[다양체,텐서] 2.2 Symmertric Tensors, Antisymmetric Tensors, Exterior Algebra

이 페이지에서는 앞으로 많이 등장하게 될 antisymmetric tensor들을 살펴본다. 그리고 비슷한 개념의 symmetric tensor도 같이 살펴본다. 논의의 편의상 covariant tensor만 다루지만, contravariant tensor에도 똑같은 방식으로 적용된다. 이하에서는 vector space \(V\)의 basis를

$$ \{ e_1, e_2, \cdots , e_n\} $$

그리고 dual space \(V^*\)의 dual basis를

$$ \{ e^* _1, e^* _2, \cdots, e^* _n \} $$

으로 가정한다.

 

 

Symmetric Tensors

 

Symmetric tensor는 변수로 들어가는 vector들 중에서 2개의 위치를 바꿨을 때 같은 값이 나오는 tensor를 말한다.

 

DEFINITION            Symmetric Tensors

 

\(k\)-tensor \(S:V\times \cdots \times V \to \mathbb{R}\)가 임의의 \(v_1\), \(v_2 \in V\)에 대하여,

$$ S(\cdots,~v_1~,\cdots,~v_2~,\cdots) = S(\cdots,~v_2~,\cdots,~v_1~,\cdots) $$

이면, \(S\)를 symmetric하다고 부른다. 모든 symmetric \(k\)-tensor들의 집합을 \(\mathrm{Sym}^k(V^*)\)로 표현한다.

 

이를 basis expansion으로 표현하자면,

$$ S_{\cdots i \cdots j\cdots} ~=~ S(\cdots, e_i,\cdots,e_j,\cdots) $$

이므로

$$ S_{\cdots i\cdots j\cdots} = S_{\cdots j\cdots i\cdots} $$

이면, S는 symmetric하다.

 

 

일반적인 \(k\)-tensor \(T\)를 이용하여, symmetric한 새로운 tensor를 얻는 방법을 symmetrization이라고 한다.

 

DEFINITION            Symmetrization

 

임의의 \(k\)-tensor \(T\)에 대하여, 새로운 tensor \(\mathrm{Sym}(T)\)를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathrm{Sym}(T) ~(v_1,v_2,\cdots ,v_k) = \frac{1}{k!} \sum _{\sigma ~:~ \mathrm{permutation~of~}k} T(v_{\sigma 1},v_{\sigma_2},\cdots,v_{\sigma_k}) $$

 

위 정의에서 사용된 permutation은 1부터 k의 숫자를 섞는 함수이다. 예를 들어,

$$ \begin{eqnarray} \sigma(1) = 3 &~~,~ & \sigma(2) = 1 \\ \sigma(3) = 6 & ~~,~ & \sigma(4) = 2 \\ \sigma(5) = 5 & ~~,~ & \sigma(6) = 4 \end{eqnarray} $$

은 permutation이다. 즉, Symmetrization은 변수로 들어갈 vector들을 완전히 섞어서 계산하는 tensor를 만들어 준다.

 

정의에서 나오는 factorial은 이미 symmetric한 tensor를 symmetrization하면서 생기는 상수곱을 상쇄하기 위함이다. 예를 들어, symmetric tensor

$$ e^* _1 \otimes e^* _2 + e^* _2 \otimes e^* _1 $$

은 permutation summation에 의해

$$ \begin{eqnarray} \sum _\sigma ~(e^* _1 \otimes e^* _2 + e_2 \otimes e^* _1)~(v_{\sigma 1}, v_{\sigma 2}) &~=~& (e^* _1 \otimes e^* _2 + e^* _2 \otimes e^* _1) ~(v_1,v_2) ~+~ (e^* _1 \otimes e^* _2 + e^* _2 \otimes e^* _1)(v_2,v_1) \\ &~=~& e^* _1(v_1)e^* _2(v_2)~+~e^* _2(v_1)e^* _1(v_2)~+~e^* _1(v_2)e^* _2(v_1)~+~e^* _2(v_2)e^* _1(v_1) \\ \\  &~=~& 2! \times (e^* _1 \otimes e^* _2 + e^* _2 \otimes e^* _1)~(v_{\sigma 1}, v_{\sigma 2}) \end{eqnarray} $$

가 된다.

 

따라서 symmetric tensor에 symmetrization을 하면, 자기 자신이 된다.

 

 

Symmetric Algebra

 

Tensor product를 이용하면, 2개의 tensor를 조합하여 새로운 tensor를 만들수 있다. 만약 \(A \in \mathrm{Sym}^k(V^*)\)이고 \(B\in \mathrm{Sym}^l(V^*)\)이면, \(A\otimes B\)는 \((k+l)\)-tensor가 된다. 그러나 \(A\otimes B\)는 일반적으로 symmetric하지 않다. 따라서 symmetric tensor를 조합하여 새로운 symmetric tensor를 만들기 위해서는 새로운 product를 정의해야 한다.

