[다양체,텐서] 2.7 Stokes' Theorem

전자기학에서 사용되는 vector calculus의 중요한 theorem인 divergence theorem

$${\int }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F})dV={\oint }_S(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})dS$$

는 divergence가 3차원 Euclidean space에서 2-form의 exterior derivative라는 점과 submanifold $V$와 그 submanifold $S$, inclusion map $i$를 이용하면,

$${\int }_{V}dF={\int }_S{i}^{\ast }F$$

로 표현할 수 있다. 또다른 정리 Stoke's theorem

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$

은 curl이 1-form의 exterior derivative라는 점을 이용해

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}dF={\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{i}^{\ast }F$$

로 표현할 수 있다. (2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl, --calculus, divergence theorem--, --calculus, stokes' theorem-- 참고)

이러한 사실은 다음과 같이 일반화 된다.

THEOREM            Stokes' Theorem (Manifold)

Boundary가 있는 $n$-dimensional oriented smooth manifold $M$에 대하여, $\omega$를 compactly supported $(n-1)$-form, $\partial M$을 $M$의 boundary, $i:\partial M\to M$ 을 inclusion map이라고 하자. 그러면

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}{i}^{\ast }\omega$$

증명 과정은 사실 vector calculus의 divergence theorem, Stokes' theorem과 거의 비슷하다. 사용되는 개념들과 표현만 manifold의 언어로 바꾸면 똑같다.

(증명)

$M$의 atlas $(U,\phi )$에 대하여, partition of unity $\{{\rho }_i\}$를 이용해,

$$\omega =\sum _i{\rho }_i\omega$$

이므로, 적분식은

$${\int }_{M}d\omega =\sum _i{\int }_{M}d({\rho }_i\omega )$$

$${\int }_{\partial M}{i}^{\ast }\omega =\sum _i{\int }_{\partial M}{i}^{\ast }({\rho }_i\omega )$$

이므로 결국

$${\int }_{M}d({\rho }_i\omega )={\int }_{\partial M}{i}^{\ast }({\rho }_i\omega )$$

을 증명하면 된다. 따라서 $\omega$의 support가 하나의 chart의 subset이라고 가정하고 증명해도 무방하다.

$${\phi }^{\ast }\omega =\sum _{i=1}^n{f}_{i}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{\hat{x}}^i\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

($d{\hat{x}}^i$ 는 곱해지지 않은 변수)

$${\phi }^{\ast }d\omega =\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

이제 $\omega$의 support가 ① boundary $\partial M$과 겹치는 부분이 있는 경우와 ② $\partial M$과 겹치는 부분이 없는 경우로 나눌 수 있다.

① 일단 $\omega$의 support가 $\partial M$과 겹치는 부분이 없는 경우에는

$$i^{\ast }\omega =0$$

이고 $U={\phi }^{-1}(\mathrm{supp}\omega )$를 포함하는 rectangular $I=a_i\le x^i\le b_i$ 영역에서

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{M}d\omega & =& {\int }_U\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}d{x}^1\cdots d{x}^n\\ \\ & =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{\int }_I\frac{\partial f_i}{\partial x^i}d{x}^1\cdots d{x}^n\\ \\ & =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\left[{\int }_{a_i}^{b_i}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}d{x}^i\right]d{x}^1\cdots d{\hat{x}}^i\cdots d{x}^n\\ \\ & =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}(f_i(x^1,\cdots ,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\cdots ,x^n)-(f_i(x^1,\cdots ,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\cdots ,x^n)d{x}^1\cdots d{\hat{x}}^i\cdots d{x}^n=0\end{array}$$

이므로(--Lebesgue,Fubini theorem--, --calculus,fundamental theorem of calculus-- 참고)

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}{i}^{\ast }\omega$$

가 성립한다.

② $\omega$의 support가 $\partial M$과 겹치는 부분이 있는 경우, rectangular $I$를 $i=1,\cdots ,n-1$ 에서 $a_i\le x^i\le b_i$ 으로 잡고, $0\le x^n\le b_n$ 으로 잡으면 ($x^n=0$ 부분이 boundary)

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{M}d\omega & =& {\int }_U[\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}]d{x}^1\cdots d{x}^n\\ \\ & =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{\int }_I\frac{\partial f_i}{\partial x^i}d{x}^1\cdots d{x}^n\\ \\ & =& 0+(-1{)}^{n-1}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\left[{\int }_0^{b_n}\frac{\partial f_n}{\partial x^n}d{x}^n\right]d{x}^1\cdots d{x}^{n-1}\\ \\ & =& (-1{)}^{n-1}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{f}_n(x^1,\cdots ,x^{n-1},b_n)-f_n(x^1,\cdots ,x^{n-1},0)d{x}^1\cdots d{x}^{n-1}\\ \\ & =& (-1{)}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{f}_n(x^1,\cdots ,x^{n-1},0)d{x}^1\cdots d{x}^{n-1}\end{array}$$

그리고 boudary에 대한 parameterization $\tilde{\phi }$

$$\tilde{\phi }(x^1,\cdots ,x^{n-1})=\phi ((-1{)}^n{x}^1,x^2.\cdots ,x^{n-1},0)$$

을 정의하면, inclusion map의 local coordinate 표현은

$$\hat{i}(x^1,\cdots ,x^{n-1})=((-1{)}^n{x}^1,x^2,\cdots ,x^{n-1},0)$$

이므로,

$$i^{\ast }\omega =(-1{)}^n(f_n\circ \hat{i})d{x}^1\wedge d{x}^{n-1}$$

따라서,

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{\partial M}{i}^{\ast }\omega & =& {\int }_{\tilde{\phi }(\partial M)}(-1{)}^n(f_i\circ \hat{i})d{x}^{1}d{x}^{n-1}\\ \\ & =& (-1{)}^n{\int }_{\tilde{\phi }(\partial M)}{f}_n((-1{)}^n{x}^1,x^2,\cdots ,x^{n-1},0)d{x}^1\cdots d{x}^{n-1}\\ \\ & =& (-1{)}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{f}_n(x^1,x^2,\cdots ,x^{n-1},0)d{x}^1\cdots d{x}^{n-1}\end{array}$$

이므로 (--calculus,Jacobian-- 참고)

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}{i}^{\ast }\omega$$

가 성립한다.

(증명 끝)