[양자역학] 1.4-(3) Example: 하이젠베르크의 불확정성 원리 Heisenberg's Uncertainty Principle

양자역학에서 가장 유명한 결론 중 하나는 하이젠베르크의 불확정성 원리일 것이다.

입자의 위치와 운동량을 동시에 측정할 때, 둘 사이의 정확도에는 물리적 한계가 존재한다.

불확정성 원리는 수식으로 다음과 같이 표현된다.

$$ \left( \Delta X \right) \left( \Delta P \right) \ge \frac{\hbar}{2} $$

#General Uncertainty Principle

이를 일반화하면 다음과 같이 정리된다.

THEOREM            Heisenberg's Uncertainty Principle

두 개의 observable \(A\) , \(B\) 가 다음과 같이 commute하지 않다고 하자.

$$ \left[ A,B \right] = iC $$

( \(C\) 는 non-zero Hermitian operator)

Normalized state vector \(\left| \psi \right\rangle\) 의 \(A\) 에 대한 standard deviation

$$ \Delta A = \sqrt{\left\langle \psi \right. \left| ~\left( A-\left\langle \psi \right. \left| A \right| \left. \psi \right\rangle \right)^2 ~ \right| \left. \psi \right\rangle} = \sqrt{\left\langle \psi \right. \left| A^2 \right| \left. \psi \right\rangle - \left( \left\langle \psi \right. \left| A \right| \left. \psi \right\rangle \right)^2} $$

\(B\) 에 대한 standar deviation

$$ \Delta B = \sqrt{\left\langle \psi \right. \left| ~\left( B-\left\langle \psi \right. \left| B \right| \left. \psi \right\rangle \right)^2 ~ \right| \left. \psi \right\rangle} = \sqrt{\left\langle \psi \right. \left| B^2 \right| \left. \psi \right\rangle - \left( \left\langle \psi \right. \left| B \right| \left. \psi \right\rangle \right)^2} $$

는 다음과 같은 관계를 만족한다.

$$ \left(\Delta A\right) \left(\Delta B\right) \ge \frac{1}{2} \left\langle \psi \right. \left| C \right| \left. \psi \right\rangle $$

(증명)

논의의 편의를 위하여 다음과 같은 operator를 정의하자.

$$ \begin{eqnarray*} \hat{A} & = & A-\left\langle \psi \right. \left| A \right| \left. \psi \right\rangle \\ \\ \hat{B} & = & B-\left\langle \psi \right. \left| B \right| \left. \psi \right\rangle \end{eqnarray*} $$

이 operator를 이용하여 variance를 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{eqnarray*} \left(\Delta A\right)^2 & = & \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}^2 \right| \right. \psi \right\rangle \\ \\ \left(\Delta B\right)^2 & = & \left\langle \psi \left. \left| \hat{B}^2 \right| \right. \psi \right\rangle \end{eqnarray*} $$

\(\hat{A}\) 와 \(\hat{B}\) 는 Hermitian operator이므로

$$ \begin{eqnarray*} \left(\Delta A\right)^2 \left(\Delta B\right)^2 & = & \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}^2 \right| \right. \psi \right\rangle \left\langle \psi \left. \left| \hat{B}^2 \right| \right. \psi \right\rangle \\ \\ & = & \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{A} \right| \right. \psi \right\rangle \left\langle \psi \left. \left| \hat{B}\hat{B} \right| \right. \psi \right\rangle \\ \\ & = & \left\langle \left. \hat{A}\psi \right.~\right| \left. \hat{A}\psi ~\right\rangle \left\langle \left. \hat{B}\psi \right.~\right| \left. \hat{B}\psi ~\right\rangle \end{eqnarray*} $$

여기에 Schwartz inequality (--Lebesgue,L^2-- 참고)

$$ \left\langle \alpha | \alpha \right\rangle  \left\langle \beta | \beta \right\rangle \ge \left| \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \right| ^2 $$

를 적용하면,

$$ \left(\Delta A\right)^2 \left(\Delta B\right)^2 \ge \left| \left\langle \hat{A}\psi | \hat{B}\psi \right\rangle \right| ^2 = \left| \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{B} \right| \right. \psi \right\rangle \right| ^2 $$

가 된다. 여기에 수학적 테크닉

$$ \hat{A}\hat{B} = \frac{\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}}{2} + \frac{\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}{2} $$

를 이용하면,

$$ \left(\Delta A\right)^2 \left(\Delta B\right)^2 \ge \frac{1}{4} ~\left|~ \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} \right| \right. \psi \right\rangle ~+~ \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \right| \right. \psi \right\rangle ~\right|^2 $$

이 때,

1. \(\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}\) 는 Hermitian operator이므로 expectation \(\left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} \right| \right. \psi \right\rangle\) 는 real number가 된다.

2. \(\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = \left[\hat{A},\hat{B}\right] = iC \) 이므로 expectation \(\left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \right| \right. \psi \right\rangle\) 는 pure imaginary number가 된다.

이로부터

$$ \left(\Delta A\right)^2 \left(\Delta B\right)^2 \ge \frac{1}{4} ~ \left\langle \psi \left. \left| \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} \right| \right. \psi \right\rangle ^2 ~+~ \frac{1}{4} ~ \left\langle \psi \left. \left| C \right| \right. \psi \right\rangle^2 \ge \frac{1}{4} ~ \left\langle \psi \left. \left| C \right| \right. \psi \right\rangle^2 $$

가 된다. 따라서 다음과 같은 uncertainty principle을 얻는다.

$$ \left(\Delta A\right) \left(\Delta B\right) \ge \frac{1}{2} \left\langle \psi \right. \left| C \right| \left. \psi \right\rangle $$

(증명끝)

#Uncertainty Relation between Position and Momentum

First Quantization

$$ [X,P] = i\hbar I $$

을 위의 결론에 적용하면 normalized state vector에 대하여 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$ \left( \Delta X \right) \left( \Delta P \right) \ge \frac{\hbar}{2} $$

Comments about Uncertainty Principle

불확정성 원리는 근본적으로 wave function collapse에서 기인한 현상이다. 즉, 불확정성 원리는 관측 행위가 관측하고자 하는 상태에 영향을 주는 양자역학의 근본 원리인 wave function collapse를 함축하고 있다. 불확정성 원리를 이해하는 방식 중에서 잘 알려진 것은 다음과 같다.

작은 입자의 위치를 측정하는 것은 현미경 원리에 의해 빛의 파장이 짧을 수록 정확해 지는데, 파장이 짧을 수록 에너지가 높아지므로, 위치를 정확하게 측정할 수록 입자와 광자의 충돌과정에서 운동량의 변화가 커진다.

이를 wave function collapse로 해석하면, 임의의 state vector \(\left| \psi \right\rangle\) 에 \(X\) 를 측정하였을 때 \(x\) 가 나왔다면 wave function collapse가 일어나

$$ \left| \psi \right\rangle ~~~~~\xrightarrow[x~\text{mesured}]{X}~~~~~ \left| x \right\rangle $$

가 된다. 이 때, position operator \(X\) 에 대하여 측정값이 정확히 \(x\) 가 나오는 eigenvector \(\left| x \right\rangle\) 는

$$ \left\langle p | x \right\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}px} $$

로부터

$$ \left| x \right\rangle = \sum_{p} e^{-\frac{i}{\hbar}px} ~\left| p \right\rangle $$

이다. 따라서, collapse된 vector에 \(P\) 를 측정하면, 모든 값의 momentum이 같은 확률로 가능, 즉 운동량 측정의 표준편차는 무한대가 된다.