[다양체,텐서] 2.4-(2) Example: Maxwell's Equations in 4D Spacetime

학부 1학기 내내 Maxwell's equations의 성립을 공부할만큼 물리학에서 Maxwell's equations은 아주 중요한 위치를 차지하고 있다. Maxwell's equation은 vector field의 미분인 divergence와 curl로 이루어져 있다.

$$ \begin{array}{rcl} \nabla \cdot \mathbf{E} & = & \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \\ \nabla \cdot \mathbf{B} & = & 0 \\ \\ \nabla \times \mathbf{E} & = & - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \\ \nabla \times \mathbf{B} & = & \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{array} $$

그러나 이전 페이지에서 본것과 같은 방식으로 divergence와 curl을 exterior derivative로 표현하려 하면, 문제가 발생한다. 첫번째, 두번째 식처럼 \(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)에 divergence를 하려면 2-form이어야 하지만, 세번째, 네번째 식처럼 curl을 하려면 동시에 1-form이어야 한다.

 

따라서 Maxwell's equation을s 3차원 공간에서 exterior derivative로 표현할 수 없다. Maxwell's equations의 manifold 구조를 보려면 4차원 공간인 spacetime을 살펴보아야 한다. 이 페이지에서는 4차원 공간에서 exterior derivative를 살펴보고 Maxwell's equations을 재정의 해본다.

 

 

Exterior Derivative of 2-form in 4D

 

4차원 공간 \(\mathbb{R}^4\)의 coordinate system을 Cartesian coordinate system을 사용하고 coordinate를 \((x^0,x^1,x^2,x^3)\)으로 표현하자. 일반적인 2-form \(F\)는 다음과 같이 표현된다.

$$ F  = \sum_{0\le i < j \le 3} F_{ij} ~dx^i \wedge dx^j $$

로 표현된다. 이를 다음과 같이 정리하자.

$$ \begin{eqnarray} F & = & \sum_{0\le i < j \le 3} F_{ij} ~dx^i \wedge dx^j \\ \\ & = & F_{01} ~dx^0 \wedge dx^1 + F_{02} ~dx^0 \wedge dx^2 + F_{03} ~dx^0 \wedge dx^3 \\ & & ~~~~~~~~~~~~~~~~+ F_{12} ~dx^1 \wedge dx^2 + F_{13} ~dx^1 \wedge dx^3 + F_{23} ~dx^2 \wedge dx^3 \\ \\ & = & dx^0 \wedge (F_{01} ~dx^1 + F_{02} ~dx^2 + F_{03} ~dx^3) + \sum_{1\le i < j \le 3} F_{ij} ~dx^i \wedge dx^j \end{eqnarray} $$

이 때,

$$ \begin{eqnarray} F_0 & = & F_{01} ~dx^1 + F_{02} ~dx^2 + F_{03} ~dx^3 = \sum _{j=1} ^3 F_{0j} ~dx^j \\ \\ F' & = & \sum_{1\le i < j \le 3} F_{ij} ~dx^i \wedge dx^j \end{eqnarray} $$

로 정의하면,

$$ F = dx^0 \wedge F_0 + F' $$

으로 정리된다. \(F_0\)은 \(dx^0\)가 없는 1-form이고, \(F'\)은 \(dx^0\)가 없는 2-form이다. 즉, 3차원 공간에서의 1-form과 2-form이라고 볼 수 있다.

 

이제 \(F\)에 exterior derivative를 해보자.

$$ \begin{eqnarray} dF & = & d(dx^0 \wedge F_0 + F') \\ \\ & = & -dx^0 \wedge dF_0 + dF' \end{eqnarray} $$

첫번째 항는 \(dx^0\)가 이미 있기 때문에, \(dF_0\)에서 \(x^0\)에 대한 미분은 고려하지 않아도 된다.

$$ \begin{eqnarray} dx^0 \wedge dF_0 & = & dx^0 \wedge \left( \frac{\partial F_{01}}{\partial x^0} ~dx^0 \wedge dx^1 + \frac{\partial F_{02}}{\partial x^0} ~dx^0 \wedge dx^2 + \frac{\partial F_{03}}{\partial x^0} ~dx^0 \wedge dx^3 + \frac{\partial F_{01}}{\partial x^1} ~dx^1 \wedge dx^1 + \cdots \right) \\ \\ & = & dx^0 \wedge \left( \frac{\partial F_{01}}{\partial x^1} ~dx^1 \wedge dx^1 + \cdots \right) \end{eqnarray}$$

따라서 \(dF_0\)는 3차원 공간에서 1-form의 미분인 curl이라고 볼 수 있다.

$$ dx^0 \wedge dF_0 = dx^0 \wedge \mathrm{curl}(F_0) $$

 

두번째 항의 exterior derivative는 \(x^0\)에 대한 미분과 나머지에 대한 미분으로 분리하자.

$$ dF' = \sum_{1\le i < j \le 3} \frac{\partial F_{ij}}{\partial x^0} ~dx^0 \wedge dx^i \wedge dx^j + \sum_{k=1} ^n \frac{\partial F_{ij}}{\partial x^k} ~dx^k \wedge x^i \wedge dx^j $$

위 식의 마지막 항은 \(x^0\)에 대한 미분이 없으므로 3차원 공간에서 2-form의 미분인 divergence라고 볼 수 있다.

$$ dF' = \sum_{1\le i < j \le 3} \frac{\partial F_{ij}}{\partial x^0} ~dx^0 \wedge dx^i \wedge dx^j + \mathrm{div}(F') $$

 

이 결과를 종합하면,

$$ dF = \sum_{1\le i < j \le 3} \left( -[\mathrm{curl}(F_0)]_{ij} + \frac{\partial [F']_{ij}}{\partial x^0} \right) ~dx^0 \wedge dx^i \wedge dx^2 ~+~ \mathrm{div}(F') ~dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 $$

이 된다.

