[다양체,텐서] 2.5 Integrations on Manifolds

이 페이지에서는 \(n\)-dimensional smooth manifold에서 \(n\)-form의 적분을 살펴본다.

Integration on Euclidean Space

일반적인 manifold에서의 적분을 살펴보기 이전에 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)에서 \(n\)-form의 적분을 정의하자.

DEFINITION            Support (Euclidean Space)

 

\(\mathbb{R}^n\)에 정의된 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 에 대하여, \(f(x)\)가 0이 아닌 \(x\)들의 집합의 closure

$$ \mathrm{supp~}f = \overline{\{~ x\in \mathbb{R}^n ~|~f(x)\ne 0 ~\}} $$

를 \(f\)의 support라고 부른다. 

\(n\)-form \(\omega\)는 coordinate \(x\)를 이용해 표현하면

$$ \omega = f(x) ~dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

이므로, \(\omega\)의 support는 \(f(x)\)가 0이 아닌 \(x\)들의 집합의 closure으로 정의할 수 있다. 여기에서는 수렴의 문제를 피하기 위해 support가 bounded되어 있다고 가정할 것이다.(즉, support는 compact, 이를 \(\omega\)가 compactly supported하다고 부른다.) 이제 \(\omega\)의 적분을 정의하자.

DEFINITION            Integration (\(n\)-form, Euclidean Space)

 

\(\mathbb{R}^n\)의 \(n\)-form

$$ \omega = f(x) ~dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

에 대하여, \(\mathrm{supp~}f \subset U\)이면

$$ \int _U \omega = \int _U f(x)~dx^1 dx^2 \cdots dx^n $$

만약, diffeomorphism (\varphi:V \subset \mathbb{R}^n \to U)에 의하여 change of basis가 이뤄진다면,

$$ \varphi^\ast \omega = (\det{d\varphi})(f \circ \varphi) ~dy^1 \wedge dy^2 \wedge \cdots \wedge dy^n = (\det{\frac{\partial x^i}{\partial y^j}}) (f\circ \varphi) ~dy^1 \wedge dy^2 \wedge \cdots \wedge dy^n$$

이므로 (2.4 Differential Forms, Exterior Derivatives 참고)

$$ \int _V \varphi^\ast \omega = \int _V ~(\det{\frac{\partial x^i}{\partial y^j}})(f \circ \varphi) ~dy^1 dy^2 \cdots dy^n $$

와 같이 calculus에서 배운 적분의 change of basis와 같은 결과를 얻을 수 있다.(--calculus, integration,change of basis-- 참고)

Integration of \(n\)-form Supported in a Chart

만약 orientable \(n\)-dimensional smooth manifold \(M\)의 \(n\)-form \(\omega\)의 support가 하나의 chart \((U,\varphi)\)에 대하여,

$$ \varphi^{-1}( \mathrm{supp~}\omega ) \subset U $$

즉, 하나의 chart에 대해서만 0이 아니라고 한다면, \(\omega\)의 적분은 \(\varphi\)를 이용하여 \(\omega\)를 \(U\)로 pullback하여 Euclidean space에서의 적분으로 정의하면 된다.

$$ \int _M \omega = \int _U \varphi^\ast \omega $$

(Example)

Interval \((0,2\pi) \times (0,2\pi)\)에 대하여 parametrization

$$ \varphi(u,v) = ((3+\cos{v})\cos{u},(3+\cos{v})\sin{u},\sin{v}) $$

은 2-torus \(\mathbb{T}^2\)를 나타낸다. Compact set \([0,2\pi] \times [0,2\pi]\)은 2-torus를 완전히 cover하고 2차원에서 line의 넓이는 0이므로, 2-torus에서의 적분은 이 chart만으로 계산할 수 있다.

By DaveBurke [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY 2.5 ], from Wikimedia Commons

이제 2-torus에 정의되는 2-form

$$ \omega = -y ~dx\wedge dz + x ~dy\wedge dz $$

을 적분해보자.

$$ F^\ast \omega = (3+\cos{v})^2 \cos{v} ~du \wedge dv $$

이므로 

$$ \int _{\mathbb{T}^2} \omega = \int _0 ^{2\pi} \int _0 ^{2\pi} (3+\cos{v})^2 \cos{v} ~ dudv = 12\pi^2 $$

Partition of Unity

문제는 \(\omega\)가 여러 chart에 대해서 0이 아닐 경우, 적분을 어떻게 정의해야 하는가이다. \(\omega\)의 support가 아래의 그림처럼 2개의 chart에 걸쳐 있다고 가정해보자.

