[양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①

 

양자역학을 배울 때 가장 처음으로 만나게 되는 a particle in a box 문제를 미분방정식과 선형대수학 관점에서 살펴보고 이들이 어떻게 연결되어 있는지 살펴보자.

 

#Infinite Potential Well Problem

가장 쉬운 문제는 1-dimensional box 문제일 것이다. 질량이 $m$인 입자 한개가 $0<x<L$ 크기의 박스 안에 갇혀있고 그 밖으로 나가지 못하는 문제이다. 이러한 1-dimensional box를 infinite potential well이라고도 부른다.

 

Infinite_potential_well.svg: Bdeshamderivative work: Papa November / CC BY-SA

 

그림에서 보는 바와 같이, infinite potential well의 potential은 다음과 같이 주어진다.

$$V(x)=\{\begin{array}{ccl}\mathrm{\infty }& ,& x\le 0\\ 0& ,& 0<x<a\\ \mathrm{\infty }& ,& x\ge L\end{array}$$

따라서 이 문제의 고전적인 Hamitonian은

$$H=K+V=\frac{p^2}{2m}$$

이 된다. 이제 고전적 observable을 양자역학에서 사용하는 operator로 바꾸기 위하여, 고전역학의 variable $x$를 함수에 $x$를 곱해주는 operator로, $p$를 함수를 한번 미분한 다음 $-i\hslash$를 곱해주는 operator로 바꿔주자.

$$\begin{array}{ccl}x& \to & X=x\\ p& \to & P=-i\hslash \frac{d}{dx}\end{array}$$

그러면 Hamiltonian operator는

$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}$$

가 된다.

 

여기에서 잠깐, operator $X$, $P$가 first quatization $[X,P]=i\hslash$를 만족하는 것을 꼭 확인하자. ($[\cdot ,\cdot ]$에 대해서는 3.3 Commutator 참고) 이를 확인하기 위해서 임의의 함수 $f(x)$에 $P$를 먼저 적용하고 다음에 $X$를 적용한 $XPf(x)$와 $X$를 먼저 적용하고 다음에 $P$를 적용한 $PXf(x)$를 직접 비교하면 된다.

$$\begin{array}{ccl}XPf(x)& =& -i\hslash x\frac{df}{dx}\\ PXf(x)& =& -i\hslash \frac{d}{dx}(x\cdot f(x))=-i\hslash f(x)-i\hslash x\frac{df}{dx}\end{array}$$

이므로

$$[X,P]f(x)=XPf(x)-PXf(x)=i\hslash f(x)$$

즉, $[X,P]=i\hslash$ 임을 확인할 수 있다. 

 

위에서 구한 Hamiltonian operator로부터 time independent Schrödinger equation은

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=E\psi (x)$$

가 된다.

 

#Solutions of Time Independent Schrödinger Equation

위 식의 해를 구하기 전에 먼저 well 바깥쪽에서 $\psi (x)$는 어떻게 되어야 할지 생각해보자. Schrödinger equation을 만족하기 위해서는 well 바깥쪽에서 $\psi (x)$는 0이 되어야 한다. 따라서 well의 끝부분에서 $\psi (x)$는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.

$$\begin{array}{ccc}\psi (0)& =& 0\\ \psi (L)& =& 0\end{array}$$

이 조건을 미분방정식의 boundary condition(경계조건)이라고 부른다. Time independent Schrödinger equation을 푼다는 것은 boundary condition을 만족하는 미분방정식의 해를 구한다는 뜻이다.

 

이제 미분방정식의 해를 구하기 위해 식을 다음과 같이 정리하자.

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi (x)$$

우변에 $m$, ${\hslash }^2$는 모두 양수이므로, 미분방정식의 해를 $E$의 부호에 따라 구분해서 생각해보자.

