[양자역학] 2.2-(1) Example: 파동 패킷 Wave Packet

Free particle의 plane wave \(\psi(x) = e^{\frac{i}{\hbar}px}\)는 Hamiltonian operator의 eigenvector이지만, probability density fucntion이

$$ \psi ^\ast (x) \psi (x) = e^{-\frac{i}{\hbar}px}e^{\frac{i}{\hbar}px} = 1 $$

즉, 모든 공간에 걸쳐 확률이 균일하게 퍼져있기 때문에, 일정한 공간에서 찾을 확률이 높은 입자의 특성을 표현하기에는 적합하지 않다. 따라서 입자의 위치를 표현하기 위해서는 plane wave를 중첩하여 확률이 작은 영역에 몰려있는 wave function을 사용하는데 이 wave function을 wave packet이라고 한다. 이번 페이지에서는 wave packet의 한 예를 살펴보고 몇가지 특성을 살펴본다.

#Gaussian Wave Packet

wave function이 다음과 같이 Gaussian distribution 형태라고 가정하자.

$$ \psi (x) = \left(\frac{1}{2\pi\epsilon}\right)^\frac{1}{4}e^{-\frac{x^2}{4\epsilon}} $$

일단, 이 wave function이 normalized 되어있음을 확인하자.

$$ \int _{-\infty} ^{\infty} \psi^\ast (x) \psi (x) ~dx = \int _{-\infty} ^{\infty} \left(\frac{1}{2\pi\epsilon}\right)^\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon}} ~dx = 1 $$

이 wave function의 probability density function \(\psi^\ast (x) \psi (x) = \left(\frac{1}{2\pi\epsilon}\right)^\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon}}\)의 그래프는 아래 그림과 같다.

image by Wolfram Mathematica

위의 그래프에서 볼 수 있듯이 \(\epsilon\)이 작을수록 \(x=0\) 중심으로 발견할 확률이 모이고, \(\epsilon\)이 커질수록 확률이 흩어진다는 것을 확인할 있다. 이제 이 wave packet의 momentum space wave function을 구해보자.

$$ \hat{\psi}(p) = \int _{-\infty} ^\infty \psi (x) \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-\frac{i}{\hbar}px} ~dx = \int _{-\infty} ^\infty \left(\frac{1}{8\pi^3 \epsilon \hbar^2}\right)^\frac{1}{4} e^{-\left(\frac{x^2}{4\epsilon}+\frac{i}{\hbar}px\right)} ~dx $$

이를 풀기 위해, exponential의 지수를 정리하면,

$$ \frac{x^2}{4\epsilon} + \frac{i}{\hbar}px = \frac{\left(x+\frac{2i\epsilon}{\hbar}p\right)^2}{4\epsilon} + \frac{\epsilon}{\hbar^2}p^2 $$

따라서

$$ \hat{\psi}(p) = \left(\frac{1}{8\pi^3 \epsilon \hbar^2}\right)^\frac{1}{4}e^{-\frac{\epsilon}{\hbar^2}p^2} \int _{-\infty} ^\infty e^{-\left(x+\frac{2i\epsilon}{\hbar}p\right)^2 /4\epsilon} ~dx $$

이제 Cauchy integral theorem을 이용하면(복소함수 적분에 익숙하지 않다면 그냥 Gaussian distribution 적분으로 생각해도 된다)

$$ \hat{\psi}(p) = \left(\frac{2\epsilon}{\pi \hbar^2}\right)^\frac{1}{4} e^{-\frac{\epsilon}{\hbar^2}p^2} $$

Momentum space wave function에서 probability density function의 그래프는 다음과 같다.

image by Wolfram Mathematica

momentum space와 position space의 그래프를 비교해보면, \(\epsilon\)이 작아질수록 position space의 확률은 집중되는데 반하여 momentum space의 확률은 퍼지게 된다. 반대로 \(\epsilon\)이 커질수록 position space의 확률은 퍼지는데 반해 momentum space의 확률은 집중된다. 이러한 경향의 극단적인 형태가 plane wave이다. plane wave의 position space의 확률은 전 영역으로 균일하게 퍼져있는데 반해 momentum space의 확률은 딱 한 개의 값으로 집중되어 있는 Dirac delta function이 된다. 반대로 position space의 확률이 Dirac delta function 형태라면, momentum space의 확률은 inverse Fourier transform으로부터 전 영역에 균일하게 퍼지게 됨을 알 수 있다.