 

DEFINITION            Symmetric Product

 

\(A \in \mathrm{Sym}^k(V^*)\)와 \(B\in \mathrm{Sym}^l(V^*)\)의 symmetric product \(AB\)를 다음과 같이 정의한다.

$$ AB = \mathrm{Sym}(A\otimes B) $$

 

Symmetric product는 다음과 같은 특징을 가진다.

 

THEOREM            Properties of Symmetric Product

 

Symmetric tensor \(A\), \(B\), \(C\)와 real number \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.

 

1. commutative:

$$ AB = BA $$

 

2. associative:

$$ (AB)C = A(BC) $$

 

3. bilinearity

$$ A(cB+C) = c(AB)+AC $$

$$ (cA+B)C = c(AC)+BC $$

 

 

Antisymmetric Tensors

 

Antisymmetric tensor는 변수로 들어가는 vector들 중에서 2개의 위치를 바꿨을 때 부호가 반대가 되는 tensor를 말한다.

 

DEFINITION            Antisymmetric Tensors

 

\(k\)-tensor \(A:V\times \cdots \times V \to \mathbb{R}\)가 임의의 \(v_1\), \(v_2 \in V\)에 대하여,

$$ A(\cdots,~v_1~,\cdots,~v_2~,\cdots) = -A(\cdots,~v_2~,\cdots,~v_1~,\cdots) $$

이면, \(A\)를 antisymmetric하다고 부른다. 모든 antisymmetric \(k\)-tensor들의 집합을 \(\bigwedge ^k(V^*)\)로 표현한다.

 

이를 basis expansion으로 표현하자면,

$$ A_{\cdots i\cdots j\cdots} = -A_{\cdots j\cdots i\cdots} $$

이면, A는 antisymmetric하다.

 

 

Symmetrization과 비슷하게, 일반적인 \(k\)-tensor \(T\)를 이용하여, antisymmetric한 새로운 tensor를 얻는 방법을 alternation이라고 한다.

 

DEFINITION            Alternation

 

임의의 \(k\)-tensor \(T\)에 대하여, 새로운 tensor \(\mathrm{Alt}(T)\)를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathrm{Alt}(T) ~(v_1,v_2,\cdots ,v_k) = \frac{1}{k!} \sum _{\sigma ~:~ \mathrm{permutation~of~}k} (\mathrm{sgn}~\sigma)~T(v_{\sigma 1},v_{\sigma_2},\cdots,v_{\sigma_k}) $$

 

위 정의에서 사용된 \(\mathrm{sgn}~\sigma\)는 permutation의 sign으로 permutation 함수를 홀수 갯수의 숫자 교환으로 얻을 수 있는 경우 -1, 짝수 갯수의 숫자 교환으로 얻을 수 있는 경우 1로 정의한다. 예를 들어,

$$ \begin{eqnarray} \sigma(1) = 1 \\ \sigma(2)=3 \\ \sigma(3)=2 \\ \sigma(4)=4 \end{eqnarray} $$

의 경우 1,2,3,4에서 2와 3을 바꾸는 교환으로 \(\sigma\) 를 얻을 수 있으므로 sign은 -1이 된다. 만약

$$ \begin{eqnarray} \tau(1) = 1 \\ \tau(2)=3 \\ \tau(3)=4 \\ \tau(4)=2 \end{eqnarray} $$

의 경우에는 1,2,3,4에서 2와 3을 바꾸고, 2와 4를 바꿔서 \(\tau\)를 얻을 수 있으므로 \(\mathrm{sgn}~\tau=1\) 이다.

 

 

정의에서 나오는 factorial은 symmetrization과 같은 이유이다. 따라서 antisymmetric tensor에 alternation을 하면, 자기 자신이 된다.

 

 

Exterior Product

 

Symmetric product와 마찬가지로 alternating한 product를 정의할 수 있다. 이를 exterior product 또는 wedge product라고 부른다.

 

DEFINITION            Exterior Product

 

\(A \in \bigwedge ^k(V^*)\)와 \(B\in \bigwedge ^l(V^*)\)의 exterior product \(A\wedge B\)를 다음과 같이 정의한다.

$$ A\wedge B = \mathrm{Alt}(A\otimes B) $$

 

Exterior product는 다음과 같은 성질을 갖는다.

 

THEOREM            Properties of Exterior Product

 

Antisymmetric tensor \(A\), \(B\), \(C\)와 real number \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.

 

1. anti-commutative:

$$ A \wedge B = (-1)^{kl} B \wedge A $$

 

2. associative:

$$ (A\wedge B)\wedge C = A\wedge (B\wedge C) $$

 

3. bilinearity

$$ A\wedge (cB+C) = c(A\wedge B)+A\wedge C $$

$$ (cA+B) \wedge C = c(A\wedge C) + B\wedge C $$

 

1번의 특징에 의해서 같은 covector의 exterior product(또는 평행한 covector끼리의 exterior product) \(\omega \wedge \omega\) 는 0이 된다. 또한 \(\dim{V}=n\) 개를 초과하는 covector들의 exterior product는 0이된다.