[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ④

이전 페이지까지 양자역학의 기본 개념들에는 시간에 대한 변화를 포함하고 있지 않다. 이제 양자역학에서 물리적 시스템의 시간에 대한 변화를 어떻게 기술하는지 살펴보자.

#Time Dependent Schrödinger Equation

양자역학에서 시간에 대한 변화를 기술하기 위해서는 time dependent Schrödinger equation이 필요하다.

SUPPLEMENT            Time Dependent Schrödinger Equation

$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$$

일단, infinite potential well에서 시간에 대하여 변하는 wave function $|\psi (t)⟩$에 대하여 생각해보자. 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 언급한 것처럼, 모든 infinite potential well의 wave function은 basis vector인 $|n⟩$들로 분해될 수 있다.

$$|\psi (t)⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n|n⟩$$

이 때, $|n⟩$은 시간에 대하여 변하는 함수들이 아니다. 왜냐하면, eigenvalue equation $H|n⟩=|E_n⟩$은 시간과 무관한 식이기 때문이다. 따라서 wave function이 시간에 대하여 변한다면, 위 식에서 basis vector에 곱해진 계수가 시간에 대하여 변한다고 밖에 볼 수 없다.

$$|\psi (t)⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(t)|n⟩$$

따라서, 시간에 대한 wave function의 변화는 $c_n(t)$가 어떻게 되는지 구하는 문제와 같다.

#Stationary State

이제 가장 간단한 형태인 하나의 basis vector $|m⟩$으로만 분해되는 wave function부터 알아보자.

$$|f(t)⟩=c_m(t)|m⟩$$

이를 time dependent Schrödinger equation에 대입하여 식을 정리하면,

$$(\frac{d}{dt}{c}_m(t))|m⟩=(-\frac{i}{\hslash }{E}_m{c}_m(t))|m⟩$$

$|m⟩$은 변수 $x$에 대한 함수이므로, 변수 $t$에 대한 부분만 남겨놓으면,

$$\frac{d}{dt}{c}_m(t)=-\frac{i}{\hslash }{E}_m$$

이 식의 해는 $c_m(t)=c_m(0)e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{m}t}$이다. 만약 $t=0$일 때, $c_m(0)=1$이라고 하면(즉, $|f(0)⟩=|m⟩$),

$$|f(t)⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{m}t}|m⟩$$

이 된다.

$|f(t)⟩$은 시간에 대하여 어떻게 변하는 함수일까? 모든 것을 살펴보긴 어렵겠지만, 위치에 대하여 입자가 존재할 확률이 시간에 대해 어떻게 변하는지 살펴보면 어느정도 이해할 수 있을 것이다. 위치에 대하여 입자가 존재할 확률(정확히는 위치에 대한 probability density function) ${|f(t)|}^2$을 구해보면

$${\left|e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{m}t}\right|}^2=1$$

이므로 입자가 존재할 확률은 결국 시간에 대해 변하지 않는다. 이렇게, time independent Schrödinger equation의 solution은 위치에 대하여 입자가 존재할 확률이 시간에 대해 변하지 않는다.

THEOREM            

물리적 시스템의 Hamiltonian $H$가 시간에 대하여 독립적일 경우, eigenvalue equation $H|\psi ⟩=E|\psi ⟩$의 solution $|\psi ⟩$은 시간에 대하여 다음과 같이 기술된다.

$$|\psi (t)⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}|\psi ⟩$$

따라서 eigenvalue equation의 solution은 위치에 대하여 입자가 존재할 확률이 시간에 대해 변하지 않는다. 이러한 wave function을 stationary state(정상 상태)라고 부른다.

#Case of General States

$H$의 eigenvector가 아닌 infinite potential well의 일반적인 wave function은 시간에 대하여 어떻게 변화할까? 다음의 과정을 거치면 쉽게 구할 수 있다.

① $t=0$일 때, wave function을 $H$의 eigenvector들로 분해한다.

$$|\psi (0)⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(0)|n⟩$$

② $H$의 eigenvector에 다음과 같은 phase항을 곱해준다.

$$|n⟩\to e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}|n⟩$$

③ 정리하면,

$$|\psi (t)⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(0)e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}|n⟩$$

(자세한 증명은 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation 참고)

예를 들어, $t=0$일 때,

$$|\psi (0)⟩=2|n=1⟩+|n=2⟩=2\sin \frac{\pi x}{L}+\sin \frac{2\pi x}{L}$$

인 wave function은

$$\begin{array}{ccc}|n=1⟩=\sin \frac{\pi x}{L}& \to & e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{1}t}|n=1⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}t}\sin \frac{\pi x}{L}\\ |n=2⟩=\sin \frac{2\pi x}{L}& \to & e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{2}t}|n=2⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{4{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}t}\sin \frac{2\pi x}{L}\end{array}$$

를 이용하면,

$$|\psi (t)⟩=2e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}t}\sin \frac{\pi x}{L}+e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{4{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}t}\sin \frac{2\pi x}{L}$$

이 된다. 이 wave function의 위치에 대한 확률 ${|\psi (t)|}^2$을 구하기 위해 Euler equation $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$를 이용하면 stationary state와는 다르게 시간에 대하여 변한다는 것을 확인할 수 있다.