[양자역학] 3.5-(1) Example: 조화진동자에서 물리량 Values of Observables for a Harmonic Oscillator

이번 페이지에서는 조화진동자에서 위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하는 방법을 살펴본다.

#Expectation Values of Observables

위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하기 전에, 먼저 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements , 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 의 내용을 다시 한번 정리하자.

THEOREM            Expectation Values of Observables

 

물리적 측정값 $\mathcal{A}$ 에 대한 Hermitian operator를 $A$ 라고 하자. 물리적 시스템이 $|f⟩$ 인 경우 $\mathcal{A}$ 의 기대값은 다음과 같다.

$$E[A]=\frac{⟨f|A|f⟩}{⟨f|f⟩}=\frac{{\int }_{\text{정의역}}{f}^{\ast }(x)Af(x)dx}{{\int }_{\text{정의역}}{f}^{\ast }(x)f(x)dx}$$

특히 $|f⟩$ 이 normalized 되어있는 경우

$$E[A]=⟨f|A|f⟩={\int }_{\text{정의역}}{f}^{\ast }(x)Af(x)dx$$

기대값을 구하기 위해서는 먼저 물리적 시스템이 어떠한 "상태"인지 반드시 명시되어야 한다. 자유낙하 문제에서 물체의 속력을 구할 때, 낙하가 막 시작된 상태인지, 아니면 땅에 닿기 직전 상태인지에 따라 속력이 다르듯이, 양자역학에서도 같은 물리량을 측정하더라도 상태가 다르면 전혀 다른 값이 나온다.

책에 따라서 기대값을 $⟨A⟩$ 로 표현하기도 한다.

#The Ground State of a Harminc Oscillator

먼저 조화진동자의 바닥 상태($n=0$)에서 입자의 위치와 운동량을 구해보자. 바닥 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.^[각주:1]

$${\psi }_0(x)={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}$$

바닥 상태에 대한 위치의 기대값을 구하기 위하여 position operator $X=x$ 와 ${\psi }_0(x)$ 를 식 $\text{(???)}$에 대입하자.

$$E[X]=⟨{\psi }_0|X|{\psi }_0⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}x{\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}dx={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-\frac{m\omega }{\hslash }{x}^2}dx$$

마지막 적분은 함수 $x{e}^{-\frac{m\omega }{\hslash }{x}^2}$ 가 odd function이므로 0이 된다. 즉, 조화진동자의 바닥상태에서 입자의 위치는 평균적으로 0이라는 결론을 얻을 수 있다.

이번에는 운동량의 기대값을 구하기 위하여 momentum operator $P=-i\hslash \frac{d}{dx}$ 를 식 $\text{(???)}$에 대입하자.

$$E[X]=⟨{\psi }_0|X|{\psi }_0⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}\times [-i\hslash \frac{d}{dx}\left\{{\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}\right\}]dx=\frac{m^{\frac{3}{2}}{\omega }^{\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}{\hslash }^{\frac{1}{2}}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-\frac{m\omega }{\hslash }{x}^2}dx$$

위치의 경우와 마찬가지로 마지막 적분은 0이 된다. 즉, 조화진동자의 바닥 상태에서 입자의 운동량은 평균적으로 0이라는 결론을 얻을 수 있다. 

바닥 상태에서(기대값을 말할 때는 반드시 상태를 언급해줘야 함을 잊지 말것!!) 위치의 기대값과 운동량의 기대값이 0이라는 결론은 고전역학에서 시간에 대한 위치와 운동량의 평균이 0이라는 결론과 일치한다.

#Using Hermite Polynomials

일반적인 양자수 $n$ 에 대하여 입자의 위치와 운동량의 기대값을 구해보자. 양자수가 $n$ 인 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.^[각주:2]

$${\psi }_n(x)={\left(\frac{m\omega }{2^{2n}(n!{)}^2\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]e^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}$$

기대값을 구하기 위해서는 다음의 식들이 필요하다.^[각주:3]

$$H_n^{\prime }(y)=2n{H}_{n-1}(y)$$

$$H_{n+1}(y)=2y{H}_n(y)-2n{H}_{n-1}(y)$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y^2}{H}_n(y)H_m(y)dy=\{\begin{array}{cl}{2}^{n}n!\sqrt{\pi }& \text{if }n=m,\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

먼저 위치의 기대값을 구하기 위하여 position operator $X=x$ 와 ${\psi }_n(x)$ 를 식 $\text{(???)}$에 대입하자.