#Uncertainty Principle

이러한 경향은 Heisenberg uncertainty principle(불확정성 원리)으로 이해할 수 있다. 위치를 정확히 하려고 wave packet을 집중시키면 운동량의 wave packet이 넓어지고, 반대로 운동량의 wave packet을 집중시키면 위치의 wave packet이 넓어진다고 해석할 수 있다. 그렇다면 Gaussian wave packet은 얼마나 좋은 wave packet일까? 만약 위치를 정확히 하려고 wave packet을 집중시켰는데, 운동량이 분산되는 것이 너무 심하다면 좋지 않은 wave packet이라고 할 수 있을 것이다.

\(X\)의 표준편차를 구하기 위해, \(X\)의 기대값과 \(X^2\)의 기대값을 구하면,

$$ E[X] = \int _{-\infty} ^\infty \psi^\ast(x) x \psi(x) ~dx = \int _{-\infty} ^\infty x\left(\frac{1}{2\pi\epsilon}\right)^\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon}} ~dx = 0 $$

$$ E[X^2] = \int _{-\infty} ^\infty \psi^\ast(x) x^2 \psi(x) ~dx = \int _{-\infty} ^\infty x^2\left(\frac{1}{2\pi\epsilon}\right)^\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon}} ~dx = \epsilon $$

똑같이 \(P\)와 \(P^2\)의 기대값을 momentum space에서 구하면,

$$ E[P] = \int _{-\infty} ^\infty \hat{\psi}^\ast(p) p \hat{\psi}(p) ~dp = \int _{-\infty} ^\infty p \left(\frac{2\epsilon}{\pi \hbar^2}\right)^\frac{1}{2} e^{-2\frac{\epsilon}{\hbar^2}p^2} ~dp = 0 $$

$$ E[P^2] = \int _{-\infty} ^\infty \hat{\psi}^\ast(p) p^2 \hat{\psi}(p) ~dp = \int _{-\infty} ^\infty p^2 \left(\frac{2\epsilon}{\pi \hbar^2}\right)^\frac{1}{2} e^{-2\frac{\epsilon}{\hbar^2}p^2} ~dp = \frac{\hbar^2}{4\epsilon} $$

이들로부터 표준편차를 구하면,

$$ (\Delta X) = \sqrt{E[X^2] - (E[X])^2} = \sqrt{\epsilon} $$

$$ (\Delta P) = \sqrt{E[P^2] - (E[P])^2} = \frac{\hbar}{2\sqrt{\epsilon}} $$

따라서 표준편차들의 곱은

$$ (\Delta X)(\Delta P) = \frac{\hbar}{2} $$

Gaussian wave packet은 uncertainty principle에서 표준편차들의 최소값에 해당한다는 것을 알 수 있다.^[각주:1] 즉, Gaussian wave packet이 입자의 위치와 운동량을 한정하는 한계라고도 할 수 있다.

#Dispersion

Momentum space에서 free particle Hamiltonian operator는 단순히 \(\frac{p^2}{2m}\)을 곱해주는 역할이므로 wave packet이 시간에 대하여 어떻게 변하는지 확인하는데 momentum space가 더 편리하다. Time dependent Schrodinger equation

$$ i\hbar \frac{d}{dt} \hat{\psi}(p,t) = H \psi(p,t) = \frac{p^2}{2m} \hat{\psi}(p,t) $$

로부터

$$ \hat{\psi}(p,t) = \hat{\psi}(p,0) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2m}t} $$

를 얻는다. 만약 \(t=0\)일 때, wave function이 Gaussian wave packet일 때,

$$ \hat{\psi}(p,t) = \left( \frac{2\epsilon}{\pi\hbar^2}\right)^\frac{1}{4} e^{-\left(\frac{\epsilon}{\hbar^2}+\frac{it}{2m\hbar}\right)p^2} $$

