[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①

 

양자역학을 배울 때 가장 처음으로 만나게 되는 a particle in a box 문제를 미분방정식과 선형대수학 관점에서 살펴보고 이들이 어떻게 연결되어 있는지 살펴보자.

 

#Infinite Potential Well Problem

가장 쉬운 문제는 1-dimensional box 문제일 것이다. 질량이 \(m\)인 입자 한개가 \(0<x<L\) 크기의 박스 안에 갇혀있고 그 밖으로 나가지 못하는 문제이다. 이러한 1-dimensional box를 infinite potential well이라고도 부른다.

 

Infinite_potential_well.svg: Bdeshamderivative work: Papa November / CC BY-SA

 

그림에서 보는 바와 같이, infinite potential well의 potential은 다음과 같이 주어진다.

$$ V(x) = \left\{ \begin{array}{ccl} \infty & , & x\le0 \\ 0 & , & 0<x<a \\ \infty & , & x \ge L \end{array} \right. $$

따라서 이 문제의 고전적인 Hamitonian은

$$ H = K + V = \frac{p^2}{2m} $$

이 된다. 이제 고전적 observable을 양자역학에서 사용하는 operator로 바꾸기 위하여, 고전역학의 variable \(x\)를 함수에 \(x\)를 곱해주는 operator로, \(p\)를 함수를 한번 미분한 다음 \(-i\hbar\)를 곱해주는 operator로 바꿔주자.

$$ \begin{array}{ccl} x & \rightarrow & X=x \\ p & \rightarrow & P=-i\hbar\frac{d}{dx} \end{array} $$

그러면 Hamiltonian operator는

$$ H = -\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} $$

가 된다.

 

여기에서 잠깐, operator \(X\), \(P\)가 first quatization \([X,P]=i\hbar\)를 만족하는 것을 꼭 확인하자. (\([\cdot,\cdot]\)에 대해서는 3.3 Commutator 참고) 이를 확인하기 위해서 임의의 함수 \(f(x)\)에 \(P\)를 먼저 적용하고 다음에 \(X\)를 적용한 \(XPf(x)\)와 \(X\)를 먼저 적용하고 다음에 \(P\)를 적용한 \(PXf(x)\)를 직접 비교하면 된다.

$$ \begin{array}{ccl} XP f(x) & = & -i\hbar x \frac{df}{dx} \\ PX f(x) & = & -i\hbar \frac{d}{dx}(x\cdot f(x)) = -i\hbar f(x) - i\hbar x \frac{df}{dx} \end{array} $$

이므로

$$ [X,P]f(x) = XP f(x) - PX f(x) = i\hbar f(x) $$

즉, \([X,P] = i \hbar\) 임을 확인할 수 있다. 

 

위에서 구한 Hamiltonian operator로부터 time independent Schrödinger equation은

$$ -\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = E \psi(x) $$

가 된다.

 

#Solutions of Time Independent Schrödinger Equation

위 식의 해를 구하기 전에 먼저 well 바깥쪽에서 \(\psi(x)\)는 어떻게 되어야 할지 생각해보자. Schrödinger equation을 만족하기 위해서는 well 바깥쪽에서 \(\psi(x)\)는 0이 되어야 한다. 따라서 well의 끝부분에서 \(\psi(x)\)는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.

$$ \begin{array}{ccc} \psi(0) & = & 0 \\ \psi(L) & = & 0 \end{array} $$

이 조건을 미분방정식의 boundary condition(경계조건)이라고 부른다. Time independent Schrödinger equation을 푼다는 것은 boundary condition을 만족하는 미분방정식의 해를 구한다는 뜻이다.

 

이제 미분방정식의 해를 구하기 위해 식을 다음과 같이 정리하자.

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = -\frac{2mE}{\hbar^2} \psi(x) $$

우변에 \(m\), \(\hbar^2\)는 모두 양수이므로, 미분방정식의 해를 \(E\)의 부호에 따라 구분해서 생각해보자.

