(다양체,텐서) 3.1-(1) Length of Curve

Vector calculus에서 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에 정의되는 curve는 1차원 변수 parametrization된다. 예를 들어, 구간

\([0,4\pi]\)에 정의된 함수

$$ \gamma (t) = (\cos{t},\sin{t},t) $$

는 아래 그림과 같은 형태의 curve가 된다.

By RobHar [Public domain], via Wikimedia Commons

Differentiable curve \(\gamma:[a,b] \to \mathbb{R}^3\)

$$ \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) $$

의 길이를 구하기 위해서, \(t\)가 \(t'\)에서 \(t'+dt\)까지 변하는 동안의 \(\gamma\)의 작은 조각의 길이를 구해보면, 선형근사

$$ \gamma(t'+dt) = \gamma(t') + \frac{d\gamma}{dt} (dt) = (x(t'),y(t'),z(t'))+ (\frac{dx}{dt}(t'),\frac{dy}{dt}(t'),\frac{dz}{dt}(t'))dt $$

이므로, 

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2} $$

임을 알 수 있다. 따라서, \(\gamma\)의 길이는

$$ \mathrm{Length}(\gamma) = \int _a ^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2} ~dt $$

로 구할 수 있다.

이때,

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2} $$

는 \(t\)에서 curve의 velocity vector

$$ \dot{\gamma}(t)=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}) $$

의 길이와 같으므로 velocity vector를 tangent vector로, 길이를 Riemannian metric으로 표현하면, manifold에서도 curve의 길이를 다음과 같이 정의할 수 있다.

DEFINITION            The Length of a Curve

Riemannian manifold \((M,\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle)\)에 대하여, differentiable curve \(\gamma:[a,b] \to M\) 의 length를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathrm{Length}(\gamma) = \int _a ^b \left\langle \dot{\gamma}(t),\dot{\gamma}(t) \right\rangle ~dt $$