[양자역학] 1.5-(1) 슈뢰딩거 묘사, 하이젠베르크 묘사, 상호작용 묘사 Schrödinger, Heisenberg, Interaction Picture

Hamiltonian operator \(H\) 가 시간에 independent한 경우, 시간 \(t=0\) 에서 state vector가

$$ \left| \psi(0) \right\rangle = \sum_j a_j(0)~\left| E_j \right\rangle $$

로 주어지면 state vector는 시간에 따라

$$ \left| \psi(t) \right\rangle = \sum_j a_j(0)~e^{-\frac{i}{\hbar}E_jt} ~\left| E_j \right\rangle $$

로 변화한다. Exponential 함수는 무한급수

$$ e^x = \sum_{k=0} ^\infty \frac{x^k}{k!} $$

로부터

$$ \begin{eqnarray*} e^{-\frac{i}{\hbar}E_jt} ~\left| E_j \right\rangle & = & \sum_{k=0} ^\infty \left( -\frac{i}\hbar \right)^k \frac{t^k}{k!} (E_j) ^k ~\left| E_j \right\rangle \\ \\ & = & \sum_{k=0} ^\infty \left( -\frac{i}\hbar \right)^k \frac{t^k}{k!} H ^k ~\left| E_j \right\rangle \end{eqnarray*} $$

이제 operator를 다음과 같이 정의하자.

$$ \sum_{k=0} ^\infty \left( -\frac{i}\hbar \right)^k \frac{t^k}{k!} H ^k = e^{-\frac{i}\hbar tH} $$

(operator의 exponential 함수는 숫자의 exponential과 다르기 때문에 주의!!!^[각주:1]) State vector 식을 정리하면,

$$ \begin{eqnarray*} \left| \psi(t) \right\rangle & = & \sum_j a_j(0)~e^{-\frac{i}{\hbar}tH} ~\left| E_j \right\rangle \\ \\ & = & e^{-\frac{i}{\hbar}tH} \left( \sum _j a_j(0)~\left| E_j \right\rangle \right) = e^{-\frac{i}{\hbar}tH} ~\left| \psi(0) \right\rangle \end{eqnarray*} $$

즉, operator \(e^{-\frac{i}\hbar tH}\) 는 시간 \(t=0\) 에서의 state vector를 시간 \(t\)에서의 state vector로 보내주는 operator임을 알 수있다.

#Time Evolution Operators

이를 일반화하여, operator \(U(t,t_0)\)가 시간 \(t_0\) 에서의 state vector를 시간 \(t\)에서의 state vector로 보내주는 operator라고 하자.

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = U(t,t_0) ~\left| \psi (t_0) \right\rangle $$

이를 time-evolution operator 또는 propagator라고 부른다. Time-evolution operator는 다음과 같은 특징을 가진다.

THEOREM            Properties of Time Evolution Operators

1. Unitarity: time evolution operator는 unitary하다.^[각주:2]

$$ U^\dagger (t,t_0) U(t,t_0) = I $$

2. Identity: \(t=t_0\) 일 경우에는 identity operator가 된다.

$$ U(t_0,t_0) =I $$

3. Closure: \(t_0\) 에서 \(t\) 로 시간이 변하는 것은 \(t_0\) 에서 \(t_1\)으로 변하고, 다시 \(t_1\)에서 \(t\) 로 변하는 것과 같다.

$$ U(t,t_0) = U(t,t_1)U(t_1,t_0) $$

어떤 시스템이 어떤 상태에 있는 지를 확인하기 위해서는 여러 값들을 측정해야한다. 양자역학의 기본가정에 의하면 측정이라는 행위는 observable과 state vector로 결정되므로, 시간에 따라서 물리적 값들이 변한다는 것은 observable과 state vector가 시간에 따라서 변한다는 것을 의미한다. 하지만, 양자역학은 선형대수적 구조를 따르기 때문에 observable을 고정하고 state vector가 시간에 따라서 변하는 방식으로 해석할 수도 있고, 반대로 state vector를 고정하고 observable이 시간에 따라서 변하는 방식으로 해석할 수 있다. 또는 observable과 state vector 모두 시간에 따라서 변하는 방식으로도 해석할 수 있다. 이렇게 여러 해석 사이를 연결하는 것이 time-evolution operator 개념이다.

#Schrödinger Pictures

Observable을 고정하고 state vector가 시간에 따라서 변하는 방식으로 해석하는데 이를 Schrödinger picture라고 부른다. Hamiltonian이 시간에 independent하고 또 observable을 시간에 independent한 경우 Schrödinger picture가 사용된다.

지금까지 논의한 것과 같이, 시간 \(t=0\) 에서의 state vector \(\left| \psi(0) \right\rangle\) 은 시간 \(t\)에서

$$ \left| \psi(t) \right\rangle = U(t) ~\left| \psi(0) \right\rangle $$

로 변한다. Schrödinger equation로부터

$$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi(t) \right\rangle = i\hbar \frac{d}{dt} U(t)~\left| \psi(0) \right\rangle = HU(t)~\left| \psi(0) \right\rangle = H \left| \psi(t) \right\rangle $$

이 때, 임의의 constant vector \(\left| \psi(0) \right\rangle\) 에 대하여 성립해야 하므로

$$ i\hbar \frac{d}{dt}U(t) - HU(t) = 0 $$

를 만족해야 한다.

