[다양체,텐서] 2.6 Volume Forms

$n$-dimensional manifold $M$에 대하여, 1-form의 basis가 

$$d{x}^1,d{x}^2,\cdots ,d{x}^n$$

이므로 $(n+1)$-form은 basis를 구성할 때 반드시 겹치는 index가 존재하므로 0이 된다. 따라서 $n$-form이 $M$에서 존재할 수 있는 가장 높은 degree의 differentiable form이다. 그래서 $n$-form을 특별히 volume form이라는 이름으로 부른다. 이러한 이름이 붙은 이유는 orientable manifold에서 volume이 $n$-form을 이용해 자연스럽게 정의되기 때문이다.

책에 따라, volume form을 모든 점에서 0이 아닌 $n$-form으로 정의하기도 한다.

$$\omega ={\omega }_{p}d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^n,{\omega }_p\ne 0\mathrm{for}\mathrm{all}p\in M$$

이렇게 정의하는 이유는 모든 점에서 0이 아닌 $n$-form이 존재하는 경우 orientation을 설정하여 volume을 자연스럽게 정의할 수 있기 때문이다.

$M$의 atlas를 $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$라고 하자. 만약 모든 점에서 0이 아닌 $n$-form $\omega$가 존재하는 경우, chart $U_{\alpha }$ 전체에서 ${\omega }_p$는 고정된 부호를 가진다.(부호가 다른 점이 존재한다면 0인 점이 존재해야 한다. (--calculus,intermediate theorem-- 참고) 만약 부호가 (-)이면, parametrization을 

$${\phi }_{\alpha }^{\prime }(x^1,x^2,\cdots ,x^n)={\phi }_{\alpha }(-x^1,x^2,\cdots ,x^n)$$

으로 다시 설정하면 ${\omega }_p$의 부호가 (+) 값이 된다. 이제 모든 chart에서 ${\omega }_p$가 (+) 부호를 가지게 되므로 chart가 겹치는 영역 ${\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })\cap {\phi }_{\beta }(U_{\beta })\ne \mathrm{\varnothing }$에서

$${\omega }_{\alpha }=({\omega }_{\beta }\circ {\phi }_{b}et{a}^{-1}\circ {\phi }_{\alpha })(det(d({\phi }_{\beta }^{-1}\circ {\phi }_{\alpha })))$$

이고 ${\omega }_{\alpha }$, ${\omega }_{\beta }$ 모두 (+) 부호이므로

$$det(d({\phi }_{\beta }^{-1}\circ {\phi }_{\alpha }))>0$$

새롭게 설정한 atlas는 oriented atlas가 된다. 따라서 $M$은 orientable하다. (1.8 Orientability 참고)

반대로 $M$이 orientable한 경우, atlas를 oriented atlas로 잡고, chart에 대한 partition of unity $\{{\rho }_i\}$를 이용해 (2.5 Integrations on Manifolds 참고)

$${\omega }_i={\rho }_{i}d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

을 정의하면, $n$-form

$$\omega =\sum _i{\omega }_i$$

는 모든 chart에서 (+) 부호를 가지므로 모든 점에서 0이 아닌 $n$-form이 된다. 이를 요약하면 다음과 같다.

THEOREM            

 

$n$-dimensional manifold $M$이 orientable   $⟺$   모든 점에서 0이 아닌 $n$-form이 존재

모든 점에서 0이 아닌 volume form이 존재하는 경우, $M$에 정의된 compactly supported smooth function $f$에 대하여 적분을 다음과 같이 정의한다.

$${\int }_{M}f={\int }_{M}f\omega$$

$M$이 compact한 경우, $M$의 volume은 함수 $1$을 적분한 것과 같으므로 $M$의 volume을

$$\mathrm{vol}(M)={\int }_{M}1={\int }_M\omega$$

로 정의한다.