 

 

① \(E=0\)인 경우

 

미분방정식은

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = 0 $$

이어야 하므로,

$$ \psi(x) = ax + b $$

의 형태가 되어야 한다. 그러나 이 해가 boundary condition을 만족하려면 \(\psi(x) = 0\)이 되어야 한다. 즉, 모든 영역에서 \(\psi(x)=0\)이므로 입자가 발견될 확률 \(|\psi(x)|^2\)도 0이 되어, 결국 입자가 없다는 것이 된다. 즉, \(E=0\)인 경우는 0 이외의 해는 없다.

 

 

② \(E\)가 음수인 경우

 

우변에 \(-\frac{2mE}{\hbar^2}\)가 양수이므로 새로운 양수 \(k\)를 다음과 같이 정의하자.

$$ k = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

즉, 미분방정식은

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = k^2 \psi(x) $$

2번 미분하면 \(k^2\)이 곱해지는 함수가 해가 된다. 이러한 함수에는 \(a \cdot e^{kx}\)와 \(b \cdot e^{-kx}\)가 있다. 그러나 이 해가 boundary condition을 만족하려면 \(\psi(x)=0\)이 되어야 한다. 따라서 이 경우에도 0 이외의 해는 없다.

 

 

③ \(E\)가 양수인 경우

 

우변에 \(-\frac{2mE}{\hbar^2}\)가 음수이므로 새로운 양수 \(k\)를 다음과 같이 정의하자.

$$ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

즉, 미분방정식은

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = -k^2 \psi(x) $$

2번 미분하면 \(k^2\)이 곱해지는 함수가 해가 된다. 이러한 함수에는 \(a \cdot \sin kx\)와 \(b \cdot \cos kx\)가 있다. \(b \cdot \cos kx\)는 boundary condition을 만족하려면 \(\psi(x) = 0\)이 되어야 하므로 0 이외의 해는 없다.

 

이제 \(\psi(x) = a \cdot \sin kx\)라고 하고 boundary condition을 만족하기 위한 조건을 구해보자. 먼저 \(\psi(0) = 0\)은 자연스럽게 만족하므로

$$ \psi(L) = a \cdot \sin kL = 0 $$

이 되려면,

$$ k = \frac{\pi}{L}n ~~~~~~~~ n = \pm 1, \pm 2, \cdots $$

이어야 한다. (\(n=0\)인 경우 \(\psi(x)\)가 0이 된다.)

 

 

따라서 time independent Schrödinger equation의 해는

$$ \psi(x) = a \cdot \sin \frac{n \pi x}{L} ~~~~~~~~ n = \pm 1, \pm 2, \cdots $$

가 되고 이 때 Hamiltonian operator \(H\)의 eigenvalue \(E\)는

$$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} $$

이 된다.

 

Comments

1. \(E\)가 나타내는 물리량과 에너지의 양자화

 

Time independent Schrödinger equation

$$ H\psi(x) = E \psi(x) $$

에서 \(H\)는 operator이고, \(E\)는 real number이다. 즉, \(E\)는 operator \(H\)의 eigenvalue이다. 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions에서 가정한 것과 같이, \(H\)를 측정하면 나올 수 있는 값은 여기에서 구한 \(E\)만 가능하다는 뜻이다. Operator \(H\)가 고전역학에서 역학적 에너지라고 할 수 있는 Hamiltonian을 operator로 바꾼 것이므로, 결국 \(E\)는 에너지 측정값이라는 것을 알 수 있다.

 

또한, 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions에서 가정한 것처럼, 에너지 측정값은 

$$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} ~~~~~~~~ n=\pm 1, \pm 2, \cdots $$

만 가능하다. 고전역학에서는 그 어떠한 제약도 없기 때문에, 에너지 값은 0 이상의 어떤 값도 가능하지만, 양자역학에서는 \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\), \(\frac{4\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\), \(\frac{9\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\), ... , 처럼 가능한 에너지 값이 불연속적이다. 이렇게 불연속적인 에너지 준위를 에너지가 양자화되어 있다고 부른다.

