[양자역학] 2.2 자유 입자 Free Particle ②

Momentum operator의 eigenvector \(\left| k \right\rangle = e^{ikx}\)는, 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 Hamiltonian operator의 eigenvector들처럼 wave function들의 basis가 된다. 따라서 일반적인 wave function을 \(\left| k \right\rangle\)들로 나타낼 수 있다.

#Dirac Delta Function

Infinite potential well에서 핵심이 되었던 것은 eigenvector들이 서로 orthogonal하다는 것이었다.

$$ \left\langle n \left. \right| m \right\rangle = \left\{ \begin{array}{ccl} 0 & , & \text{if } n \ne m \\ 1 & , & \text{if } n = m \end{array} \right.$$

Momentum operator의 eigenvector들도 orthogonal한 관계에 있는지 확인하기 위해 inner product

$$ \left\langle k \left. \right| k' \right\rangle = \int _{-\infty} ^\infty e^{-ikx}e^{ik'x} ~dx = \int _{-\infty} ^\infty e^{i(k'-k)x} ~dx$$

를 계산해보자. 식을 조금 간단히 하기위해 \(k'-k\)를 \(u\)라고 하고, 다음을 생각해보자.

$$ \int _{-\infty} ^\infty e^{iux}e^{-\epsilon x^2} ~dx$$

\(\epsilon \to 0\)이면 \(e^{-\epsilon x^2} \to 1\)이므로 원래 식을 얻게 된다는 것을 알 수 있다. 이제 식을 정리하면,

$$ \int _{-\infty} ^\infty e^{iux}e^{-\epsilon x^2} ~dx = e^{-\frac{u^2}{4\epsilon}} \int _{-\infty} ^\infty e^{-\epsilon\left( x- \frac{iu}{2\epsilon}\right)^2} ~dx $$

이제 Cauchy integral theorem^[각주:1]를 적용하면, (복소함수 적분에 익숙하지 않으면, 그냥 Gaussian distribution 적분으로 생각해도 된다)

$$ \int _{-\infty} ^\infty e^{iux}e^{-\epsilon x^2} ~dx = \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}} e^{-\frac{u^2}{4\epsilon}} $$

이 된다. 이 함수를 그래프로 살펴보면, (x축은 \(u\))

imaged by Wolfram Mathematica

\(\epsilon\)이 작아질수록 가운데는 점점 커지고, 다른 값들은 점점 작아짐을 알 수 있다. \(\epsilon \to 0\)이면 \(u=0\)에서 무한히 커지고, 다른 \(u\)에서는 0이 될 것이다. 또한 \(u\)에 대하여 적분하면,

$$ \int _{-\infty} ^\infty \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}} e^{-\frac{u^2}{4\epsilon}} = 2\pi $$

가 된다. 이러한 함수를 Dirac delta function이라고 부른다.

DEFINITION            Dirac Delta Function

 

적분값

$$ \delta(x) = \int _{-\infty} ^\infty \frac{1}{2\pi} e^{ikx} ~dk $$

는 다음을 만족한다.

$$ \delta(x) = \left\{ \begin{array}{ccl} \infty & , & \text{if } x=0 \\ 0 & , & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

$$ \int _{-\infty} ^\infty \delta(x) ~dx = 1$$

이 적분값 \(\delta(x)\)를 Dirac delta function이라고 부른다.

Dirac delta function의 가장 큰 특징은, 함수 \(f(x)\)를 곱해서 적분하면 적분값이 \(f(0)\)가 된다는 점이다. 이를 살펴보기 위해 \(f(x)\delta(x)\)와 \(f(0)\delta(x\)를 비교하면, \(x\)가 0이 아닌 영역에서는 \(\delta(x)\)가 0이므로 0이고, \(x=0\)에서는 \(f(x)=f(0)\)이므로 결국 같다고 할 수 있다. 따라서,

$$ \int _{-\infty} ^{\infty} f(x)\delta(x) ~dx = \int _{-\infty} ^\infty f(0) \delta(x) ~dx = f(0) $$

THEOREM            Properties of Dirac Delta Function

 

Dirac delta function은 다음과 같은 성질을 만족한다.

1.

$$ \delta(x) = \delta(-x) $$

$$ \frac{d^n}{dx^n} \delta(-x) = (-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \delta(x) $$

2.

$$ \int _{-\infty} ^\infty f(x)\delta(x-a) ~dx = f(a) $$

3.

$$ \int _{-\infty} ^\infty f(x)\frac{d^n}{dx^n} \delta(x-a) ~dx = (-1)^n f^{(n)}(a) $$

4.

$$ \delta((x-a)(x-b)) = \frac{1}{\left| a-b \right|} \left[ \delta(x-a) + \delta(x-b) \right] $$

#Momentum Space Wave Function

위의 정의를 이용하기 위해서 momentum operator의 eigenvector의 계수를 약간 조정하여 정의하자.

$$ \left| k \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} $$

그럼 eigenvector들의 inner product는

$$ \left\langle k \left. \right| k' \right\rangle = \delta(k-k') $$

이 된다. 이제 임의의 wave function \(\left| f \right\rangle\)를 inner product하면,

$$ \left\langle k \left. \right| f \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int _{-\infty} ^\infty f(x)e^{-ikx} ~dx $$

이 적분형태는 함수 \(f(x)\)의 Fourier transform임을 알 수 있다. (--Lebesgue,Fourier transform-- 참고) Infinite potential well에서 eigenvector와 wave function의 inner product는 eigenvector로 전개했을 때의 계수였지만, free particle에서는 Fourier transform이 된다. 이 transform의 결과로 얻는 함수를 momentum space에서 wave function이라고 부른다.

DEFINITION            Momentum Wave Function

 

Wave function \(f(x)\)에 대하여 Fourier transform

$$ \hat{f}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-\frac{i}{\hbar}px}~dx $$

를 momentum space에서 wave function이라고 한다.

반대로 momentum space wave function \(\hat{f}(p)\)로부터 position space wave function을 얻기 위해서는 inverse Fourier transform을 하면 얻을 수 있다.

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int _{-\infty} ^{\infty} \hat{f}(p)e^{\frac{i}{\hbar}px} ~dp $$

infinite potential well에서 계수들이 wave function을 완전히 결정했듯이, free particle에서 momentum space wave function이 position space wave function을 완전히 결정한다. 따라서 필요에 따라 position space나 momentum space에서 계산할 수 있다. 예를 들어, momentum operator는 position space에서는 미분이지만, momentum space는 단순히 \(p\)를 곱하는 operator가 된다.

$$ \begin{array}{ccc}  & \text{position space} & \text{momentum space} \\ \text{wave function} & f(x) & \hat{f}(p) \\ \text{position operator} & x & i\hbar \frac{d}{dp} \\ \text{momentum operator} & -i\hbar \frac{d}{dx} & p \end{array} $$

1. 자세한 내용은 --complex, Cauchy integral theorem-- 참고. [본문으로]