[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ⑤

지금까지 1차원 infinite potential well에 갇혀있는 입자를 양자역학에서 어떻게 기술하는지 살펴보았다. 이제 3차원 box에 갇혀있는 입자 1개를 어떻게 기술하는지 살펴보자.

#Time Independent Schrödinger Equation

먼저 3차원 box의 potential은 다음과 같이 주어진다.

$$V(x,y,z)=\{\begin{array}{cl}0& \text{if }0<x<L_x,0<y<L_y,0<z<L_z\\ \mathrm{\infty }& \text{otherwise}\end{array}$$

따라서, 1차원 infinite potential well과 마찬가지로 box 바깥쪽에서는 wave function이 0이 되고 다음과 같은 경계조건을 갖는다.

$$\psi (0,y,z)=\psi (L_x,y,z)=0$$

$$\psi (x,0,z)=\psi (x,L_y,z)=0$$

$$\psi (x,y,0)=\psi (x,y,L_z)=0$$

그리고 Hamiltonian $H$는 다음과 같이 주어진다.

$$H=-\frac{P^2}{2m}$$

이 때, $P^2=P_x^2+P_y^2+P_z^2$이다. 이제, 3차원에서는 변수가 $x$, $y$, $z$이므로 다음과 같이 operator로 변환하자.

$$\begin{array}{ccccccc}X& \to & x& ,& P_x& \to & -i\hslash \frac{d}{dx}\\ Y& \to & y& ,& P_y& \to & -i\hslash \frac{d}{dy}\\ Z& \to & z& ,& P_z& \to & -i\hslash \frac{d}{dz}\end{array}$$

따라서, eigenvalue equation은

$$H\psi (x,y,z)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{d^2}{d{y}^2}+\frac{d^2}{d{z}^2})\psi (x,y,z)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (x,y,z)=E\psi (x,y,z)$$

가 된다.

#Solution of Eigenvalue Equation

미분방정식을 풀기 위해 separation of variables를 이용하자. (separation of variables에 대한 자세한 내용은 --em, Laplace equation--참고) $\psi (x,y,z)=f(x)g(y)h(z)$라고 하고 양변을 $f(x)g(x)h(x)$로 나누면

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{f(x)}\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{g(y)}\frac{d^2}{d{y}^2}g(y)+-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{h(z)}\frac{d^2}{d{z}^2}h(z)=E$$

가 되므로 다음과 같은 4개의 식을 얻는다.

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{f(x)}\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)=E_x$$

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{g(y)}\frac{d^2}{d{y}^2}g(y)=E_y$$

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{h(z)}\frac{d^2}{d{z}^2}h(z)=E_z$$

$$E_x+E_y+E_z=E$$

위쪽 3개의 식을 다시 정리하면,

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)=E_{x}f(x)$$

의 형태로 1차원 infinite potential well과 똑같은 식을 얻게 된다. 따라서

$$f(x)=\sqrt{\frac{2}{L_x}}\sin \frac{n_x\pi x}{L_x},E_x=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}_x^2}{2m{L}_x^2}$$

$$g(y)=\sqrt{\frac{2}{L_y}}\sin \frac{n_y\pi y}{L_y},E_y=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}_y^2}{2m{L}_y^2}$$

$$h(z)=\sqrt{\frac{2}{L_z}}\sin \frac{n_z\pi z}{L_z},E_z=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}_z^2}{2m{L}_z^2}$$

$$E=E_x+E_y+E_z$$

가 된다. 그러므로 eigenvalue equation의 해는

$$\psi (x,y,z)=f(x)g(y)h(z)=\sqrt{\frac{8}{L_x{L}_y{L}_z}}\sin \frac{n_x\pi x}{L_x}\sin \frac{n_y\pi y}{L_y}\sin \frac{n_z\pi z}{L_z}$$

이고 eigenvalue

$$E=E_x+E_y+E_z=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m}(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2})$$

를 얻는다. 이 때, $n_x$, $n_y$, $n_z$는 자연수로 eigenvalue와 eigenvector를 결정하는 수, 즉 quantum number임을 알 수 있다.

