기대값7 [통계학] 5.2 통계량, 샘플 평균, 샘플 분산 Statistic, Sample Mean and Sample Variance 데이터 분석이나 통계 분석을 할 때, 측정이나 실험을 위한 샘플을 추출한 후, 측정을 하고나면 가장 먼저 구하는 것이 측정치의 평균과 분산일 것이다. 우리가 통계 분석을 하면서 이렇게 평균과 분산을 구하는 이유는 샘플들의 측정값들은 양이 많기 때문에 샘플, 더 나아가서 모집단을 특징지을 수 있는 몇 개의 수들로 표현하고자 함이다. 이렇게 모집단을 특징지을 수 있는 몇 개의 수들은 통계학에서 statistic이라는 개념으로 정의된다. 이번 페이지에서는 statistic의 정의를 살펴보고, 그 예로써 샘플 평균과 샘플 분산에 대하여 알아보자. #Statistic DEFINITION Statistic \(X_1\), ..., \(X_n\) 을 모집단에서 추출한 \(n\) 개의 random sample이라고 하.. 2021. 8. 11. [통계학] 4.3 서로 독립인 두 개의 랜덤 변수 Bivariate Independent Random Variables 지난 페이지에서 랜덤 변수가 \(X\), \(Y\), 이렇게 2개일 때, \(X\) 의 값에 따라 \(Y\) 가 어떻게 분포하는지는 conditional pdf \[ f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} \] 로 정의된다는 것을 살펴보았다. 경우에 따라서는 conditional pdf \(f(y|x)\) 가 \(x\) 가 무엇인지에 상관없이 항상 똑같은 경우가 있을 수 있다. 즉, 랜덤 변수 \(Y\) 의 확률 분포는 다른 랜덤 변수 \(X\) 가 무엇이와 상관없이 '독립적'이라고 할 수 있다. 이번 페이지에서는 2개의 랜덤 변수가 어떤 경우에 서로 독립이라고 하는지 살펴보고, 서로 독립일 때 분포에는 어떤 특징들이 나타나는지 살펴보도록 한다. #Independent Random Var.. 2021. 2. 26. [양자역학] 4.6-(2) Example: 수소 원자 바닥 상태에서 기대값 Expectation for the Ground State of Hydrogen Atom 이번 페이지에서는 수소 원자의 바닥 상태에서 위치의 기대값을 구해본다. #Expectation of \(r\) and \(r^2\)먼저 수소 원자의 바닥 상태 \(|1,0,0\rangle\) 에서 \(r\) 과 \(r^2\) 의 기대값을 구해보자. 먼저 바닥 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.\[ \begin{equation} \psi_{100} (r,\theta,\phi) = \left( \frac{1}{\pi a_0 ^3} \right) ^{1/2} e^{-\frac{r}{a_0}} \label{ground} \end{equation}\]\(r\) 과 \(r^2\) 의 기대값을 구하기 위해서는 다음 적분이 필요하다. DEFINITION Gamma Function 자연수 \(n\) 에 대하여, \[ .. 2021. 1. 20. [양자역학] 3.5-(1) Example: 조화진동자에서 물리량 Values of Observables for a Harmonic Oscillator 이번 페이지에서는 조화진동자에서 위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하는 방법을 살펴본다. #Expectation Values of Observables위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하기 전에, 먼저 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements , 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 의 내용을 다시 한번 정리하자. THEOREM Expectation Values of Observables 물리적 측정값 \(\mathcal{A}\) 에 대한 Hermitian operator를 \(A\) 라고 하자. 물리적 시스템이 \(|f\rangle\) 인 경우 \(\mathcal{A}\) 의 기대값은 다음과 같다.\[ \begin{equation} E[A].. 2020. 12. 24. [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 어떤 통계값을 대표하고자 할 때 사용하는 개념으로 평균을 가장 많이 사용한다. 평균의 개념은 분포에서 극단적인 끝 값이 아닌 중간의 값, 가장 많이 나올 것으로 예상되는 값의 의미를 가진다. 이러한 평균의 개념을 일반화한 개념이 expected value(기대값)이다. 이번 페이지에서는 expected value에 대하여 살표본다. #Expected Values 확률론에서 expected value는 다음과 같이 정의된다. DEFINITION Expected Values of Random Variables Random variable \(X\) 가 \(f_X(x)\) 를 pmf 또는 pdf로 가질 때, 다음 값 \(E[X]\) 를 \(X\)의 expected value라고 한다. \[ \begin{equ.. 2020. 7. 23. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다. #Expectation Value of Observables 확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고) DEFINITION Expectation Value 사건 X의 가능한 결과값 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다. $$ E[X] = \sum _{.. 2020. 5. 9. [양자역학] 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements 양자역학에서 측정 결과는 확률적으로 나오기 때문에, 확률론에 따라 expectation(기대값)과 variance(분산)을 계산할 수 있다. #Expectations of ObservablesObservable \(L\)에 대하여, eigenvalue가 \(l_1\) , \(l_2\) , ... , \(l_n\) 이 가능하고, 각각의 orthonormal eigenvector를 \(\left| l_i \right\rangle\) 로 표현하자. 임의의 normalized state vector \(\left| \psi \right\rangle\)이$$ \left| \psi \right\rangle = \sum_{j=1} ^n ~a_j ~\left| l_j \right\rangle $$과 같이 표현된다고 하.. 2018. 10. 27. 이전 1 다음