 

 

만약 3-form

$$ J = J_3 ~~dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 ~~-~~ J_2 ~~dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^3 ~~+~~ J_1 ~~dx^0 \wedge dx^2 \wedge dx^3 ~~+~~ J_0 ~~dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 $$

이

$$ dF = J $$

를 만족한다면,

$$ -[\mathrm{curl}(F_0)]_{23} + \frac{\partial [F']_{23}}{\partial x^0} = J_1 $$

$$ -[\mathrm{curl}(F_0)]_{31} + \frac{\partial [F']_{31}}{\partial x^0} = J_2 $$

$$ -[\mathrm{curl}(F_0)]_{12} + \frac{\partial [F']_{12}}{\partial x^0} = J_3 $$

$$ \mathrm{div}(F') = J_0 $$

 

 

Maxwell's Equations in 4D

 

Aharonov-Bohm effect의 결론으로 potential이 본질적인 것이라고 한다면, scalar potential의 gradient로 얻어지는 electric field는 1-form, vector potential의 curl로 얻어지는 magnetric field는 2-form이라고 결론지을 수 있다. 이제 electric field와 magnetic field

$$ \mathbf{E} = E_1 ~\vec{e}_x + E_2 ~\vec{e}_y + E_3 ~\vec{e}_z $$

$$ \mathbf{B} = B_1 ~\vec{e}_x + B_2 ~\vec{e}_y + B_3 ~\vec{e}_z $$

을 이용하여 1-form

$$ F_0 = -E_1 ~dx^1 + -E_2 ~dx^2 + E_3 ~dx^3 $$

2-form

$$ F' = B_3 ~dx^1 \wedge dx^2 - B_2 ~ dx^1 \wedge dx^3 + B_1 ~dx^2 \wedge dx^3 $$

라고 하면

$$ dF = 0 $$

는

$$ -[\mathrm{curl}(E)]_1 + \frac{\partial B_1}{\partial x^0} = 0 $$

$$ -[\mathrm{curl}(E)]_2 + \frac{\partial B_2}{\partial x^0} = 0 $$

$$ -[\mathrm{curl}(E)]_3 + \frac{\partial B_3}{\partial x^0} = 0 $$

$$ \mathrm{div}(B) = 0 $$

즉,

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 $$

$$ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x^0} $$

를 얻는다.

 

 

\(\mathbf{E}\)와 \(\mathbf{B}\)의 역할을 바꿔 1-form

$$ G_0 = -B_1 ~dx^1 + -B_2 ~dx^2 + B_3 ~dx^3 $$

2-form

$$ G' = -E_3 ~dx^1 \wedge dx^2 + E_2 ~ dx^1 \wedge dx^3 - E_1 ~dx^2 \wedge dx^3 $$

3-form

$$ J = J_3 ~~dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 ~~-~~ J_2 ~~dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^3 ~~+~~ J_1 ~~dx^0 \wedge dx^2 \wedge dx^3 ~~-~~ \rho ~~dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 $$

으로 정의하면

$$ dG = J $$

는

$$ -[\mathrm{curl}(B)]_1 - \frac{\partial E_1}{\partial x^0} = J_1 $$

$$ -[\mathrm{curl}(B)]_2 - \frac{\partial E_2}{\partial x^0} = J_2 $$

$$ -[\mathrm{curl}(B)]_3 - \frac{\partial E_3}{\partial x^0} = J_3 $$

$$ -\mathrm{div}(E) = J_0 $$

즉,

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho $$

$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x^0} $$

를 얻는다.

 

 

물리 단위를 적당히 조정하여 \(\epsilon_0 = \mu_0 = 1\)이 되는 단위계를 선택하고, \(x^0\)를 \(t\)라고 한다면,

$$ dF = 0 $$

$$ dG = J $$

는 Maxwell's equations

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho $$

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 $$

$$ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

과 동일한 표현이 된다.

 

 

Electromagnetic Field and Charge-current Density

 

사실 2-form \(F\)와 \(G\)는 Hodge dual 관계에 있다. (--Hodge dual-- 참고)

$$ G = \star F $$

따라서 spacetime에서 전자기학은 2-form

$$ F = \mathbf{B} - dx^0 \wedge \mathbf{E} $$

과 3-form의 Hodge dual (즉, 1form)

$$ J = -\rho ~dx^0 + \mathbf{J} $$

로 완전히 기술된다.

$$ dF = 0 $$

$$ d (\star F) = \star J $$

 

 

\(F\)를 electromagnetic field, \(J\)를 charge-current density라고 부른다. 보통 \(F\)를 component form으로

$$ F = \frac{1}{2} F_{\alpha \beta} ~dx^\alpha \wedge dx^\beta $$

또는 matrix form으로

$$ F_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_3 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{bmatrix} $$

으로 표현한다.

 

 

Maxwell's equations의 중요한 결론인 continuity equation

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$

는

$$ \begin{eqnarray} 0 = d(d(\star F)) = d (\star J) & = & \left(-\frac{\partial \rho}{\partial x^0} - \frac{\partial J_1}{\partial x^1} - \frac{\partial J_2}{\partial x^2} - \frac{\partial J_3}{\partial x^3} \right) ~dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 \\ \\ & = & \left( -\frac{\partial \rho}{\partial x^0} - \nabla \cdot \mathbf{J} \right) ~dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 \end{eqnarray} $$

와 같이 자연스럽게 얻어진다.

 

 

REFERENCE:

 

"Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms", Solomon Akaraka Werre, https://bbs.pku.edu.cn/attach/13/c8/13c819b28e8fb43c/maxwell_hodge.pdf

 

Wikipedia: Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_ approach, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach