[다양체,텐서] 2.4 Differential Forms, Exterior Derivatives

Manifold의 성질과 기하학에서 antisymmetric tensor field는 중요한 역할을 한다. 이번 페이지에서는 differentiable antisymmetric tensor field인 differential form과 differential form에 정의되는 연산인 differential exterior derivative에 대하여 살펴본다.

 

 

Differential Form

 

Antisymmetric covariant \(k\)-tensor field를 \(k\)-form이라고 부른다.

 

DEFINITION            \(k\)-form

 

Smooth manifold \(M\)에 대하여 Antisymmetric covariant \(k\)-tensor field를 \(k\)-form이라고 부른다. 즉, covariant \(k\)-tensor field \(\omega\)가 각 point \(p\)에서

$$ \omega(p) = \omega_p \in \left.\bigwedge \right. ^k (T _p ^* M) $$

이면 \(\omega\)를 \(k\)-form이라고 부른다. \(k\)-form들의 집합을 \(\Omega^k (M)\)으로 표현한다.

 

Local coordinate system \(x=(x^1,x^2,\cdots,x^n)\)에서 \( \bigwedge ^k (T_p ^* M)\)의 basis는

$$ \{~ (dx^{i_1})_p \wedge (dx^{i_1})_p \wedge \cdots \wedge (dx^{i_1})_p ~|~ 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n ~\} $$

이므로, 일반적인 \(k\)-form은

$$ \omega = \sum _{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \omega _{i_1 i_2 \cdots i_k} ~~dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} $$

로 표현된다. 책에 따라 index \(i_1 i_2 \cdots i_k\)를 묶어서 \(I\)로 표시하여

$$ \sum_I \omega_I ~~dx^I $$

처럼 표현하는 경우도 있다. 또한 \(dx^i \wedge dx^j = -dx^j \wedge dx^i\)를 이용하여

$$ \sum_{i_1,i_2,\cdots,i_k = 1} ^n \frac{1}{2} \omega _{i_1 i_2 \cdots i_k} ~~dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} $$

로 표현하기도 한다. 이 세가지 전개는 모두 같은 \(\omega\)를 표현하고 있다는 것에 주의한다.

 

만약 \( \omega _{i_1 i_2 \cdots i_k} \)이 differentiable이라면, \(\omega\)도 differentiable이다. 이를 differential \(k\)-form이라고 부른다. 기하학에서 많은 경우 differential \(k\)-form을 줄여서 그냥 \(k\)-form이라고 부른다.

 

 

\(k\)-form은 covariant tensor이므로 vector field를 받아서 real-valued function이 되는 함수이다. 예를 들어, 2-dimensional Euclidean spac \(\mathbb{R}^2\)에 정의된 2-form

$$ \omega = dx^1 \wedge dx^2 $$

는 vector field

$$ X = x^1 \frac{\partial}{\partial x^1} + x^2 \frac{\partial}{\partial x^2} $$

$$ Y = -x^2 \frac{\partial}{\partial x^1} + x^1 \frac{\partial}{\partial x^2} $$

를 받아서

$$ \begin{eqnarray} \omega(X,Y) & = & dx^1\wedge dx^2 ~(X,Y) = dx^1(X)~dx^2(Y) - dx^1(Y)~dx^2(X) \\ \\ & = & dx^1\left(x^1 \frac{\partial}{\partial x^1} + x^2 \frac{\partial}{\partial x^2}\right)~dx^2\left(-x^2 \frac{\partial}{\partial x^1} + x^1 \frac{\partial}{\partial x^2}\right) \\ & & ~~~~~~~~~~~~~~~~- dx^1\left(-x^2 \frac{\partial}{\partial x^1} + x^1 \frac{\partial}{\partial x^2}\right)~dx^2\left(x^1 \frac{\partial}{\partial x^1} + x^2 \frac{\partial}{\partial x^2}\right) \\ \\ & = & (x^1)^2 + (x^2)^2 \end{eqnarray} $$

가 된다.

 

 

Exterior Derivative

 

\(k\)-form을 \(k\)개의 vector field를 받아서 real-valued function을 내놓는 (antisymmetric한) 함수라고 한다면, real-valued function은 0개의 vector field를 받아서 real-valued function을 내놓는 것으로 볼 수 있으므로 0-form이라고 할 수 있다.

 

Real-valued function \(f:M \to \mathbb{R}\)의 differential \((df)_p\)은 점 \(p\)에서 tangent vector를 받아 real number로 보내는 함수이므로, 함수 \(df\)를

$$ df(p) = (df)_p : T_pM \to \mathbb{R} $$

로 정의하면, \(df\)는 1-form이 된다. 따라서, differential operator \(d\)를 0-form을 1-form으로 만들어주는 linear transformation으로 생각할 수 있다. 이제 이것을 \(k\)-form으로 일반화하여 \(d\)를 \(k\)-form을 \((k+1)\)-form으로 만들어 주는 linear transformation으로 정의한다.

 

DEFINITION            Exterior Derivative

 

Differentiable manifold \(M\)에 정의되는 \(k\)-form \(\omega\)에 대하여 다음과 같이 정의되는 \((k+1)\)-form \(d\omega\)를 \(\omega\)의 exterior derivative라고 한다.

$$ \begin{eqnarray} d\omega (V_0,\cdots,V_k) & = & \sum_{i} (-1)^i ~V_i \left(~ \omega(V_0,\cdots, \hat{V}_i ,\cdots,V_k) ~\right) \\ & & ~~~~~~~~~~~ + \sum_{i<j} (-1)^{i+j} ~\omega(~[V_i,V_j],V_0,\cdots,\hat{V}_i,\cdots,\hat{V}_j,\cdots,V_k~) \end{eqnarray} $$

\(V_0\),...,\(V_k\)는 vector field, \(\hat{V}_i\)는 \(\omega\)를 계산할 때 빼고 계산 즉,

$$ \omega(V_0,\cdots,\hat{V}_i,\cdots,V_k)=\omega(V_0,\cdots,V_{i-1},V_{i+1},\cdots,V_k) $$

 

Local coordinate \(x=(x^1,x^2,\cdots,x^n)\)에서 \(k\)-form

$$ \omega = \sum _{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \omega _{i_1 i_2 \cdots i_k} ~~dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} $$

의 exterior derivative는

$$ d\omega = \sum _{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} d\omega_{i_1 i_2 \cdots i_k} \wedge dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} $$

가 된다. 책에 따라 local coordinate의 표현을 정의로 사용하는데, 둘다 동등한 정의이다.

 

 

Exterior derivative는 다음과 같은 성질을 가진다.

 

THEOREM            Properties of Exterior Derivative

 

Differentiable manifold \(M\)의 differentiable form \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 다음이 성립한다.

 

1. \(d(\alpha + \beta ) = d\alpha + d\beta \)

 

2. \(k\)-form \(\alpha\)에 대하여, \(d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge d\beta \)

 

3. \(d(d\alpha)=0\)

 

4. smooth map \(f:N\to M\)에 대하여, \(d(f^* \alpha)=f^*(d\alpha)\)

(공백)

 

만약 어떤 differentiable form \(\omega\)가

$$ d\omega = 0 $$

이면 \(\omega\)를 closed하다고 부른다.

 

또한 어떤 differentiable form \(\omega\)가

$$ \omega = d\alpha $$

를 만족하는 differentiable form \(\alpha\)가 존재한다면, \(\omega\)를 exact하다고 부른다. 위에서 3번 성질에 따라, exact하면 closed이다.

 

반대로, closed하면 exact인가 하는 것은 중요한 주제이다. --de Rham cohomology-- 추가