이번 페이지에서는 조화진동자에서 위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하는 방법을 살펴본다.
#Expectation Values of Observables
위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하기 전에, 먼저 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements , 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 의 내용을 다시 한번 정리하자.
THEOREM Expectation Values of Observables
물리적 측정값 \(\mathcal{A}\) 에 대한 Hermitian operator를 \(A\) 라고 하자. 물리적 시스템이 \(|f\rangle\) 인 경우 \(\mathcal{A}\) 의 기대값은 다음과 같다.
\[ \begin{equation} E[A] = \frac{\langle f | A | f \rangle}{\langle f | f \rangle} = \frac{ \int _{\text{정의역}} f^*(x) A f(x) ~dx }{\int _{\text{정의역}} f^*(x) f(x) ~dx} \label{exp1} \end{equation} \]
특히 \(|f\rangle\) 이 normalized 되어있는 경우
\[ \begin{equation} E[A] = \langle f | A | f \rangle = \int _{\text{정의역}} f^*(x) A f(x) ~dx \label{exp2} \end{equation} \]
기대값을 구하기 위해서는 먼저 물리적 시스템이 어떠한 "상태"인지 반드시 명시되어야 한다. 자유낙하 문제에서 물체의 속력을 구할 때, 낙하가 막 시작된 상태인지, 아니면 땅에 닿기 직전 상태인지에 따라 속력이 다르듯이, 양자역학에서도 같은 물리량을 측정하더라도 상태가 다르면 전혀 다른 값이 나온다.
책에 따라서 기대값을 \(\langle A \rangle\) 로 표현하기도 한다.
#The Ground State of a Harminc Oscillator
먼저 조화진동자의 바닥 상태(\(n=0\))에서 입자의 위치와 운동량을 구해보자. 바닥 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.1
\[ \psi_0 (x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \]
바닥 상태에 대한 위치의 기대값을 구하기 위하여 position operator \(X=x\) 와 \(\psi_0 (x)\) 를 식 \(\eqref{exp2}\)에 대입하자.
\[ E[X] = \langle \psi_0 | X | \psi_0 \rangle = \int _{-\infty} ^{\infty} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} ~x~ \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} ~dx = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right) ^{\frac{1}{2}} \int _{-\infty} ^{\infty} x~e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} ~dx \]
마지막 적분은 함수 \(x~e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2}\) 가 odd function이므로 0이 된다. 즉, 조화진동자의 바닥상태에서 입자의 위치는 평균적으로 0이라는 결론을 얻을 수 있다.
이번에는 운동량의 기대값을 구하기 위하여 momentum operator \(P=-i\hbar \frac{d}{dx}\) 를 식 \(\eqref{exp2}\)에 대입하자.
\[ E[X] = \langle \psi_0 | X | \psi_0 \rangle = \int _{-\infty} ^{\infty} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} ~\times \left[ -i \hbar \frac{d}{dx} ~ \left\{ \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right) ^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \right\} \right] ~dx = \frac{m^{\frac{3}{2}} \omega^{\frac{3}{2}}}{\pi^{\frac{1}{2}} \hbar ^{\frac{1}{2}}} \int _{-\infty} ^{\infty} x~e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} ~dx \]
위치의 경우와 마찬가지로 마지막 적분은 0이 된다. 즉, 조화진동자의 바닥 상태에서 입자의 운동량은 평균적으로 0이라는 결론을 얻을 수 있다.
바닥 상태에서(기대값을 말할 때는 반드시 상태를 언급해줘야 함을 잊지 말것!!) 위치의 기대값과 운동량의 기대값이 0이라는 결론은 고전역학에서 시간에 대한 위치와 운동량의 평균이 0이라는 결론과 일치한다.
#Using Hermite Polynomials
일반적인 양자수 \(n\) 에 대하여 입자의 위치와 운동량의 기대값을 구해보자. 양자수가 \(n\) 인 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.2
\[ \psi_n (x) = \left( \frac{m \omega}{2^{2n}(n!)^2 \pi \hbar} \right) ^\frac{1}{4} H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]
기대값을 구하기 위해서는 다음의 식들이 필요하다.3
\[ \begin{equation} H' _n (y) = 2n H_{n-1} (y) \label{ptimes} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} H _{n+1} (y) = 2y ~H_n (y) -2n~H_{n-1} (y) \label{xtimes} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \int _{-\infty} ^{\infty} e^{-y^2} H_n(y) H_m(y) ~dy = \left\{ \begin{array}{cl} 2^n n! \sqrt{\pi} & \text{if } n=m, \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{equation} \label{ortho} \]
먼저 위치의 기대값을 구하기 위하여 position operator \(X=x\) 와 \(\psi_n (x)\) 를 식 \(\eqref{exp2}\)에 대입하자.
