분산6 [통계학] 5.2-(3) F 분포 F-distribution 많은 영역에서, 어떤 특징을 설명해주는 값이 A 집단과 B 집단에서 어떻게 되는지 비교하는 경우가 발생한다. 예를 들어 건물 전면에서 나오는 광고의 주 배경이 빨강일 때와 파랑일 때 광고 효과에 대해서 비교하고 싶을 수 있다. 이렇게 여러 집단 간의 비교 할 때, 분산이 결과 해석에 있어 중요한 역할을 한다. 이번 페이지에서는 이러한 분산에 대해서 중요한 위치를 차지하고 있는 F 분포에 대해서 살펴본다. #Snedecor's F Distribution 5.2-(1) Example: 정규 분포에서의 샘플 평균, 샘플 분산 Sample mean and Sample variance of Random sample from Normal Distribution에서 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\.. 2021. 8. 17. [통계학] 4.5-(1) Example: 랜덤 변수 덧셈의 분산 Variance of the Addition of Random Variables 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions에서 다음과 같은 분산의 성질에 대하여 살펴보았다. \[ \text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X) \] 이번 페이지에서는 위 식의 더 일반적인 형태로 다음의 정리를 살펴본다. THEOREM Random variable \(X\), \(Y\), 상수 \(a\), \(b\) 에 대하여, \[ \begin{equation} \text{Var}(aX+bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y) + 2ab \text{Cov}(X,Y) \label{varadd} \end{equation} \] 만약 \(X\) 와 \(Y\) 가 서로 독립이면, 다음이 성립한다... 2021. 8. 9. [양자역학] 3.5-(2) Example: 조화진동자에서 불확정성 원리 Uncertainty Principle of Harmonic Oscillator 이전 페이지에서 살펴본 기대값을 이용하여 불확정성 원리를 확인할 수 있다. 이번 페이지에서는 조화진동자에서 불확정성 원리를 확인해 본다. #Uncertainty Principle"양자역학에서 위치와 운동량을 모두 정확히 측정하는 것을 불가능하다"는 불확정성 원리는 수학적으로는 표준편차를 이용해 표현할 수 있다. 확률론에서 어떤 값을 정확히 측정할 수 있다는 것은 표준편차가 0이라는 것과 같으므로 불확정성 원리는 "위치와 운동량의 표준편차를 모두 0으로 만드는 것은 불가능하다"라고 표현할 수 있다. THEOREM Uncertainty Principle \[ \begin{equation} \left( X\text{의 표준편차} \right) \left( P\text{의 표준편차} \right) \ge \fr.. 2020. 12. 24. [통계학] 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions 랜덤 변수의 분포를 나타내는 지표로서 평균은 랜덤 변수의 대표적인 값을 의미한다. 이에 더해, 랜덤 변수가 대표값으로부터 얼마나 떨어져 있냐는 것도 중요한 지표가 된다. 이러한 역할을 해주는 값으로 variance(분산)를 정의한다. 이번 페이지에서는 variance에 대하여 살펴보고, variance를 얻기 위해 도입되는 moment, 그리고 moment generating function에 대하여 살펴본다. #VarianceRandom variable의 variance를 다음과 같이 정의한다. DEFINITION Variances of Random Variables Random variable \(X\) 에 대하여 \(E[(X-E[X])^2]\) 을 \(X\) 의 variance라고 하고, \(\ma.. 2020. 7. 24. [양자역학] 2.2-(1) Example: 파동 패킷 Wave Packet Free particle의 plane wave \(\psi(x) = e^{\frac{i}{\hbar}px}\)는 Hamiltonian operator의 eigenvector이지만, probability density fucntion이$$ \psi ^\ast (x) \psi (x) = e^{-\frac{i}{\hbar}px}e^{\frac{i}{\hbar}px} = 1 $$즉, 모든 공간에 걸쳐 확률이 균일하게 퍼져있기 때문에, 일정한 공간에서 찾을 확률이 높은 입자의 특성을 표현하기에는 적합하지 않다. 따라서 입자의 위치를 표현하기 위해서는 plane wave를 중첩하여 확률이 작은 영역에 몰려있는 wave function을 사용하는데 이 wave function을 wave packet이라고 한다. 이번.. 2020. 6. 13. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다. #Expectation Value of Observables 확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고) DEFINITION Expectation Value 사건 X의 가능한 결과값 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다. $$ E[X] = \sum _{.. 2020. 5. 9. 이전 1 다음