[다양체,텐서] 2.7 Stokes' Theorem

전자기학에서 사용되는 vector calculus의 중요한 theorem인 divergence theorem

$$ \int _V (\nabla \cdot \mathbf{F}) ~dV = \oint _S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) ~dS $$

는 divergence가 3차원 Euclidean space에서 2-form의 exterior derivative라는 점과 submanifold \(V\)와 그 submanifold \(S\), inclusion map \(i\)를 이용하면,

$$ \int _V dF = \int _S i^\ast F $$

로 표현할 수 있다. 또다른 정리 Stoke's theorem

$$ \int _\Sigma (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} ~dS = \oint _{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot ~d\mathbf{l} $$

은 curl이 1-form의 exterior derivative라는 점을 이용해

$$ \int _\Sigma dF = \int _{\partial \Sigma} i^\ast F $$

로 표현할 수 있다. (2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl, --calculus, divergence theorem--, --calculus, stokes' theorem-- 참고)

이러한 사실은 다음과 같이 일반화 된다.

THEOREM            Stokes' Theorem (Manifold)

Boundary가 있는 \(n\)-dimensional oriented smooth manifold \(M\)에 대하여, \(\omega\)를 compactly supported \((n-1)\)-form, \(\partial M\)을 \(M\)의 boundary, \(i:\partial M \to M\) 을 inclusion map이라고 하자. 그러면

$$ \int _M d\omega = \int _{\partial M} i^\ast \omega $$

증명 과정은 사실 vector calculus의 divergence theorem, Stokes' theorem과 거의 비슷하다. 사용되는 개념들과 표현만 manifold의 언어로 바꾸면 똑같다.

(증명)

\(M\)의 atlas \((U,\varphi)\)에 대하여, partition of unity \(\{\rho_i\}\)를 이용해,

$$ \omega = \sum_i \rho_i \omega $$

이므로, 적분식은

$$ \int _M d\omega = \sum_i \int _M d(\rho_i \omega) $$

$$ \int _{\partial M} i^\ast \omega = \sum_i \int _{\partial M} i^\ast ( \rho_i \omega) $$

이므로 결국

$$ \int _M d(\rho_i \omega) = \int _{\partial M} i^\ast(\rho_i \omega) $$

을 증명하면 된다. 따라서 \(\omega\)의 support가 하나의 chart의 subset이라고 가정하고 증명해도 무방하다.

$$ \varphi^\ast \omega = \sum_{i=1} ^n f_i ~dx^1 \wedge \cdots \wedge d\hat{x}^i \wedge \cdots \wedge dx^n $$

(\(d\hat{x}^i\) 는 곱해지지 않은 변수)

$$ \varphi^\ast d\omega = \sum_{i=1} ^n (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x^i} ~dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

이제 \(\omega\)의 support가 ① boundary \(\partial M\)과 겹치는 부분이 있는 경우와 ② \(\partial M\)과 겹치는 부분이 없는 경우로 나눌 수 있다.

① 일단 \(\omega\)의 support가 \(\partial M\)과 겹치는 부분이 없는 경우에는

$$ i^\ast \omega = 0 $$

이고 \(U=\varphi^{-1}(\mathrm{supp~}\omega)\)를 포함하는 rectangular \(I= a_i \le x^i \le b_i\) 영역에서

$$ \begin{eqnarray} \int _M d\omega & = & \int _U \sum_{i=1} ^n (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}  ~dx^1 \cdots dx^n \\ \\ & = & \sum_{i=1} ^n (-1)^{i-1} \int _I \frac{\partial f_i}{\partial x^i} ~dx^1 \cdots dx^n \\ \\ & = & \sum_{i=1} ^n (-1)^{i-1} \int _{\mathbb{R}^{n-1}} \left[ \int _{a_i} ^{b_i} \frac{\partial f_i}{\partial x^i} ~dx^i \right] ~dx^1 \cdots d\hat{x}^i \cdots dx^n \\ \\ & = & \sum_{i=1} ^n (-1)^{i-1} \int _{\mathbb{R}^{n-1}} (f_i(x^1,\cdots,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\cdots,x^n) - (f_i(x^1,\cdots,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\cdots,x^n) ~dx^1 \cdots d\hat{x}^i \cdots dx^n = 0 \end{eqnarray} $$

이므로(--Lebesgue,Fubini theorem--, --calculus,fundamental theorem of calculus-- 참고)

$$ \int _M d\omega = \int _{\partial M} i^\ast \omega $$

가 성립한다.

② \(\omega\)의 support가 \(\partial M\)과 겹치는 부분이 있는 경우, rectangular \(I\)를 \(i=1,\cdots,n-1\) 에서 \(a_i \le x^i \le b_i\) 으로 잡고, \(0 \le x^n \le b_n\) 으로 잡으면 (\(x^n = 0\) 부분이 boundary)

$$ \begin{eqnarray} \int _M d\omega & = & \int _U \left[ \sum_{i=1} ^n (-1) ^{i-1} \frac{\partial f_i}{\partial x^i} \right] ~dx^1 \cdots dx^n \\ \\ & = & \sum_{i=1} ^n (-1)^{i-1} \int _I \frac{\partial f_i}{\partial x^i} ~dx^1\cdots dx^n \\ \\ & = & 0 + (-1)^{n-1} \int _{\mathbb{R}^{n-1}} \left[ \int _0 ^{b_n} \frac{\partial f_n}{\partial x^n}~dx^n \right] ~dx^1 \cdots dx^{n-1} \\ \\ & = & (-1)^{n-1} \int _{\mathbb{R}^{n-1}} f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},b_n) - f_n (x^1,\cdots,x^{n-1},0) ~dx^1 \cdots dx^{n-1} \\ \\ & = & (-1)^{n} \int _{\mathbb{R}^{n-1}} f_n (x^1,\cdots,x^{n-1},0) ~dx^1 \cdots dx^{n-1} \end{eqnarray} $$

그리고 boudary에 대한 parameterization \(\tilde{\varphi}\)

$$ \tilde{\varphi}(x^1,\cdots,x^{n-1}) = \varphi((-1)^n x^1 , x^2. \cdots, x^{n-1},0) $$

을 정의하면, inclusion map의 local coordinate 표현은

$$ \hat{i} (x^1,\cdots,x^{n-1}) = ((-1)^n x^1,x^2,\cdots,x^{n-1},0) $$

이므로,

$$ i^\ast \omega = (-1)^n (f_n \circ \hat{i}) dx^1 \wedge dx^{n-1} $$

따라서,

$$ \begin{eqnarray} \int _{\partial M} i^\ast \omega & = & \int _{\tilde{\varphi}(\partial M)} (-1)^n (f_i \circ \hat{i}) dx^1 dx^{n-1} \\ \\ & = & (-1)^n \int _{\tilde{\varphi}(\partial M)} f_n \left( (-1)^n x^1, x^2, \cdots, x^{n-1},0 \right) ~dx^1 \cdots dx^{n-1} \\ \\ & = & (-1)^n \int _{\mathbb{R}^{n-1}} f_n (x^1,x^2, \cdots ,x^{n-1},0) ~dx^1 \cdots dx^{n-1} \end{eqnarray} $$

이므로 (--calculus,Jacobian-- 참고)

$$ \int _M d\omega = \int _{\partial M} i^\ast \omega $$

가 성립한다.

(증명 끝)