[다양체,텐서] 2.6 Volume Forms

\(n\)-dimensional manifold \(M\)에 대하여, 1-form의 basis가 

$$ dx^1 , dx^2, \cdots, dx^n $$

이므로 \((n+1)\)-form은 basis를 구성할 때 반드시 겹치는 index가 존재하므로 0이 된다. 따라서 \(n\)-form이 \(M\)에서 존재할 수 있는 가장 높은 degree의 differentiable form이다. 그래서 \(n\)-form을 특별히 volume form이라는 이름으로 부른다. 이러한 이름이 붙은 이유는 orientable manifold에서 volume이 \(n\)-form을 이용해 자연스럽게 정의되기 때문이다.

책에 따라, volume form을 모든 점에서 0이 아닌 \(n\)-form으로 정의하기도 한다.

$$ \omega = \omega_p ~dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \mathrm{~~~~,~~~~} \omega_p \ne 0 \mathrm{~~for~~all~~}p \in M $$

이렇게 정의하는 이유는 모든 점에서 0이 아닌 \(n\)-form이 존재하는 경우 orientation을 설정하여 volume을 자연스럽게 정의할 수 있기 때문이다.

\(M\)의 atlas를 \((U_\alpha, \varphi_\alpha)\)라고 하자. 만약 모든 점에서 0이 아닌 \(n\)-form \(\omega\)가 존재하는 경우, chart \(U_\alpha\) 전체에서 \(\omega_p\)는 고정된 부호를 가진다.(부호가 다른 점이 존재한다면 0인 점이 존재해야 한다. (--calculus,intermediate theorem-- 참고) 만약 부호가 (-)이면, parametrization을 

$$ \varphi' _\alpha ( x^1,x^2, \cdots, x^n) = \varphi _\alpha (-x^1,x^2,\cdots,x^n) $$

으로 다시 설정하면 \(\omega_p\)의 부호가 (+) 값이 된다. 이제 모든 chart에서 \(\omega_p\)가 (+) 부호를 가지게 되므로 chart가 겹치는 영역 \(\varphi _\alpha (U_\alpha) \cap \varphi_\beta (U_\beta) \ne \emptyset\)에서

$$ \omega _\alpha = (\omega _\beta \circ \varphi _beta ^{-1} \circ \varphi_\alpha) (\det{(d(\varphi_\beta ^{-1} \circ \varphi_\alpha))}) $$

이고 \(\omega _\alpha\), \(\omega _\beta\) 모두 (+) 부호이므로

$$ \det{(d(\varphi_\beta ^{-1} \circ \varphi_\alpha))} > 0 $$

새롭게 설정한 atlas는 oriented atlas가 된다. 따라서 \(M\)은 orientable하다. (1.8 Orientability 참고)

반대로 \(M\)이 orientable한 경우, atlas를 oriented atlas로 잡고, chart에 대한 partition of unity \(\{\rho_i\}\)를 이용해 (2.5 Integrations on Manifolds 참고)

$$ \omega_i = \rho_i ~dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

을 정의하면, \(n\)-form

$$ \omega = \sum_i \omega_i $$

는 모든 chart에서 (+) 부호를 가지므로 모든 점에서 0이 아닌 \(n\)-form이 된다. 이를 요약하면 다음과 같다.

THEOREM            

 

\(n\)-dimensional manifold \(M\)이 orientable   \(\Longleftrightarrow\)   모든 점에서 0이 아닌 \(n\)-form이 존재

모든 점에서 0이 아닌 volume form이 존재하는 경우, \(M\)에 정의된 compactly supported smooth function \(f\)에 대하여 적분을 다음과 같이 정의한다.

$$ \int _M f = \int _M f\omega $$

\(M\)이 compact한 경우, \(M\)의 volume은 함수 \(1\)을 적분한 것과 같으므로 \(M\)의 volume을

$$ \mathrm{vol}(M)=\int _M 1 = \int _M \omega $$

로 정의한다.