이 wave function의 probability density function은

$$ \hat{\psi}^\ast(p,t) \hat{\psi}(p,t) = \left( \frac{2\epsilon}{\pi\hbar^2}\right)^\frac{1}{2} e^{-\frac{2\epsilon}{\hbar^2}p^2} $$

로 momentum space에서 probability density function은 변하지 않는다. 이제 이 함수를 다시 inverse Fourier transform을 통해 position space로 바꿔보자.

$$ \psi(x,t) = \int _{-\infty} ^\infty \hat{\psi}(p,t) \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}px} ~dp = \int _{-\infty} ^\infty \left( \frac{2\epsilon}{\pi\hbar^2}\right)^\frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-\left( \frac{\epsilon}{\hbar^2}+\frac{it}{2m\hbar}\right)p^2 + \frac{i}{\hbar}px} ~dp $$

지수를 정리하면,

$$ \left( \frac{\epsilon}{\hbar^2}+\frac{it}{2m\hbar}\right)p^2 - \frac{i}{\hbar}px = \left[ \left( \frac{2m\epsilon + i\hbar t}{2m\hbar^2} \right) ^{\frac{1}{2}} p - i \left( \frac{m}{4m\epsilon + 2i\hbar t} \right)^{\frac{1}{2}}x \right]^2 + \frac{m}{4m\epsilon + 2i\hbar t} x^2 $$

위에서 한 것과 같은 방식으로 적분하면,

$$ \psi(x,t) = \left( \frac{m}{2m\epsilon + i \hbar t} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{2\epsilon}{\pi}\right)^\frac{1}{4} e^{-\frac{m}{4m\epsilon + 2i\hbar t}x^2} $$

\(t=0\)일 때 처음에 본 Gaussian distribution이 된다는 것을 확인할 수 있다. 이제 probability density function을 구하면,

$$ \psi^\ast (x,t) \psi (x,t) = \sqrt{\frac{m^2}{4m^2\epsilon^2 + \hbar^2 t^2}}\sqrt{\frac{2\epsilon}{\pi}}e^{-\frac{8m^2\epsilon}{16m^2\epsilon^2 + 4\hbar^2t^2}x^2} $$

Momentum space와는 다르게, position space에서 probability density function은 시간에 대하여 변한다는 것을 볼 수 있다. Probability density function의 그래프는 다음과 같다.

image by Wolfram Mathematica

그래프에서 확인할 수 있는 것처럼, 처음에는 \(x=0\)에 집중되어 있는 확률이 시간이 지나면서 점점 퍼져가는 것을 볼 수 있다. 만약 \(t=0\)에서 position space wave function이 Gaussian wave packet이 아니라 Dirac delta function처럼 정확히 한 곳에 집중되어 있다고 하더라도 마찬가지로 시간이 지나면서 확률이 점점 퍼져간다. 이렇게 시간이 시간이 지나면서 점점 퍼져나가는 wave packet의 특성을 dispersion(분산)이라고 한다.^[각주:2]

#Moving Wave Packet

만약 wave packet이 평균 운동량 \(p_0\)의 값으로 움직인다고 한다면, 간단히 momentum space wave function을

$$ \hat{\psi}(p) = \left( \frac{2\epsilon}{\pi\hbar^2} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{\epsilon}{\hbar^2}(p-p_0)^2} $$

라고 하면 된다. 이를 inverse Fourier transform을 하면,

$$ \psi(x) = \int _{-\infty} ^\infty \hat{\psi}(p) \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{\frac{i}{\hbar}px} ~dp = \int _{-\infty} ^\infty  \left( \frac{2\epsilon}{\pi\hbar^2} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{\epsilon}{\hbar^2}(p-p_0)^2} \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{\frac{i}{\hbar}(p-p_0)x} e^{\frac{i}{\hbar}p_0 x} ~d(p-p_0) $$

이므로

$$ \psi(x) = \left(\frac{1}{2\pi\epsilon}\right)^\frac{1}{4}e^{-\left(\frac{x^2}{4\epsilon}-\frac{i}{\hbar}p_0x\right)} $$

를 구할 수 있다.

1. 1.4-(3) Example: 하이젠베르크의 불확정성 원리 Heisenberg's Uncertainty Principle 참고. [본문으로]
2. Dispersion에 대해서는 --EM,group velocity-- 참고. [본문으로]