 

 

① $E=0$인 경우

 

미분방정식은

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=0$$

이어야 하므로,

$$\psi (x)=ax+b$$

의 형태가 되어야 한다. 그러나 이 해가 boundary condition을 만족하려면 $\psi (x)=0$이 되어야 한다. 즉, 모든 영역에서 $\psi (x)=0$이므로 입자가 발견될 확률 $|\psi (x){|}^2$도 0이 되어, 결국 입자가 없다는 것이 된다. 즉, $E=0$인 경우는 0 이외의 해는 없다.

 

 

② $E$가 음수인 경우

 

우변에 $-\frac{2mE}{{\hslash }^2}$가 양수이므로 새로운 양수 $k$를 다음과 같이 정의하자.

$$k=\sqrt{-\frac{2mE}{{\hslash }^2}}$$

즉, 미분방정식은

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=k^2\psi (x)$$

2번 미분하면 $k^2$이 곱해지는 함수가 해가 된다. 이러한 함수에는 $a\cdot e^{kx}$와 $b\cdot e^{-kx}$가 있다. 그러나 이 해가 boundary condition을 만족하려면 $\psi (x)=0$이 되어야 한다. 따라서 이 경우에도 0 이외의 해는 없다.

 

 

③ $E$가 양수인 경우

 

우변에 $-\frac{2mE}{{\hslash }^2}$가 음수이므로 새로운 양수 $k$를 다음과 같이 정의하자.

$$k=\sqrt{\frac{2mE}{{\hslash }^2}}$$

즉, 미분방정식은

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=-k^2\psi (x)$$

2번 미분하면 $k^2$이 곱해지는 함수가 해가 된다. 이러한 함수에는 $a\cdot \sin kx$와 $b\cdot \cos kx$가 있다. $b\cdot \cos kx$는 boundary condition을 만족하려면 $\psi (x)=0$이 되어야 하므로 0 이외의 해는 없다.

 

이제 $\psi (x)=a\cdot \sin kx$라고 하고 boundary condition을 만족하기 위한 조건을 구해보자. 먼저 $\psi (0)=0$은 자연스럽게 만족하므로

$$\psi (L)=a\cdot \sin kL=0$$

이 되려면,

$$k=\frac{\pi }{L}nn=\pm 1,\pm 2,\cdots$$

이어야 한다. ($n=0$인 경우 $\psi (x)$가 0이 된다.)

 

 

따라서 time independent Schrödinger equation의 해는

$$\psi (x)=a\cdot \sin \frac{n\pi x}{L}n=\pm 1,\pm 2,\cdots$$

가 되고 이 때 Hamiltonian operator $H$의 eigenvalue $E$는

$$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}^2}{2m{L}^2}$$

이 된다.

 

Comments

1. $E$가 나타내는 물리량과 에너지의 양자화

 

Time independent Schrödinger equation

$$H\psi (x)=E\psi (x)$$

에서 $H$는 operator이고, $E$는 real number이다. 즉, $E$는 operator $H$의 eigenvalue이다. 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions에서 가정한 것과 같이, $H$를 측정하면 나올 수 있는 값은 여기에서 구한 $E$만 가능하다는 뜻이다. Operator $H$가 고전역학에서 역학적 에너지라고 할 수 있는 Hamiltonian을 operator로 바꾼 것이므로, 결국 $E$는 에너지 측정값이라는 것을 알 수 있다.

 

또한, 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions에서 가정한 것처럼, 에너지 측정값은 

$$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}^2}{2m{L}^2}n=\pm 1,\pm 2,\cdots$$

만 가능하다. 고전역학에서는 그 어떠한 제약도 없기 때문에, 에너지 값은 0 이상의 어떤 값도 가능하지만, 양자역학에서는 $\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$, $\frac{4{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$, $\frac{9{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$, ... , 처럼 가능한 에너지 값이 불연속적이다. 이렇게 불연속적인 에너지 준위를 에너지가 양자화되어 있다고 부른다.

