[다양체,텐서] 2.5 Integrations on Manifolds

이 페이지에서는 $n$-dimensional smooth manifold에서 $n$-form의 적분을 살펴본다.

Integration on Euclidean Space

일반적인 manifold에서의 적분을 살펴보기 이전에 Euclidean space ${\mathbb{R}}^n$에서 $n$-form의 적분을 정의하자.

DEFINITION            Support (Euclidean Space)

 

${\mathbb{R}}^n$에 정의된 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 에 대하여, $f(x)$가 0이 아닌 $x$들의 집합의 closure

$$\mathrm{supp}f=\stackrel{―}{\{x\in {\mathbb{R}}^n|f(x)\ne 0\}}$$

를 $f$의 support라고 부른다. 

$n$-form $\omega$는 coordinate $x$를 이용해 표현하면

$$\omega =f(x)d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

이므로, $\omega$의 support는 $f(x)$가 0이 아닌 $x$들의 집합의 closure으로 정의할 수 있다. 여기에서는 수렴의 문제를 피하기 위해 support가 bounded되어 있다고 가정할 것이다.(즉, support는 compact, 이를 $\omega$가 compactly supported하다고 부른다.) 이제 $\omega$의 적분을 정의하자.

DEFINITION            Integration ($n$-form, Euclidean Space)

 

${\mathbb{R}}^n$의 $n$-form

$$\omega =f(x)d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

에 대하여, $\mathrm{supp}f\subset U$이면

$${\int }_U\omega ={\int }_{U}f(x)d{x}^{1}d{x}^2\cdots d{x}^n$$

만약, diffeomorphism (\varphi:V \subset \mathbb{R}^n \to U)에 의하여 change of basis가 이뤄진다면,

$${\phi }^{\ast }\omega =(detd\phi )(f\circ \phi )d{y}^1\wedge d{y}^2\wedge \cdots \wedge d{y}^n=(det\frac{\partial x^i}{\partial y^j})(f\circ \phi )d{y}^1\wedge d{y}^2\wedge \cdots \wedge d{y}^n$$

이므로 (2.4 Differential Forms, Exterior Derivatives 참고)

$${\int }_V{\phi }^{\ast }\omega ={\int }_V(det\frac{\partial x^i}{\partial y^j})(f\circ \phi )d{y}^{1}d{y}^2\cdots d{y}^n$$

와 같이 calculus에서 배운 적분의 change of basis와 같은 결과를 얻을 수 있다.(--calculus, integration,change of basis-- 참고)

Integration of $n$-form Supported in a Chart

만약 orientable $n$-dimensional smooth manifold $M$의 $n$-form $\omega$의 support가 하나의 chart $(U,\phi )$에 대하여,

$${\phi }^{-1}(\mathrm{supp}\omega )\subset U$$

즉, 하나의 chart에 대해서만 0이 아니라고 한다면, $\omega$의 적분은 $\phi$를 이용하여 $\omega$를 $U$로 pullback하여 Euclidean space에서의 적분으로 정의하면 된다.

$${\int }_M\omega ={\int }_U{\phi }^{\ast }\omega$$

(Example)

Interval $(0,2\pi )\times (0,2\pi )$에 대하여 parametrization

$$\phi (u,v)=((3+\cos v)\cos u,(3+\cos v)\sin u,\sin v)$$

은 2-torus ${\mathbb{T}}^2$를 나타낸다. Compact set $[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$은 2-torus를 완전히 cover하고 2차원에서 line의 넓이는 0이므로, 2-torus에서의 적분은 이 chart만으로 계산할 수 있다.

By DaveBurke [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY 2.5 ], from Wikimedia Commons

이제 2-torus에 정의되는 2-form

$$\omega =-ydx\wedge dz+xdy\wedge dz$$

을 적분해보자.

$$F^{\ast }\omega =(3+\cos v{)}^2\cos vdu\wedge dv$$

이므로 

$${\int }_{{\mathbb{T}}^2}\omega ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }(3+\cos v{)}^2\cos vdudv=12{\pi }^2$$

Partition of Unity

문제는 $\omega$가 여러 chart에 대해서 0이 아닐 경우, 적분을 어떻게 정의해야 하는가이다. $\omega$의 support가 아래의 그림처럼 2개의 chart에 걸쳐 있다고 가정해보자.

