[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ⑤

지금까지 1차원 infinite potential well에 갇혀있는 입자를 양자역학에서 어떻게 기술하는지 살펴보았다. 이제 3차원 box에 갇혀있는 입자 1개를 어떻게 기술하는지 살펴보자.

#Time Independent Schrödinger Equation

먼저 3차원 box의 potential은 다음과 같이 주어진다.

$$ V(x,y,z) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{if }0<x<L_x,~0<y<L_y,~0<z<L_z \\ \infty & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

따라서, 1차원 infinite potential well과 마찬가지로 box 바깥쪽에서는 wave function이 0이 되고 다음과 같은 경계조건을 갖는다.

$$ \psi (0,y,z) = \psi (L_x,y,z) = 0 $$

$$ \psi (x,0,z) = \psi (x,L_y,z) = 0 $$

$$ \psi (x,y,0) = \psi (x,y,L_z) = 0 $$

그리고 Hamiltonian \(H\)는 다음과 같이 주어진다.

$$ H = -\frac{P^2}{2m} $$

이 때, \(P^2 = P_x ^2 + P_y ^2 + P_z ^2\)이다. 이제, 3차원에서는 변수가 \(x\), \(y\), \(z\)이므로 다음과 같이 operator로 변환하자.

$$ \begin{array}{ccccccc} X & \rightarrow & x & , & P_x & \rightarrow & -i\hbar \frac{d}{dx} \\ Y & \rightarrow & y & , & P_y & \rightarrow & -i\hbar \frac{d}{dy} \\ Z & \rightarrow & z & , & P_z & \rightarrow & -i\hbar \frac{d}{dz} \end{array} $$

따라서, eigenvalue equation은

$$ H \psi (x,y,z) = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^2}{dy^2} + \frac{d^2}{dz^2} \right) \psi (x,y,z) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi (x,y,z) = E \psi (x,y,z) $$

가 된다.

#Solution of Eigenvalue Equation

미분방정식을 풀기 위해 separation of variables를 이용하자. (separation of variables에 대한 자세한 내용은 --em, Laplace equation--참고) \(\psi (x,y,z)=f(x)g(y)h(z)\)라고 하고 양변을 \(f(x)g(x)h(x)\)로 나누면

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{f(x)} \frac{d^2}{dx^2} f(x) + -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{g(y)} \frac{d^2}{dy^2} g(y) + -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{h(z)} \frac{d^2}{dz^2} h(z) = E $$

가 되므로 다음과 같은 4개의 식을 얻는다.

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{f(x)} \frac{d^2}{dx^2} f(x) = E_x $$

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{g(y)} \frac{d^2}{dy^2} g(y) = E_y $$

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{h(z)} \frac{d^2}{dz^2} h(z) = E_z $$

$$ E_x + E_y + E_z = E $$

위쪽 3개의 식을 다시 정리하면,

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} f(x) = E_x f(x) $$

의 형태로 1차원 infinite potential well과 똑같은 식을 얻게 된다. 따라서

$$ f(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}}\sin \frac{n_x \pi x}{L_x}~~,~~E_x = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_x ^2}{2mL_x ^2} $$

$$ g(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}}\sin \frac{n_y \pi y}{L_y}~~,~~E_y = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_y ^2}{2mL_y ^2} $$

$$ h(z) = \sqrt{\frac{2}{L_z}}\sin \frac{n_z \pi z}{L_z}~~,~~E_z = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_z ^2}{2mL_z ^2} $$

$$ E = E_x + E_y + E_z $$

가 된다. 그러므로 eigenvalue equation의 해는

$$ \psi(x,y,z) = f(x)g(y)h(z) = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \frac{n_x \pi x}{L_x} \sin \frac{n_y \pi y}{L_y} \sin \frac{n_z \pi z}{L_z} $$

이고 eigenvalue

$$ E = E_x + E_y + E_z = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m}\left( \frac{n_x ^2}{L_x ^2} + \frac{n_y ^2}{L_y ^2} + \frac{n_z ^2}{L_z ^2} \right) $$

를 얻는다. 이 때, \(n_x\), \(n_y\), \(n_z\)는 자연수로 eigenvalue와 eigenvector를 결정하는 수, 즉 quantum number임을 알 수 있다.

