tensor Product Vector space \(V\), \(W\)의 tensor product는 bilinear인 $$ (\vec{v}, \vec{w})~~~,~~\vec{v} \in V ~~,~~ \vec{w} \in W $$ 로 구성된 vector space이다. 즉.. 2018. 9. 8.
[다양체,텐서] 1.8 Orientability 3차원 Euclidean space에 있는 surface \(S\)에 대하여 vector field \(\mathbf{F}\)의 surface integration은 surface의 normal vector \(\mathbf{n}_1\)을 이용하여$$ \iint _S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_1 ~d\Sigma $$으로 정의한다. 그러나 surface의 normal vector를 잡는 방법은 두가지가 있다. See page for author [Public domain], via Wikimedia Commons 만약 normal vector를 \(\mathbf{n}_1\) 대신 \(\mathbf{n}_2\)를 이용하면,$$ \mathbf{n}_2 = -\mathbf{n}_1 $$.. 2018. 9. 8.

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