[양자역학] 2.2 자유 입자 Free Particle ②

Momentum operator의 eigenvector $|k⟩=e^{ikx}$는, 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 Hamiltonian operator의 eigenvector들처럼 wave function들의 basis가 된다. 따라서 일반적인 wave function을 $|k⟩$들로 나타낼 수 있다.

#Dirac Delta Function

Infinite potential well에서 핵심이 되었던 것은 eigenvector들이 서로 orthogonal하다는 것이었다.

$$⟨n|m⟩=\{\begin{array}{ccl}0& ,& \text{if }n\ne m\\ 1& ,& \text{if }n=m\end{array}$$

Momentum operator의 eigenvector들도 orthogonal한 관계에 있는지 확인하기 위해 inner product

$$⟨k|k^{\prime }⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ikx}{e}^{i{k}^{\prime }x}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i(k^{\prime }-k)x}dx$$

를 계산해보자. 식을 조금 간단히 하기위해 $k^{\prime }-k$를 $u$라고 하고, 다음을 생각해보자.

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{iux}{e}^{-ϵx^2}dx$$

$ϵ\to 0$이면 $e^{-ϵx^2}\to 1$이므로 원래 식을 얻게 된다는 것을 알 수 있다. 이제 식을 정리하면,

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{iux}{e}^{-ϵx^2}dx=e^{-\frac{u^2}{4ϵ}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ϵ{(x-\frac{iu}{2ϵ})}^2}dx$$

이제 Cauchy integral theorem^[각주:1]를 적용하면, (복소함수 적분에 익숙하지 않으면, 그냥 Gaussian distribution 적분으로 생각해도 된다)

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{iux}{e}^{-ϵx^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{ϵ}}{e}^{-\frac{u^2}{4ϵ}}$$

이 된다. 이 함수를 그래프로 살펴보면, (x축은 $u$)

imaged by Wolfram Mathematica

$ϵ$이 작아질수록 가운데는 점점 커지고, 다른 값들은 점점 작아짐을 알 수 있다. $ϵ\to 0$이면 $u=0$에서 무한히 커지고, 다른 $u$에서는 0이 될 것이다. 또한 $u$에 대하여 적분하면,

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{\frac{\pi }{ϵ}}{e}^{-\frac{u^2}{4ϵ}}=2\pi$$

가 된다. 이러한 함수를 Dirac delta function이라고 부른다.

DEFINITION            Dirac Delta Function

 

적분값

$$\delta (x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{e}^{ikx}dk$$

는 다음을 만족한다.

$$\delta (x)=\{\begin{array}{ccl}\mathrm{\infty }& ,& \text{if }x=0\\ 0& ,& \text{otherwise}\end{array}$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)dx=1$$

이 적분값 $\delta (x)$를 Dirac delta function이라고 부른다.

Dirac delta function의 가장 큰 특징은, 함수 $f(x)$를 곱해서 적분하면 적분값이 $f(0)$가 된다는 점이다. 이를 살펴보기 위해 $f(x)\delta (x)$와 $f(0)\delta (x$를 비교하면, $x$가 0이 아닌 영역에서는 $\delta (x)$가 0이므로 0이고, $x=0$에서는 $f(x)=f(0)$이므로 결국 같다고 할 수 있다. 따라서,

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\delta (x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(0)\delta (x)dx=f(0)$$

THEOREM            Properties of Dirac Delta Function

 

Dirac delta function은 다음과 같은 성질을 만족한다.

1.

$$\delta (x)=\delta (-x)$$

$$\frac{d^n}{d{x}^n}\delta (-x)=(-1{)}^n\frac{d^n}{d{x}^n}\delta (x)$$

2.

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\delta (x-a)dx=f(a)$$

3.

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\frac{d^n}{d{x}^n}\delta (x-a)dx=(-1{)}^n{f}^{(n)}(a)$$

4.

$$\delta ((x-a)(x-b))=\frac{1}{|a-b|}[\delta (x-a)+\delta (x-b)]$$

#Momentum Space Wave Function

위의 정의를 이용하기 위해서 momentum operator의 eigenvector의 계수를 약간 조정하여 정의하자.

$$|k⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikx}$$

그럼 eigenvector들의 inner product는

$$⟨k|k^{\prime }⟩=\delta (k-k^{\prime })$$

이 된다. 이제 임의의 wave function $|f⟩$를 inner product하면,

$$⟨k|f⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-ikx}dx$$

이 적분형태는 함수 $f(x)$의 Fourier transform임을 알 수 있다. (--Lebesgue,Fourier transform-- 참고) Infinite potential well에서 eigenvector와 wave function의 inner product는 eigenvector로 전개했을 때의 계수였지만, free particle에서는 Fourier transform이 된다. 이 transform의 결과로 얻는 함수를 momentum space에서 wave function이라고 부른다.

DEFINITION            Momentum Wave Function

 

Wave function $f(x)$에 대하여 Fourier transform

$$\hat{f}(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-\frac{i}{\hslash }px}dx$$

를 momentum space에서 wave function이라고 한다.

반대로 momentum space wave function $\hat{f}(p)$로부터 position space wave function을 얻기 위해서는 inverse Fourier transform을 하면 얻을 수 있다.

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(p)e^{\frac{i}{\hslash }px}dp$$

infinite potential well에서 계수들이 wave function을 완전히 결정했듯이, free particle에서 momentum space wave function이 position space wave function을 완전히 결정한다. 따라서 필요에 따라 position space나 momentum space에서 계산할 수 있다. 예를 들어, momentum operator는 position space에서는 미분이지만, momentum space는 단순히 $p$를 곱하는 operator가 된다.

$$\begin{array}{ccc}& \text{position space}& \text{momentum space}\\ \text{wave function}& f(x)& \hat{f}(p)\\ \text{position operator}& x& i\hslash \frac{d}{dp}\\ \text{momentum operator}& -i\hslash \frac{d}{dx}& p\end{array}$$

1. 자세한 내용은 --complex, Cauchy integral theorem-- 참고. [본문으로]