#Vector Structure

2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 살펴본 것처럼 \(H\)의 eigenvector들은 basis vector가 된다. bra-ket notation으로 표현하려면, 1차원 infinite potential well이 1개의 quantum number가 사용된 것과는 다르게, 3차원 box에서는 하나의 basis vector를 결정하는데 3개의 quantum number가 필요하다.

$$ \left| n_x, n_y, n_z \right\rangle = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \frac{n_x \pi x}{L_x} \sin \frac{n_y \pi y}{L_y} \sin \frac{n_z \pi z}{L_z} $$

3개의 quantum number 중 하나라도 다르면 서로 다른 basis vector이다. 예를 들어, \((n_x,n_y,n_z)=(1,1,1)\)의 wave function과 \((1,1,2)\)의 wave function은

$$ \left| 1,1,1 \right\rangle = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \frac{\pi x}{L_x} \sin \frac{\pi y}{L_y} \sin \frac{\pi z}{L_z} $$

$$ \left| 1,1,2 \right\rangle = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \frac{\pi x}{L_x} \sin \frac{\pi y}{L_y} \sin \frac{2\pi z}{L_z} $$

이므로 \(\left| 1,1,1 \right\rangle \ne k \left| 1,1,2 \right\rangle\), 즉 서로 linearly independent하다.

또한 1차원 infinite potential well에서 \(H\)의 eigenvector들은 서로 orthogonal하다는 것도 살펴보았다. 3차원 box을 포함한 모든 모델에서도 orthogonal 성질을 만족한다. 먼저 3차원에서의 inner product는 3차원에서 적분으로 정의된다.

$$ \left\langle f \left| g \right. \right\rangle = \int _\text{정의역} f^\ast (x,y,z) g(x,y,z) ~d^3x $$

이제 \(H\)의 eigenvector들에 대해 직접 inner product를 해보면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$ \left\langle n_x, n_y, n_z \left| n_x ' ,n_y ' ,n_z ' \right. \right\rangle = \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & , & \text{if } n_x = n_x ' ~,~ n_y = n_y ' ~,~ n_z = n_z ' \\ 0 & , & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

따라서 임의의 wave function \(\left| \Psi \right\rangle\)을 basis vector들로 분해했을 때

$$ \left| \Psi \right\rangle = \sum _{n_x, n_y, n_z =1} ^\infty c_{n_x,n_y,n_z} \left| n_x,n_y,n_z \right\rangle $$

basis vector에 곱해진 계수 \(c_{n_x,n_y,n_z}\)는 \(\left| \Psi \right\rangle\)와 basis vector의 inner product로 구해진다.

$$ \left\langle n_x,n_y,n_z \left| \Psi \right. \right\rangle = c_{n_x,n_y,n_z} $$

Summary

지금까지 가장 간단한 형태의 양자역학 모델인 '상자 속 입자'에 대하여 살펴보았다. 모델을 통해 살펴본 내용들을 정리하면 다음과 같다.

① Hamiltonian \(H\)에 대한 eigenvalue equation \(H\left| n \right\rangle = E_n \left| n \right\rangle\)와 ground state, zero-point energy, normalization, quantum number 개념들

② wave function의 vector 구조와 basis 전개, bra-ket notation, inner product

③ observable(물리적 측정값)의 expectation value

④ 시간에 대한 변화

⑤ 2개 이상의 quantum number를 가지는 모델

미분방정식의 해나 적분계산 테크닉들은 다르겠지만, 더 복잡한 양자역학 모델에서도 큰 구조는 지금까지 정리한 내용과 똑같다.^[각주:1]

1. 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators에서는 ⑤에 대하여 더 자세한 내용이 소개된다. --qm, time dependent perturbation theory--에서는 ④번이 조금 달라진다. [본문으로]