$$\begin{array}{rl}E[X]& =⟨{\psi }_n|X|{\psi }_n⟩\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left\{{\left(\frac{m\omega }{2^{2n}(n!{)}^2\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]e^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}\right\}x\left\{{\left(\frac{m\omega }{2^{2n}(n!{)}^2\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]e^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}\right\}dx\\ & ={\left(\frac{m\omega }{2^{2n}(n!{)}^2\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{m\omega }{\hslash }{x}^2}{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]x{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]\end{array}$$

마지막 식에서

$$H_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]x{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]$$

부분을 식 $\text{(???)}$ 를 이용하기 위하여, $y={\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x$ 로 치환하면,

$$H_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]x{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]={\left(\frac{\hslash }{m\omega }\right)}^{\frac{1}{2}}{H}_n(y)y{H}_n(y)$$

그리고 식 $\text{(???)}$ 를 변형하여 $y{H}_n(y)=\frac{1}{2}{H}_{n+1}(y)+n{H}_{n-1}(y)$ 를 이용하면,

$$H_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]x{H}_n\left[{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x\right]={\left(\frac{\hslash }{m\omega }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}{H}_n(y)H_{n+1}(y)+{\left(\frac{\hslash }{m\omega }\right)}^{\frac{1}{2}}n{H}_n(y)H_{n-1}(y)$$

이를 다시 적분식에 넣고 적분 계산을 위하여 식 $\text{(???)}$를 적용하면, 각 항들의 Hermite polynomial들의 곱이 $H_n$ 과 $H_{n+1}$의 곱, $H_n$ 과 $H_{n-1}$ 의 곱이므로, 결국 적분값은 0임을 알 수 있다.

운동량의 기대값을 구하기 위하여 momentum operator $P=-i\hslash \frac{d}{dx}$ 를 식 $\text{(???)}$에 대입하고, 식 $\text{(???)}$, 식 $\text{(???)}$를 이용하여 미분을 계산하고, 마지막으로 적분 계산을 위하여 식 $\text{(???)}$를 이용하면 마찬가지로 0을 얻는다.

이러한 결과는 고전역학에서 조화진동자의 에너지가 얼마냐에 관계 없이 위치와 운동량의 시간 평균이 0이라는 결과와 일치한다.

#Using Creation and Annihilation Operators

위치와 운동량의 기대값을 구하기 위하여 creation operator와 annihilation operator를 이용할 수 있다. 먼저 이전 페이지에서 얻었던 결과들을 정리하자.^[각주:4] 이하에서는 양자수 $n$ 의 상태를 ${\psi }_n$ 대신 $|n⟩$ 으로 표현한다.

$$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X+i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P$$

$$a^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X-i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P$$

$$⟨n|m⟩={\delta }_{nm}$$

$$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$$

$$a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$

이제 $|n⟩$ 상태에서 위치의 기대값을 구해보자. 식 $\text{(???)}$, $\text{(???)}$을 이용하면,

$$X=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$

를 구할 수 있다. 이제 식 $\text{(???)}$에 대입하면,

$$\begin{array}{rl}E[X]& =⟨n|X|n⟩\\ & =⟨n|\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})|n⟩\\ & =\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(⟨n|a|n⟩+⟨n|a^{†}|n⟩)\end{array}$$

여기에 식 $\text{(???)}$, $\text{(???)}$를 이용하면,

$$E[X]=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(\sqrt{n}⟨n|n-1⟩+\sqrt{n+1}⟨n|n+1⟩)$$

그리고 마지막으로 식 $\text{(???)}$을 이용하면 $E[X]=0$ 을 얻는다. 즉, Hermite polynomial을 이용하여 얻은 결론과 동일하게 위치의 기대값은 0임을 알 수 있다.^[각주:5]

마찬가지 방법으로

$$P=i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}(a^{†}-a)$$

를 이용하면, $E[P]=0$ 을 얻을 수 있다.

1. 이 함수는 normalized 되어 있다. 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 참고. [본문으로]
2. 이 함수는 normalized 되어 있다. 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 참고. [본문으로]
3. 이 함수는 normalized 되어 있다. 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 참고. [본문으로]
4. 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators 참고. [본문으로]
5. Hermite polynomial을 이용한 방법과 operator를 이용한 방법은 사실상 같은 연산을 다른식으로 표현한 것이다. [본문으로]