[다양체,텐서] 2.4-(2) Example: Maxwell's Equations in 4D Spacetime

학부 1학기 내내 Maxwell's equations의 성립을 공부할만큼 물리학에서 Maxwell's equations은 아주 중요한 위치를 차지하고 있다. Maxwell's equation은 vector field의 미분인 divergence와 curl로 이루어져 있다.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}& =& \frac{\rho }{{ϵ}_0}\\ \\ \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}& =& 0\\ \\ \mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}& =& -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ \\ \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}& =& {\mu }_0(\mathbf{J}+{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t})\end{array}$$

그러나 이전 페이지에서 본것과 같은 방식으로 divergence와 curl을 exterior derivative로 표현하려 하면, 문제가 발생한다. 첫번째, 두번째 식처럼 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$에 divergence를 하려면 2-form이어야 하지만, 세번째, 네번째 식처럼 curl을 하려면 동시에 1-form이어야 한다.

 

따라서 Maxwell's equation을s 3차원 공간에서 exterior derivative로 표현할 수 없다. Maxwell's equations의 manifold 구조를 보려면 4차원 공간인 spacetime을 살펴보아야 한다. 이 페이지에서는 4차원 공간에서 exterior derivative를 살펴보고 Maxwell's equations을 재정의 해본다.

 

 

Exterior Derivative of 2-form in 4D

 

4차원 공간 ${\mathbb{R}}^4$의 coordinate system을 Cartesian coordinate system을 사용하고 coordinate를 $(x^0,x^1,x^2,x^3)$으로 표현하자. 일반적인 2-form $F$는 다음과 같이 표현된다.

$$F=\sum _{0\le i<j\le 3}{F}_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j$$

로 표현된다. 이를 다음과 같이 정리하자.

$$\begin{array}{rcl}F& =& \sum _{0\le i<j\le 3}{F}_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j\\ \\ & =& F_{01}d{x}^0\wedge d{x}^1+F_{02}d{x}^0\wedge d{x}^2+F_{03}d{x}^0\wedge d{x}^3\\ & & +F_{12}d{x}^1\wedge d{x}^2+F_{13}d{x}^1\wedge d{x}^3+F_{23}d{x}^2\wedge d{x}^3\\ \\ & =& d{x}^0\wedge (F_{01}d{x}^1+F_{02}d{x}^2+F_{03}d{x}^3)+\sum _{1\le i<j\le 3}{F}_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j\end{array}$$

이 때,

$$\begin{array}{rcl}{F}_0& =& F_{01}d{x}^1+F_{02}d{x}^2+F_{03}d{x}^3=\sum _{j=1}^3{F}_{0j}d{x}^j\\ \\ F^{\prime }& =& \sum _{1\le i<j\le 3}{F}_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j\end{array}$$

로 정의하면,

$$F=d{x}^0\wedge F_0+F^{\prime }$$

으로 정리된다. $F_0$은 $d{x}^0$가 없는 1-form이고, $F^{\prime }$은 $d{x}^0$가 없는 2-form이다. 즉, 3차원 공간에서의 1-form과 2-form이라고 볼 수 있다.

 

이제 $F$에 exterior derivative를 해보자.

$$\begin{array}{rcl}dF& =& d(d{x}^0\wedge F_0+F^{\prime })\\ \\ & =& -d{x}^0\wedge d{F}_0+d{F}^{\prime }\end{array}$$

첫번째 항는 $d{x}^0$가 이미 있기 때문에, $d{F}_0$에서 $x^0$에 대한 미분은 고려하지 않아도 된다.

$$\begin{array}{rcl}d{x}^0\wedge d{F}_0& =& d{x}^0\wedge (\frac{\partial F_{01}}{\partial x^0}d{x}^0\wedge d{x}^1+\frac{\partial F_{02}}{\partial x^0}d{x}^0\wedge d{x}^2+\frac{\partial F_{03}}{\partial x^0}d{x}^0\wedge d{x}^3+\frac{\partial F_{01}}{\partial x^1}d{x}^1\wedge d{x}^1+\cdots )\\ \\ & =& d{x}^0\wedge (\frac{\partial F_{01}}{\partial x^1}d{x}^1\wedge d{x}^1+\cdots )\end{array}$$

따라서 $d{F}_0$는 3차원 공간에서 1-form의 미분인 curl이라고 볼 수 있다.

$$d{x}^0\wedge d{F}_0=d{x}^0\wedge \mathrm{curl}(F_0)$$

 

두번째 항의 exterior derivative는 $x^0$에 대한 미분과 나머지에 대한 미분으로 분리하자.

$$d{F}^{\prime }=\sum _{1\le i<j\le 3}\frac{\partial F_{ij}}{\partial x^0}d{x}^0\wedge d{x}^i\wedge d{x}^j+\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_{ij}}{\partial x^k}d{x}^k\wedge x^i\wedge d{x}^j$$

위 식의 마지막 항은 $x^0$에 대한 미분이 없으므로 3차원 공간에서 2-form의 미분인 divergence라고 볼 수 있다.

$$d{F}^{\prime }=\sum _{1\le i<j\le 3}\frac{\partial F_{ij}}{\partial x^0}d{x}^0\wedge d{x}^i\wedge d{x}^j+\mathrm{div}(F^{\prime })$$

 

이 결과를 종합하면,

$$dF=\sum _{1\le i<j\le 3}(-[\mathrm{curl}(F_0){]}_{ij}+\frac{\partial [F^{\prime }{]}_{ij}}{\partial x^0})d{x}^0\wedge d{x}^i\wedge d{x}^2+\mathrm{div}(F^{\prime })d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$$

이 된다.