 

 

2. Ground State와 Zero-point Energy

 

고전역학에서는 입자가 정지해 있는 상태에서 최소 에너지 값 0을 가진다. 그러나 양자역학에서 최소 에너지 값은 \(n=1, -1\)일 때 \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\)가 된다. 어떤 물리적 시스템이 가질 수 있는 최소 에너지 상태를 ground state(바닥 상태)라고 부르고 이 때의 energy를 zero-point energy(영점 에너지)라고 부른다. 물론, Hamiltonian operator를

$$ H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} - \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} $$

로 정의하면 최소 에너지를 0으로 만들 수는 있지만, 이 경우 고전역학 최소 에너지는 음수가 되어 양자역학에서 최소 에너지가 고전역학에서 기대하는 최소 에너지보다 더 높다는 것을 알 수 있다. 이러한 효과는 uncertainty principle과 연관지어 생각할 수 있다. 고전역학적으로는 완전히 정지하는 것이 가능하지만, 양자역학에서는 uncertainty principle때문에 완전히 정지한다는 것이 개념적으로 불가능하다고 해석할 수 있다.

 

 

3. \(\psi(x)\)에서 \(a\)의 값과 Normalization

 

1.4 측정, 확률 Measures, Probabilities의 자세한 내용은 선형대수적 해석 이후에 다시 살펴보고, 간단히 그 결과만 가정하자. 입자가 \(a<x<b\)에서 발견될 확률은 다음과 같은 적분으로 구한다.

$$ P[a<x<b] = \int _a ^b \psi^\ast (x) \psi(x) ~dx $$

이 때, \(\psi^\ast (x)\)는 \(\psi(x)\)의 complex conjugate(복소켤레)이다. \(a\)의 값을 구하기 위해서는 입자가 well 전체에서 발견될 확률은 1이다는 조건을 이용하면 구할 수 있다.

$$ P[0<x<L] = \int _0 ^L a^2 \sin^2 \frac{n\pi x}{L} = 1 $$

로부터

$$ a = \sqrt{\frac{2}{L}} $$

임을 구할 수 있다. 따라서 infinite potential well의 wave function은

$$ \psi_n (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n\pi x}{L} $$

이다. 이렇게 전체에서 발견될 확률이 1이 되도록 상수 \(a\) 값을 정하는 과정을 normalization(정규화)라고 부른다.

 

 

4. Quantum Number

 

\(H\)의 측정값 

$$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} ~~~~~~~~ n=\pm 1, \pm 2, \cdots $$

을 살펴보면, \(n\)의 값을 알면, \(E\)의 값과 \(\psi(x)\)를 자연스럽게 알 수 있게 된다. 따라서, 복잡한 형태의 \(E\)값 보다는 간단한 \(n\) 값을 이용해서 \(E\)와 \(\psi(x)\)를 구분하는 것이 더 편리할 것이다. 이렇게 energy와 wave function을 결정하는 핵심적인 값을 quantum number(양자수)라고 부른다. Infinite potential well에서 quantum number는 \(n\)이 되고, 가능한 \(n\)의 값은 \(\pm 1\), \(\pm 2\), ... 이다.

 

 

5. 일반적인 state의 wave function

 

Infinite potential well 문제에서 입자의 wave function

$$ f(x) = \sqrt{\frac{30}{L^5}} x (x-L) $$

가 허용될까? 답은 가능하다. 위에서 설명한 내용과 모순이 된다고 생각한다면 이 항목과 뒤에 나올 선형대수적 관점을 잘 읽어보길 바란다.

 

양자역학의 기본 가정은 \(H\)의 측정값이 \(E\)만 가능하다는 것이지, wave function이 time independent Schrödinger equation에서 구한 해만 가능하다는 것이 아니다! Wave function은 boundary condition(square-integrable condition 포함)과 normalization을 만족하는 모든 함수가 가능하다. 위의 \(f(x)\)의 경우 boundary condition과 normalization을 만족하기 때문에 wave function이 될 수 있다. 그럼 이 wave function에서 \(H\)를 측정하면 어떤 값이 나올까? 이러한 질문에 답하기 위해서는 다음에 나올 선형대수적 관점을 이해하는 것이 중요하다.