By Stomatapoll [CC BY-SA 3.0 ], from Wikimedia Commons

공통으로 들어가는 aqua색상의 영역에서는 partition of unity라는 테크닉을 사용한다.

By Oleg Alexandrov (self-made with MATLAB, tweaked in Inkscape) [Public domain], via Wikimedia Commons

위의 그래프는 모든 $x$에서 빨강, 노랑, 파랑, 초록 함수를 더하면 1이 된다. 함수 $f(x)$를 적분할 때, 어떤 이유에서 빨간색 함수의 support, 노랑색 함수의 support, 파랑색 함수의 support, 초록색 함수의 support에서만 적분값을 계산할 수 있을 때, 전체 적분은

$$\begin{array}{rcl}\int f(x)dx& =& {\int }_{\mathrm{supp}\mathrm{빨}\mathrm{강}}\mathrm{빨}\mathrm{강}(x)\cdot f(x)dx+{\int }_{\mathrm{supp}\mathrm{노}\mathrm{랑}}\mathrm{노}\mathrm{랑}(x)\cdot f(x)dx\\ \\ & & +{\int }_{\mathrm{supp}\mathrm{파}\mathrm{랑}}\mathrm{파}\mathrm{랑}(x)\cdot f(x)dx+{\int }_{\mathrm{supp}\mathrm{초}\mathrm{록}}\mathrm{초}\mathrm{록}(x)\cdot f(x)dx\end{array}$$

으로 계산할 수 있다. 이러한 빨강, 노랑, 파랑, 초록의 함수를 partition of unity라고 부른다.

DEFINITION            Partition of Unity

Smooth manifold $M$에 대하여, open set의 collection $\mathcal{V}$를 $M$의 open cover(open set들의 union이 $M$)이라고 하자. 다음의 조건들을 만족하는 smooth function ${\rho }_i$들을 open cover $\mathcal{V}$를 나누는 partition of unity라고 부른다.

1. 모든 $M$의 point $p$에 대하여, 유한한 갯수의 ${\rho }_i$에 대해서만 $U\cap \mathrm{supp}{\rho }_i\ne \mathrm{\varnothing }$이고

다른 ${\rho }_j$에 대해서는 $U\cap \mathrm{supp}{\rho }_j=\mathrm{\varnothing }$인 $p$의 neighborhood $U$가 존재

2. 모든 $M$의 point $p$에 대하여, $\sum _i{\rho }_i(p)=1$

3. $0\le {\rho }_i\le 1$

4. $\mathrm{supp}{\rho }_i\subset V$인 $\mathcal{V}$의 원소 $V$가 존재

(공백)

이러한 조건을 만족하는 함수들이 존재하는가? 보통 2개의 open set이 겹치는 영역에서 다음과 같이 정의되는 함수 $\mathrm{\Psi }(x)$(bump function이라고 부른다)와 $1-\mathrm{\Psi }(x)$를 이용하여 partition of unity를 구성한다.

$$\mathrm{\Psi }(x)=\{\begin{array}{cl}\exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right)& x\in (-1,1)\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}$$

n개의 open set이 겹치는 경우 (n-1)개의 $\frac{\mathrm{\Psi }(x)}{n-1}$와 $1-\frac{\mathrm{\Psi }(x)}{n-1}$로 구성할 수 있다. 아래 그림은 2차원에서의 bump function을 표현한 것이다.

$$\mathrm{\Psi }(x,y)=\{\begin{array}{cl}\exp \left(\frac{1}{x^2+y^2-1}\right)& x\in (-1,1)\times (-1,1)\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}$$

By JoshDif [CC BY-SA 4.0 ], from Wikimedia Commons

Integration on Manifold

이제 atlas $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$에 대하여, partition of unity ${\rho }_i$를 생각해보자. Partition of unity의 정의에 의해 $n$-form $\omega$는

$$\omega =\left(\sum _i{\rho }_i\right)\omega =\sum _i{\rho }_i\omega$$

이고 $\mathrm{supp}({\rho }_i\omega )\subset U_{{\alpha }_i}$이므로 $\omega$의 적분을

$${\int }_M\omega =\sum _i{\int }_M({\rho }_i\omega )=\sum _i{\int }_{U_{{\alpha }_i}}{\phi }_{{\alpha }_i}^{\ast }({\rho }_i\omega )$$

로 정의한다.