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Mathematics/다양체(텐서)31

[다양체,텐서] 3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives Euclidean space에서는, translation에 의하여 point \(p\)에서의 tangent space가 \(p\) 주변의 point \(q\)에서의 tangent space로 자연스럽게 연결되기 때문에 curve나 surface를 분석하기 위해서 사용되는 directional derivative가 자연스럽게 정의된다. 그러나 일반적인 manifold는 point \(p\)의 tangent space와 그 주변의 tangent space를 연결하는데 정해진 방법이 없다. 이렇게 tangent space 간의 연결 구조를 정의해 주는 것이 affine connection이다. Affine Connections DEFINITION Affine Connection Smooth manifold \.. 2018. 9. 15.
[다양체,텐서] 3.1-(3) Divergence of Vector Field Manifold에서 divergence는 volume form(2.6 Volume Forms 참고)과 Lie derivative(2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields 참고)을 이용해 정의된다. Divergences of Vector Fields DEFINITION Divergence of Vector Field (Manifold) \(M\)을 oriented manifold, n-form \(\omega\)를 \(M\)의 volume form이라고 하자. Vector field \(X\)의 divergence를 다음을 만족하는 real-valued function \(\mathrm{div}(X):M\to\mathbb{R}\) 으로 정의한다.$$ (\mathrm{div}.. 2018. 9. 14.
[다양체,텐서] 3.1-(2) Gradient of Function 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl에서 vector calculus에서 정의된 미분이 exterior derivative와 연관되어 있다는 것을 확인했었다. 이 페이지와 다음 페이지에 걸쳐서 manifold에서 gradient와 divergence를 정식으로 정의하고 local coordinates에서의 표현을 살펴본다. (Curl은 3차원에서만 정의되고 다른 차원에서는 일반화되지 못한다.) Raising and Lowering Index isomorphism \(n\)-dimensional smooth manifold \(M\)에 대하여, \(T_pM\)과 \(T_p ^* M\)은 isomorphic하므로, Riemannian metric \(\left\lan.. 2018. 9. 13.
(다양체,텐서) 3.1-(1) Length of Curve Vector calculus에서 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에 정의되는 curve는 1차원 변수 parametrization된다. 예를 들어, 구간\([0,4\pi]\)에 정의된 함수$$ \gamma (t) = (\cos{t},\sin{t},t) $$는 아래 그림과 같은 형태의 curve가 된다. By RobHar [Public domain], via Wikimedia Commons Differentiable curve \(\gamma:[a,b] \to \mathbb{R}^3\)$$ \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) $$의 길이를 구하기 위해서, \(t\)가 \(t'\)에서 \(t'+dt\)까지 변하는 동안의 \(\gamma\)의 작은 조각의 길이를 구.. 2018. 9. 13.
[다양체,텐서] 3.1 Riemannian Metric 3차원 Euclidean space에서 입자가 경로를 따라 움직일 때 움직인 거리, 속력 등은 자연스럽게 도입되는 좌표계인 Cartesian coordinate system으로부터 정의된다. 그러나 일반적인 manifold에서는 자연스럽게 도입되는 좌표계라는 것이 존재하지 않으므로, Riemannian metric이라는 새로운 구조를 추가적으로 정의해줘야 한다. Riemannian Manifold Riemannian metric을 정의하기 이전에, covariant 2-tensor에 정의되는 특성 몇가지를 살펴보자. DEFINITION covariant 2-tensor \(g\)가 임의의 vector \(v\), \(w\)에 대하여$$ g(v,w) = g(w,v) $$이면 \(g\)가 symmetric하.. 2018. 9. 11.
[다양체,텐서] 2.7 Stokes' Theorem 전자기학에서 사용되는 vector calculus의 중요한 theorem인 divergence theorem$$ \int _V (\nabla \cdot \mathbf{F}) ~dV = \oint _S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) ~dS $$는 divergence가 3차원 Euclidean space에서 2-form의 exterior derivative라는 점과 submanifold \(V\)와 그 submanifold \(S\), inclusion map \(i\)를 이용하면,$$ \int _V dF = \int _S i^\ast F $$로 표현할 수 있다. 또다른 정리 Stoke's theorem$$ \int _\Sigma (\nabla \times \mathbf{F})\cdo.. 2018. 9. 9.
[다양체,텐서] 2.6 Volume Forms \(n\)-dimensional manifold \(M\)에 대하여, 1-form의 basis가 $$ dx^1 , dx^2, \cdots, dx^n $$이므로 \((n+1)\)-form은 basis를 구성할 때 반드시 겹치는 index가 존재하므로 0이 된다. 따라서 \(n\)-form이 \(M\)에서 존재할 수 있는 가장 높은 degree의 differentiable form이다. 그래서 \(n\)-form을 특별히 volume form이라는 이름으로 부른다. 이러한 이름이 붙은 이유는 orientable manifold에서 volume이 \(n\)-form을 이용해 자연스럽게 정의되기 때문이다. 책에 따라, volume form을 모든 점에서 0이 아닌 \(n\)-form으로 정의하기도 한다.$$ \.. 2018. 9. 9.
[다양체,텐서] 2.5 Integrations on Manifolds 이 페이지에서는 \(n\)-dimensional smooth manifold에서 \(n\)-form의 적분을 살펴본다. Integration on Euclidean Space 일반적인 manifold에서의 적분을 살펴보기 이전에 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)에서 \(n\)-form의 적분을 정의하자. DEFINITION Support (Euclidean Space) \(\mathbb{R}^n\)에 정의된 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 에 대하여, \(f(x)\)가 0이 아닌 \(x\)들의 집합의 closure$$ \mathrm{supp~}f = \overline{\{~ x\in \mathbb{R}^n ~|~f(x)\ne 0 ~\}} $$를 .. 2018. 9. 8.

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