양자역학에서 가장 유명한 결론 중 하나는 하이젠베르크의 불확정성 원리일 것이다.
입자의 위치와 운동량을 동시에 측정할 때, 둘 사이의 정확도에는 물리적 한계가 존재한다.
불확정성 원리는 수식으로 다음과 같이 표현된다.
#General Uncertainty Principle
이를 일반화하면 다음과 같이 정리된다.
THEOREM Heisenberg's Uncertainty Principle
두 개의 observable
(
Normalized state vector
(증명)
논의의 편의를 위하여 다음과 같은 operator를 정의하자.
이 operator를 이용하여 variance를 정리하면 다음과 같다.
여기에 Schwartz inequality (--Lebesgue,L^2-- 참고)
를 적용하면,
가 된다. 여기에 수학적 테크닉
를 이용하면,
이 때,
1.
2.
이로부터
가 된다. 따라서 다음과 같은 uncertainty principle을 얻는다.
(증명끝)
#Uncertainty Relation between Position and Momentum
First Quantization
을 위의 결론에 적용하면 normalized state vector에 대하여 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
Comments about Uncertainty Principle
불확정성 원리는 근본적으로 wave function collapse에서 기인한 현상이다. 즉, 불확정성 원리는 관측 행위가 관측하고자 하는 상태에 영향을 주는 양자역학의 근본 원리인 wave function collapse를 함축하고 있다. 불확정성 원리를 이해하는 방식 중에서 잘 알려진 것은 다음과 같다.
작은 입자의 위치를 측정하는 것은 현미경 원리에 의해 빛의 파장이 짧을 수록 정확해 지는데, 파장이 짧을 수록 에너지가 높아지므로, 위치를 정확하게 측정할 수록 입자와 광자의 충돌과정에서 운동량의 변화가 커진다.
이를 wave function collapse로 해석하면, 임의의 state vector
가 된다. 이 때, position operator
로부터
이다. 따라서, collapse된 vector에
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