[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ④

이전 페이지까지 양자역학의 기본 개념들에는 시간에 대한 변화를 포함하고 있지 않다. 이제 양자역학에서 물리적 시스템의 시간에 대한 변화를 어떻게 기술하는지 살펴보자.

#Time Dependent Schrödinger Equation

양자역학에서 시간에 대한 변화를 기술하기 위해서는 time dependent Schrödinger equation이 필요하다.

SUPPLEMENT            Time Dependent Schrödinger Equation

$$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi(t) \right\rangle = H \left| \psi (t) \right\rangle $$

일단, infinite potential well에서 시간에 대하여 변하는 wave function \(\left| \psi (t) \right\rangle\)에 대하여 생각해보자. 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 언급한 것처럼, 모든 infinite potential well의 wave function은 basis vector인 \(\left| n \right\rangle\)들로 분해될 수 있다.

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = \sum _{n=1} ^\infty c_n \left| n \right\rangle $$

이 때, \(\left| n \right\rangle\)은 시간에 대하여 변하는 함수들이 아니다. 왜냐하면, eigenvalue equation \(H\left| n \right\rangle = \left| E_n \right\rangle\)은 시간과 무관한 식이기 때문이다. 따라서 wave function이 시간에 대하여 변한다면, 위 식에서 basis vector에 곱해진 계수가 시간에 대하여 변한다고 밖에 볼 수 없다.

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = \sum _{n=1} ^\infty c_n (t) \left| n \right\rangle $$

따라서, 시간에 대한 wave function의 변화는 \(c_n (t)\)가 어떻게 되는지 구하는 문제와 같다.

#Stationary State

이제 가장 간단한 형태인 하나의 basis vector \(\left| m \right\rangle\)으로만 분해되는 wave function부터 알아보자.

$$ \left| f(t) \right\rangle = c_m (t) \left| m \right\rangle $$

이를 time dependent Schrödinger equation에 대입하여 식을 정리하면,

$$ \left( \frac{d}{dt} c_m(t) \right) \left| m \right\rangle = \left( -\frac{i}{\hbar}E_m c_m(t) \right) \left| m \right\rangle $$

\(\left| m \right\rangle\)은 변수 \(x\)에 대한 함수이므로, 변수 \(t\)에 대한 부분만 남겨놓으면,

$$ \frac{d}{dt} c_m(t) = -\frac{i}{\hbar}E_m $$

이 식의 해는 \(c_m(t) = c_m (0) e^{-\frac{i}{\hbar}E_m t}\)이다. 만약 \(t=0\)일 때, \(c_m (0) = 1\)이라고 하면(즉, \(\left| f(0) \right\rangle = \left| m \right\rangle\)),

$$ \left| f(t) \right\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}E_m t} \left| m \right\rangle $$

이 된다.

\(\left| f(t) \right\rangle\)은 시간에 대하여 어떻게 변하는 함수일까? 모든 것을 살펴보긴 어렵겠지만, 위치에 대하여 입자가 존재할 확률이 시간에 대해 어떻게 변하는지 살펴보면 어느정도 이해할 수 있을 것이다. 위치에 대하여 입자가 존재할 확률(정확히는 위치에 대한 probability density function) \(\left| f(t) \right|^2\)을 구해보면

$$ \left| e^{-\frac{i}{\hbar} E_m t} \right| ^2 = 1 $$

이므로 입자가 존재할 확률은 결국 시간에 대해 변하지 않는다. 이렇게, time independent Schrödinger equation의 solution은 위치에 대하여 입자가 존재할 확률이 시간에 대해 변하지 않는다.

THEOREM            

물리적 시스템의 Hamiltonian \(H\)가 시간에 대하여 독립적일 경우, eigenvalue equation \(H\left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle\)의 solution \(\left| \psi \right\rangle\)은 시간에 대하여 다음과 같이 기술된다.

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}Et} \left| \psi \right\rangle $$

따라서 eigenvalue equation의 solution은 위치에 대하여 입자가 존재할 확률이 시간에 대해 변하지 않는다. 이러한 wave function을 stationary state(정상 상태)라고 부른다.

#Case of General States

\(H\)의 eigenvector가 아닌 infinite potential well의 일반적인 wave function은 시간에 대하여 어떻게 변화할까? 다음의 과정을 거치면 쉽게 구할 수 있다.

① \(t=0\)일 때, wave function을 \(H\)의 eigenvector들로 분해한다.

$$ \left| \psi (0) \right\rangle = \sum _{n=1} ^\infty c_n (0) \left| n \right\rangle $$

② \(H\)의 eigenvector에 다음과 같은 phase항을 곱해준다.

$$ \left| n \right\rangle ~~~~ \rightarrow ~~~~~ e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t} \left| n \right\rangle $$

③ 정리하면,

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = \sum _{n=1} ^\infty c_n (0) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t} \left| n \right\rangle $$

(자세한 증명은 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation 참고)

예를 들어, \(t=0\)일 때,

$$ \left| \psi (0) \right\rangle = 2\left| n=1 \right\rangle + \left| n=2 \right\rangle = 2\sin \frac{\pi x}{L} + \sin \frac{2 \pi x}{L} $$

인 wave function은

$$ \begin{array}{ccc} \left| n=1 \right\rangle = \sin \frac{\pi x}{L} & \rightarrow & e^{-\frac{i}{\hbar}E_1 t}\left| n=1 \right\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}t} \sin \frac{\pi x}{L} \\ \left| n=2 \right\rangle = \sin \frac{2\pi x}{L} & \rightarrow & e^{-\frac{i}{\hbar}E_2 t}\left| n=2 \right\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{4\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}t} \sin \frac{2\pi x}{L} \end{array} $$

를 이용하면,

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = 2e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}t} \sin \frac{\pi x}{L} + e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{4\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}t} \sin \frac{2\pi x}{L} $$

이 된다. 이 wave function의 위치에 대한 확률 \(\left| \psi(t) \right|^2\)을 구하기 위해 Euler equation \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)를 이용하면 stationary state와는 다르게 시간에 대하여 변한다는 것을 확인할 수 있다.