#Vector Structure

2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 살펴본 것처럼 $H$의 eigenvector들은 basis vector가 된다. bra-ket notation으로 표현하려면, 1차원 infinite potential well이 1개의 quantum number가 사용된 것과는 다르게, 3차원 box에서는 하나의 basis vector를 결정하는데 3개의 quantum number가 필요하다.

$$|n_x,n_y,n_z⟩=\sqrt{\frac{8}{L_x{L}_y{L}_z}}\sin \frac{n_x\pi x}{L_x}\sin \frac{n_y\pi y}{L_y}\sin \frac{n_z\pi z}{L_z}$$

3개의 quantum number 중 하나라도 다르면 서로 다른 basis vector이다. 예를 들어, $(n_x,n_y,n_z)=(1,1,1)$의 wave function과 $(1,1,2)$의 wave function은

$$|1,1,1⟩=\sqrt{\frac{8}{L_x{L}_y{L}_z}}\sin \frac{\pi x}{L_x}\sin \frac{\pi y}{L_y}\sin \frac{\pi z}{L_z}$$

$$|1,1,2⟩=\sqrt{\frac{8}{L_x{L}_y{L}_z}}\sin \frac{\pi x}{L_x}\sin \frac{\pi y}{L_y}\sin \frac{2\pi z}{L_z}$$

이므로 $|1,1,1⟩\ne k|1,1,2⟩$, 즉 서로 linearly independent하다.

또한 1차원 infinite potential well에서 $H$의 eigenvector들은 서로 orthogonal하다는 것도 살펴보았다. 3차원 box을 포함한 모든 모델에서도 orthogonal 성질을 만족한다. 먼저 3차원에서의 inner product는 3차원에서 적분으로 정의된다.

$$⟨f|g⟩={\int }_{\text{정의역}}{f}^{\ast }(x,y,z)g(x,y,z)d^{3}x$$

이제 $H$의 eigenvector들에 대해 직접 inner product를 해보면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$⟨n_x,n_y,n_z|n_x^{\prime },n_y^{\prime },n_z^{\prime }⟩=\{\begin{array}{ccl}1& ,& \text{if }{n}_x=n_x^{\prime },n_y=n_y^{\prime },n_z=n_z^{\prime }\\ 0& ,& \text{otherwise}\end{array}$$

따라서 임의의 wave function $|\mathrm{\Psi }⟩$을 basis vector들로 분해했을 때

$$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{n_x,n_y,n_z=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n_x,n_y,n_z}|n_x,n_y,n_z⟩$$

basis vector에 곱해진 계수 $c_{n_x,n_y,n_z}$는 $|\mathrm{\Psi }⟩$와 basis vector의 inner product로 구해진다.

$$⟨n_x,n_y,n_z|\mathrm{\Psi }⟩=c_{n_x,n_y,n_z}$$

Summary

지금까지 가장 간단한 형태의 양자역학 모델인 '상자 속 입자'에 대하여 살펴보았다. 모델을 통해 살펴본 내용들을 정리하면 다음과 같다.

① Hamiltonian $H$에 대한 eigenvalue equation $H|n⟩=E_n|n⟩$와 ground state, zero-point energy, normalization, quantum number 개념들

② wave function의 vector 구조와 basis 전개, bra-ket notation, inner product

③ observable(물리적 측정값)의 expectation value

④ 시간에 대한 변화

⑤ 2개 이상의 quantum number를 가지는 모델

미분방정식의 해나 적분계산 테크닉들은 다르겠지만, 더 복잡한 양자역학 모델에서도 큰 구조는 지금까지 정리한 내용과 똑같다.^[각주:1]

1. 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators에서는 ⑤에 대하여 더 자세한 내용이 소개된다. --qm, time dependent perturbation theory--에서는 ④번이 조금 달라진다. [본문으로]