만약 Hamiltonian이 시간에 independent한 경우에는 위 식의 solution은

$$ U(t) = e^{-iHt/\hbar} $$

이 된다. Hamiltonian이 시간에 dependent하고 각 시간의 Hamiltonian들이 서로 commute한 경우

$$ U(t) = \exp{\left( -\frac{i}{\hbar} \int _0 ^t H(t')~dt' \right)} $$

가 된다. Hamiltonian이 시간에 dependent하고 각 시간의 Hamiltonian들이 서로 commute하지 않은 경우에는 time-ordering operator \(T\)를 도입하여

$$ U(t) = T \exp{\left( -\frac{i}{\hbar} \int _0 ^t H(t')~dt' \right)} $$

가 된다.^[각주:3]

#Heisenberg Picture

observable \(A\) 의 expectation

$$ \left\langle A \right\rangle _t = \left\langle \psi(t) \left| ~A~ \right| \psi(t) \right\rangle $$

에서 

$$ \left| \psi(t) \right\rangle = U(t) ~\left| \psi(0) \right\rangle $$

를 이용하면,

$$ \left\langle A \right\rangle _t = \left\langle~ \psi(0) \right. \left|~ U^\dagger(t) A U(t) ~\right| \left. \psi(0) ~\right\rangle $$

이므로 observable을

$$ A_H(t) = U^\dagger (t) A U(t) $$

로 정의하면, 측정값을 얻기 위하여 state vector를 \(\left| \psi(0) \right\rangle\) 로 고정하고 observable을 시간에 따라 변하는 \(A_H(t)\)를 사용할 수 있다. 이를 Heisenberg picture라고 부른다.

Observable이 시간에 따라서 어떻게 변하는지 알아보면

$$ \frac{d}{dt} A_H(t) = \frac{dU^\dagger}{dt}AU(t) + U^\dagger (t) \left( \frac{\partial A}{\partial t} \right) U(t) + U^\dagger (t) A \frac{dU}{dt} $$

에서 위에서 얻은

$$ i\hbar \frac{d}{dt}U(t) - HU(t) = 0 $$

을 이용하면,

$$ \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} A_H(t) & = & \frac{i}{\hbar} U^\dagger (t) H A U(t) +  U^\dagger (t) \left( \frac{\partial A}{\partial t} \right) U(t) + \frac{i}{\hbar} U^\dagger (t) A(-H) U(t) \\ \\ & = & \frac{i}{\hbar} U^\dagger (t) H U(t) U^\dagger (t) A U(t) +  U^\dagger (t) \left( \frac{\partial A}{\partial t} \right) U(t) - \frac{i}{\hbar} U^\dagger (t) A U(t) U^\dagger (t) H U(t) \\ \\ & = & \frac{i}{\hbar} (H(t)A_H(t) - A_H(t) H(t)) + U^\dagger (t) \left( \frac{\partial A}{\partial t} \right) U(t) \end{eqnarray*} $$

를 얻는다.

THEOREM            Heisenberg Picture

$$ \frac{d}{dt} A(t) = \frac{i}{\hbar} [H,A(t)] + \left( \frac{\partial A}{\partial t} \right)_H $$

#Interaction Picture

임의의 unitary operator \(Y\)에 대하여, observable \(A\) 의 expectation은

$$ \left\langle A \right\rangle _t = \left\langle \psi(t) \left| ~A~ \right| \psi(t) \right\rangle = \left\langle \psi(t) \left| ~Y^\dagger Y A Y^\dagger Y~ \right| \psi(t) \right\rangle = \left\langle Y\psi(t) \left|~ Y A Y^\dagger ~ \right| Y\psi(t) \right\rangle $$

이므로 state vector를

$$ \left| \psi_I (t) \right\rangle = Y \left| \psi(t) \right\rangle = Y U(t) \left| \psi(0) \right\rangle $$

observable을

$$ A_I = YAY^\dagger $$

로 정의하더라도 expectation은 똑같이 된다.

보통 Hamiltonian을

$$ H = H_0 + H_1 $$

으로 나눠서 

$$ Y = e^{iH_0 t/\hbar} $$

로 정의하고 이를 이용해 state vector와 observable을 위와 같이 정의하는 것을 interaction picture라고 한다. Interaction picture에서의 Hamiltonian operator는

$$ H_I = e^{iH_0 t/\hbar} H_0 e^{-iH_0 t/\hbar} + e^{iH_0 t/\hbar} H_1 e^{-iH_0 t/\hbar} = H_0 + e^{iH_0 t/\hbar} H_1 e^{-iH_0 t/\hbar} $$

이를 종합하면 다음과 같다.

Evolution	Heisenberg picture	Interaction picture	Schrödinger picture
state vector	constant \(\left|\psi_H \right\rangle = \left|\psi_S(0)\right\rangle\)	$$\left|\psi_I(t)\right\rangle=e^{iH_{0,S}t/\hbar}~\left|\psi_S(t)\right\rangle$$	$$~~~\left|\psi_S(t)\right\rangle=e^{iH_St/\hbar}~\left|\psi_S(0)\right\rangle~~~$$
observable	$$~~~A_H(t)=e^{iH_St/\hbar}A_Se^{-iH_St/\hbar}~~~$$	$$~~~A_H(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar}A_Se^{-iH_{0,S}t/\hbar}~~~$$	constant \(A_S\)

1. Baker-Campbell-Hausdorff formula 참고 [본문으로]
2. Unitary operator의 자세한 내용은 [선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고. [본문으로]
3. 더 자세한 표현은 --dyson series-- 참고. [본문으로]