\[ \begin{align*} E[X] &= \langle \psi_n | X | \psi_n \rangle \\ &= \int _{-\infty} ^{\infty} \left\{ \left( \frac{m \omega}{2^{2n}(n!)^2 \pi \hbar} \right) ^\frac{1}{4} H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \right\} ~x~ \left\{ \left( \frac{m \omega}{2^{2n}(n!)^2 \pi \hbar} \right) ^\frac{1}{4} H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \right\} ~dx \\ &= \left( \frac{m \omega}{2^{2n}(n!)^2 \pi \hbar} \right) ^\frac{1}{2} \int _{-\infty} ^{\infty} e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] ~x~ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] \end{align*} \]
마지막 식에서
\[ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] ~x~ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] \]
부분을 식 \(\eqref{xtimes}\) 를 이용하기 위하여, \(y=\left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\) 로 치환하면,
\[ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] ~x~ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] = \left( \frac{\hbar}{m \omega} \right)^{\frac{1}{2}} H_n (y) y H_n(y) \]
그리고 식 \(\eqref{xtimes}\) 를 변형하여 \(y H_n(y) = \frac{1}{2} H_{n+1} (y) + n H_{n-1} (y)\) 를 이용하면,
\[ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] ~x~ H_n \left[ \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}} x\right] = \left( \frac{\hbar}{m \omega} \right)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} H_n (y) H_{n+1} (y) + \left( \frac{\hbar}{m \omega} \right)^{\frac{1}{2}} n H_n (y) H_{n-1} (y) \]
이를 다시 적분식에 넣고 적분 계산을 위하여 식 \(\eqref{ortho}\)를 적용하면, 각 항들의 Hermite polynomial들의 곱이 \(H_n\) 과 \(H_{n+1}\)의 곱, \(H_n\) 과 \(H_{n-1}\) 의 곱이므로, 결국 적분값은 0임을 알 수 있다.
운동량의 기대값을 구하기 위하여 momentum operator \(P=-i\hbar \frac{d}{dx}\) 를 식 \(\eqref{exp2}\)에 대입하고, 식 \(\eqref{ptimes}\), 식 \(\eqref{xtimes}\)를 이용하여 미분을 계산하고, 마지막으로 적분 계산을 위하여 식 \(\eqref{ortho}\)를 이용하면 마찬가지로 0을 얻는다.
이러한 결과는 고전역학에서 조화진동자의 에너지가 얼마냐에 관계 없이 위치와 운동량의 시간 평균이 0이라는 결과와 일치한다.
#Using Creation and Annihilation Operators
위치와 운동량의 기대값을 구하기 위하여 creation operator와 annihilation operator를 이용할 수 있다. 먼저 이전 페이지에서 얻었던 결과들을 정리하자.4 이하에서는 양자수 \(n\) 의 상태를 \(\psi_n\) 대신 \(| n \rangle\) 으로 표현한다.
\[ \begin{equation} a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} X + i \sqrt{\frac{1}{2m\hbar \omega}} P \label{annihilation} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} a ^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} X - i \sqrt{\frac{1}{2m\hbar \omega}} P \label{creation} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \langle n | m \rangle = \delta_{nm} \label{orthonormal} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} a ~| n \rangle = \sqrt{n} ~|n-1\rangle \label{annihilation2} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} a^\dagger ~|n \rangle = \sqrt{n+1} ~|n+1\rangle \label{creation2} \end{equation} \]
이제 \(| n \rangle\) 상태에서 위치의 기대값을 구해보자. 식 \(\eqref{annihilation}\), \(\eqref{creation}\)을 이용하면,
\[ X = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (a + a^\dagger) \]
를 구할 수 있다. 이제 식 \(\eqref{exp2}\)에 대입하면,
\[ \begin{align*} E[X] &= \langle n | X | n \rangle \\ &= \left\langle n \left| \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (a+a^\dagger) \right| n \right\rangle \\ &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left( \langle n | a | n \rangle + \langle n | a^\dagger | n \rangle \right) \end{align*} \]
여기에 식 \(\eqref{annihilation2}\), \(\eqref{creation2}\)를 이용하면,
\[ E[X] = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left( \sqrt{n} \langle n | n-1 \rangle + \sqrt{n+1} \langle n | n+1 \rangle \right) \]
그리고 마지막으로 식 \(\eqref{orthonormal}\)을 이용하면 \(E[X] = 0\) 을 얻는다. 즉, Hermite polynomial을 이용하여 얻은 결론과 동일하게 위치의 기대값은 0임을 알 수 있다.5
마찬가지 방법으로
\[ P = i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} (a^\dagger - a) \]
를 이용하면, \(E[P]=0\) 을 얻을 수 있다.
- 이 함수는 normalized 되어 있다. 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 참고. [본문으로]
- 이 함수는 normalized 되어 있다. 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 참고. [본문으로]
- 이 함수는 normalized 되어 있다. 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 참고. [본문으로]
- 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators 참고. [본문으로]
- Hermite polynomial을 이용한 방법과 operator를 이용한 방법은 사실상 같은 연산을 다른식으로 표현한 것이다. [본문으로]