By Stomatapoll [CC BY-SA 3.0 ], from Wikimedia Commons

공통으로 들어가는 aqua색상의 영역에서는 partition of unity라는 테크닉을 사용한다.

By Oleg Alexandrov (self-made with MATLAB, tweaked in Inkscape) [Public domain], via Wikimedia Commons

위의 그래프는 모든 \(x\)에서 빨강, 노랑, 파랑, 초록 함수를 더하면 1이 된다. 함수 \(f(x)\)를 적분할 때, 어떤 이유에서 빨간색 함수의 support, 노랑색 함수의 support, 파랑색 함수의 support, 초록색 함수의 support에서만 적분값을 계산할 수 있을 때, 전체 적분은

$$ \begin{eqnarray} \int f(x)~dx & = & \int _{\mathrm{supp~빨강}} \mathrm{빨강}(x) \cdot f(x)~dx + \int _{\mathrm{supp~노랑}} \mathrm{노랑}(x) \cdot f(x)~dx \\ \\ & & ~~~~~~~~~~~~~~~~+ \int _{\mathrm{supp~파랑}} \mathrm{파랑}(x) \cdot f(x)~dx + \int _{\mathrm{supp~초록}} \mathrm{초록}(x) \cdot f(x)~dx \end{eqnarray} $$

으로 계산할 수 있다. 이러한 빨강, 노랑, 파랑, 초록의 함수를 partition of unity라고 부른다.

DEFINITION            Partition of Unity

Smooth manifold \(M\)에 대하여, open set의 collection \(\mathcal{V}\)를 \(M\)의 open cover(open set들의 union이 \(M\))이라고 하자. 다음의 조건들을 만족하는 smooth function \(\rho_i\)들을 open cover \(\mathcal{V}\)를 나누는 partition of unity라고 부른다.

1. 모든 \(M\)의 point \(p\)에 대하여, 유한한 갯수의 \(\rho_i\)에 대해서만 \(U \cap \mathrm{supp~}\rho_i \ne \emptyset \)이고

다른 \(\rho_j\)에 대해서는 \(U \cap \mathrm{supp~}\rho_j = \emptyset\)인 \(p\)의 neighborhood \(U\)가 존재

2. 모든 \(M\)의 point \(p\)에 대하여, \(\sum_i \rho_i(p) = 1 \)

3. \( 0 \le \rho_i \le 1\)

4. \(\mathrm{supp~}\rho_i \subset V\)인 \(\mathcal{V}\)의 원소 \(V\)가 존재

(공백)

이러한 조건을 만족하는 함수들이 존재하는가? 보통 2개의 open set이 겹치는 영역에서 다음과 같이 정의되는 함수 \(\Psi(x)\)(bump function이라고 부른다)와 \(1-\Psi(x)\)를 이용하여 partition of unity를 구성한다.

$$ \Psi (x) = \left\{ \begin{array}{cl} \exp{\left( \frac{1}{x^2 -1}\right)} & x\in (-1,1) \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. $$

n개의 open set이 겹치는 경우 (n-1)개의 \(\frac{\Psi(x)}{n-1}\)와 \(1-\frac{\Psi(x)}{n-1}\)로 구성할 수 있다. 아래 그림은 2차원에서의 bump function을 표현한 것이다.

$$ \Psi (x,y) = \left\{ \begin{array}{cl} \exp{\left( \frac{1}{x^2+y^2 -1}\right)} & x\in (-1,1)\times(-1,1) \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. $$

By JoshDif [CC BY-SA 4.0 ], from Wikimedia Commons

Integration on Manifold

이제 atlas \((U_\alpha, \varphi_\alpha)\)에 대하여, partition of unity \(\rho_i\)를 생각해보자. Partition of unity의 정의에 의해 \(n\)-form \(\omega\)는

$$ \omega = \left( \sum_i \rho_i \right) \omega = \sum_i \rho_i \omega $$

이고 \(\mathrm{supp~}(\rho_i\omega) \subset U_{\alpha_i}\)이므로 \(\omega\)의 적분을

$$ \int _M \omega = \sum_i \int _M (\rho_i \omega) = \sum_i \int _{U_{\alpha_i}} \varphi ^\ast _{\alpha_i} (\rho_i \omega) $$

로 정의한다.