 

 

2. Ground State와 Zero-point Energy

 

고전역학에서는 입자가 정지해 있는 상태에서 최소 에너지 값 0을 가진다. 그러나 양자역학에서 최소 에너지 값은 $n=1,-1$일 때 $\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$가 된다. 어떤 물리적 시스템이 가질 수 있는 최소 에너지 상태를 ground state(바닥 상태)라고 부르고 이 때의 energy를 zero-point energy(영점 에너지)라고 부른다. 물론, Hamiltonian operator를

$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$$

로 정의하면 최소 에너지를 0으로 만들 수는 있지만, 이 경우 고전역학 최소 에너지는 음수가 되어 양자역학에서 최소 에너지가 고전역학에서 기대하는 최소 에너지보다 더 높다는 것을 알 수 있다. 이러한 효과는 uncertainty principle과 연관지어 생각할 수 있다. 고전역학적으로는 완전히 정지하는 것이 가능하지만, 양자역학에서는 uncertainty principle때문에 완전히 정지한다는 것이 개념적으로 불가능하다고 해석할 수 있다.

 

 

3. $\psi (x)$에서 $a$의 값과 Normalization

 

1.4 측정, 확률 Measures, Probabilities의 자세한 내용은 선형대수적 해석 이후에 다시 살펴보고, 간단히 그 결과만 가정하자. 입자가 $a<x<b$에서 발견될 확률은 다음과 같은 적분으로 구한다.

$$P[a<x<b]={\int }_a^b{\psi }^{\ast }(x)\psi (x)dx$$

이 때, ${\psi }^{\ast }(x)$는 $\psi (x)$의 complex conjugate(복소켤레)이다. $a$의 값을 구하기 위해서는 입자가 well 전체에서 발견될 확률은 1이다는 조건을 이용하면 구할 수 있다.

$$P[0<x<L]={\int }_0^L{a}^2{\sin }^2\frac{n\pi x}{L}=1$$

로부터

$$a=\sqrt{\frac{2}{L}}$$

임을 구할 수 있다. 따라서 infinite potential well의 wave function은

$${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$$

이다. 이렇게 전체에서 발견될 확률이 1이 되도록 상수 $a$ 값을 정하는 과정을 normalization(정규화)라고 부른다.

 

 

4. Quantum Number

 

$H$의 측정값 

$$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}^2}{2m{L}^2}n=\pm 1,\pm 2,\cdots$$

을 살펴보면, $n$의 값을 알면, $E$의 값과 $\psi (x)$를 자연스럽게 알 수 있게 된다. 따라서, 복잡한 형태의 $E$값 보다는 간단한 $n$ 값을 이용해서 $E$와 $\psi (x)$를 구분하는 것이 더 편리할 것이다. 이렇게 energy와 wave function을 결정하는 핵심적인 값을 quantum number(양자수)라고 부른다. Infinite potential well에서 quantum number는 $n$이 되고, 가능한 $n$의 값은 $\pm 1$, $\pm 2$, ... 이다.

 

 

5. 일반적인 state의 wave function

 

Infinite potential well 문제에서 입자의 wave function

$$f(x)=\sqrt{\frac{30}{L^5}}x(x-L)$$

가 허용될까? 답은 가능하다. 위에서 설명한 내용과 모순이 된다고 생각한다면 이 항목과 뒤에 나올 선형대수적 관점을 잘 읽어보길 바란다.

 

양자역학의 기본 가정은 $H$의 측정값이 $E$만 가능하다는 것이지, wave function이 time independent Schrödinger equation에서 구한 해만 가능하다는 것이 아니다! Wave function은 boundary condition(square-integrable condition 포함)과 normalization을 만족하는 모든 함수가 가능하다. 위의 $f(x)$의 경우 boundary condition과 normalization을 만족하기 때문에 wave function이 될 수 있다. 그럼 이 wave function에서 $H$를 측정하면 어떤 값이 나올까? 이러한 질문에 답하기 위해서는 다음에 나올 선형대수적 관점을 이해하는 것이 중요하다.