 

 

만약 3-form

$$J=J_{3}d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2-J_{2}d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^3+J_{1}d{x}^0\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3+J_{0}d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$$

이

$$dF=J$$

를 만족한다면,

$$-[\mathrm{curl}(F_0){]}_{23}+\frac{\partial [F^{\prime }{]}_{23}}{\partial x^0}=J_1$$

$$-[\mathrm{curl}(F_0){]}_{31}+\frac{\partial [F^{\prime }{]}_{31}}{\partial x^0}=J_2$$

$$-[\mathrm{curl}(F_0){]}_{12}+\frac{\partial [F^{\prime }{]}_{12}}{\partial x^0}=J_3$$

$$\mathrm{div}(F^{\prime })=J_0$$

 

 

Maxwell's Equations in 4D

 

Aharonov-Bohm effect의 결론으로 potential이 본질적인 것이라고 한다면, scalar potential의 gradient로 얻어지는 electric field는 1-form, vector potential의 curl로 얻어지는 magnetric field는 2-form이라고 결론지을 수 있다. 이제 electric field와 magnetic field

$$\mathbf{E}=E_1{\overrightarrow{e}}_x+E_2{\overrightarrow{e}}_y+E_3{\overrightarrow{e}}_z$$

$$\mathbf{B}=B_1{\overrightarrow{e}}_x+B_2{\overrightarrow{e}}_y+B_3{\overrightarrow{e}}_z$$

을 이용하여 1-form

$$F_0=-E_{1}d{x}^1+-E_{2}d{x}^2+E_{3}d{x}^3$$

2-form

$$F^{\prime }=B_{3}d{x}^1\wedge d{x}^2-B_{2}d{x}^1\wedge d{x}^3+B_{1}d{x}^2\wedge d{x}^3$$

라고 하면

$$dF=0$$

는

$$-[\mathrm{curl}(E){]}_1+\frac{\partial B_1}{\partial x^0}=0$$

$$-[\mathrm{curl}(E){]}_2+\frac{\partial B_2}{\partial x^0}=0$$

$$-[\mathrm{curl}(E){]}_3+\frac{\partial B_3}{\partial x^0}=0$$

$$\mathrm{div}(B)=0$$

즉,

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$$

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x^0}$$

를 얻는다.

 

 

$\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$의 역할을 바꿔 1-form

$$G_0=-B_{1}d{x}^1+-B_{2}d{x}^2+B_{3}d{x}^3$$

2-form

$$G^{\prime }=-E_{3}d{x}^1\wedge d{x}^2+E_{2}d{x}^1\wedge d{x}^3-E_{1}d{x}^2\wedge d{x}^3$$

3-form

$$J=J_{3}d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2-J_{2}d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^3+J_{1}d{x}^0\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3-\rho d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$$

으로 정의하면

$$dG=J$$

는

$$-[\mathrm{curl}(B){]}_1-\frac{\partial E_1}{\partial x^0}=J_1$$

$$-[\mathrm{curl}(B){]}_2-\frac{\partial E_2}{\partial x^0}=J_2$$

$$-[\mathrm{curl}(B){]}_3-\frac{\partial E_3}{\partial x^0}=J_3$$

$$-\mathrm{div}(E)=J_0$$

즉,

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\rho$$

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x^0}$$

를 얻는다.

 

 

물리 단위를 적당히 조정하여 ${ϵ}_0={\mu }_0=1$이 되는 단위계를 선택하고, $x^0$를 $t$라고 한다면,

$$dF=0$$

$$dG=J$$

는 Maxwell's equations

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\rho$$

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$$

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

과 동일한 표현이 된다.

 

 

Electromagnetic Field and Charge-current Density

 

사실 2-form $F$와 $G$는 Hodge dual 관계에 있다. (--Hodge dual-- 참고)

$$G=\star F$$

따라서 spacetime에서 전자기학은 2-form

$$F=\mathbf{B}-d{x}^0\wedge \mathbf{E}$$

과 3-form의 Hodge dual (즉, 1form)

$$J=-\rho d{x}^0+\mathbf{J}$$

로 완전히 기술된다.

$$dF=0$$

$$d(\star F)=\star J$$

 

 

$F$를 electromagnetic field, $J$를 charge-current density라고 부른다. 보통 $F$를 component form으로

$$F=\frac{1}{2}{F}_{\alpha \beta }d{x}^{\alpha }\wedge d{x}^{\beta }$$

또는 matrix form으로

$$F_{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cccc}0& -E_1& -E_2& -E_3\\ E_1& 0& B_3& -B_3\\ E_2& -B_3& 0& B_1\\ E_3& B_2& -B_1& 0\end{array}\right]$$

으로 표현한다.

 

 

Maxwell's equations의 중요한 결론인 continuity equation

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=0$$

는

$$\begin{array}{rcl}0=d(d(\star F))=d(\star J)& =& (-\frac{\partial \rho }{\partial x^0}-\frac{\partial J_1}{\partial x^1}-\frac{\partial J_2}{\partial x^2}-\frac{\partial J_3}{\partial x^3})d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3\\ \\ & =& (-\frac{\partial \rho }{\partial x^0}-\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J})d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3\end{array}$$

와 같이 자연스럽게 얻어진다.

 

 

REFERENCE:

 

"Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms", Solomon Akaraka Werre, https://bbs.pku.edu.cn/attach/13/c8/13c819b28e8fb43c/maxwell_hodge.pdf

 

Wikipedia: Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_ approach, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach