Perturbation theory의 기본 가정을 살펴보면
- 물리적 시스템의 Hamiltonian \(H\)는 시간에 무관한 \(H_0\) 와 \(H_1\) 의 합으로 이루어져 있고, \(H_0\) 의 크기에 비하여 \(H_1\) 의 크기는 매우 작다.
- Unperturbed Hamiltonian \(H_0\) 에 대한 eigenvalue, eigenvector들을 완전히 알고 있다.
- Unperturbed Hamiltonian \(H_0\) 의 eigenvalue들은 non-degenerate이다.
이번 페이지에서는 \(H_0\) 의 eigenvalue들이 degenerate되어 있는 경우 perturbation theory를 살펴본다.
#Assumption
6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory에서 unperturbed Hamiltonian과 perturbed Hamiltonian에 대한 가정은 동일하다.
\[ \begin{equation} H = H_0 + \lambda H_1 \end{equation} \label{hamil} \]
다만, \(H_0\) 의 eigenvalue들은 degenerate되어 있으므로, eigenvalue와 eigenvector들을 다음과 같이 표현하자.
\[ \begin{equation} H_0 ~|n^{(0)} _i \rangle = E_n ^{(0)} ~|n^{(0)} _i \rangle ~~~~~~~~ \text{where } i = 1,2,\cdots, k_n \end{equation} \label{eigen} \]
또한, eigenvector들은 normalized되어 있다고 가정한다.
\[ \langle n_i ^{(0)} | m_j ^{(0)} \rangle = \delta_{nm} \delta_{ij} \]
그리고 \(H\) 에 의해서 non-degenerate된다고 하자.
\[ \begin{equation} H ~|n_i \rangle = E_{n,i} ~|n_i \rangle \end{equation} \label{per}\]
#Degenerate Case
Perturbation theory가 성립하기 위해서는, 임의의 \(m\) , \(s\)에 대하여
\[ \left| \frac{ \langle m^{(0)} | H_1 | s^{(0)} \rangle }{E_m ^{(0)} - E_s ^{(0)}} \right| \ll 1 \]
이어야 하지만, degenerate인 경우, \(n_i\), \(n_j\)에 대하여 분모가 0이 되기 때문에, perturbation theory가 성립하지 않게 된다. 다만 위 식의 분자가
\[ \begin{equation} \langle n_i ^{(0)} | H_1 | n_j ^{(0)} \rangle = 0 \end{equation} \label{cond1} \]
인 경우에만, 성립한다고 할 수 있다. 그러므로, degenerate eigenvector들이 식 \(\eqref{cond1}\)을 만족하는 경우에만, perturbation theory가 가능하다. 만약, 기존의 degenerate eigenvector
\[ \left\{ ~|n_1 ^{(0)}\rangle ~,~|n_2 ^{(0)}\rangle ~,~ \cdots ~,~|n_{k_n} ^{(0)}\rangle ~ \right\} \]
들이 위 조건을 만족하지 않는 경우에는, 위 조건을 만족하는 degenerate eigenspace의 orthonormal basis를 새롭게 구해야 한다. 따라서 6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory에서
\[ |n\rangle = ~|n^{(0)}\rangle + \lambda ~|n^{(1)}\rangle + \lambda^2 ~|n^{(2)}\rangle + \cdots \]
라고 무한급수를 표현했던 것 대신,
\[ \begin{equation} |n_i \rangle = ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle + \lambda ~\left\{ \sum _j c_{ij} ^{(1)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \right\} + \lambda ^2 ~\left\{ \sum _j c_{ij} ^{(2)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \right\} + \cdots \end{equation} \label{power1}\]
라고 표현해야 한다.
#Perturbation Theory
이제 식 \(\eqref{per}\)을 풀기 위하여, 식 \(\eqref{hamil}\)과 식 \(\eqref{power1}\), 그리고 무한급수
\[ E_{n,i} = E_n ^{(0)} + \lambda E_{n,i} ^{(1)} + \lambda^2 E_{n,i} ^{(2)} + \cdots \]
를 대입하자.
\[ \begin{multline*} (H_0 + \lambda H_1) \left[ ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle + \lambda ~\left\{ \sum _j c_{ij} ^{(1)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \right\} + \lambda ^2 ~\left\{ \sum _j c_{ij} ^{(2)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \right\} + \cdots \right] \\ = \left( E_n ^{(0)} + \lambda E_{n,i} ^{(1)} + \lambda^2 E_{n,i} ^{(2)} + \cdots \right) \left[ ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle + \lambda ~\left\{ \sum _j c_{ij} ^{(1)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \right\} + \lambda ^2 ~\left\{ \sum _j c_{ij} ^{(2)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \right\} + \cdots \right] \end{multline*} \]
위 식이 임의의 \(\lambda\)에 대하여 성립하기 위해서는
\[ \begin{equation} H_0 ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle = E_n ^{(0)} ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \end{equation} \label{0thorder} \]
\[ \begin{equation} H_0 ~\sum _j c_{ij} ^{(1)} ~|n_j ^{(0)} \rangle + H_1 ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle = E_n ^{(0)} ~\sum _j c_{ij} ^{(1)} ~|n_j ^{(0)} \rangle + E_{n,i} ^{(1)} ~\sum _j c_{ij} ^{(0)} ~|n_j ^{(0)} \rangle \end{equation} \label{1storder} \]
을 만족해야 한다. 식 \(\eqref{0thorder}\)는 식 \(\eqref{eigen}\)로 바로 얻어지는 식이다. 식 \(\eqref{1storder}\)부터 1차 perturbation항이 된다.
#The First-Order Change
식 \(\eqref{1storder}\)를 degenerate eigenvector \(|n_l ^{(0)}\rangle\)과 내적하면,
\[ \begin{multline*} \sum_j c_{ij} ^{(1)} \langle n_l ^{(0)} | H_0 | n_j ^{(0)} \rangle + \sum_j c_{ij} ^{(0)} \langle n_l ^{(0)} | H_1 | n_j ^{(0)} \rangle \\ = E_n ^{(0)} \sum_j c_{ij} ^{(1)} \langle n_l ^{(0)} | n_j ^{(0)} \rangle + E_{n,i} ^{(1)} \sum_j c_{ij} ^{(0)} \langle n_l ^{(0)} | n_j ^{(0)} \rangle \end{multline*} \]
이 때, 가정으로부터
\[ \langle n_l ^{(0)} | H_0 | n_j ^{(0)} \rangle = E_n ^{(0)} \langle n_l ^{(0)} | n_j ^{(0)} \rangle \]
\[ \langle n_l ^{(0)} | n_j ^{(0)} \rangle = \delta_{lj} \]
이므로
\[ \sum_j c_{ij} ^{(0)} \langle n_l ^{(0)} | H_1 | n_j ^{(0)} \rangle = E_{n,i} ^{(1)} c_{il} ^{(0)} \]
가 된다. 고정된 \(i\) 에 대해서, 이 식을 행렬로 이해하면
\[ \begin{bmatrix} & \vdots & \\ \cdots & \langle n_l ^{(0)} | H_1 | n_j ^{(0)} \rangle & \cdots \\ & \vdots & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vdots \\ c_{ij} ^{(0)} \\ \vdots \end{bmatrix} = E_{n,i} ^{(1)} \begin{bmatrix} \vdots \\ c_{il} ^{(0)} \\ \vdots \end{bmatrix} \]
즉, \(E_{n,i} ^{(1)}\) 는 degenerate eigenspace에서 perturbed Hamiltonian \(H_1\) 의 행렬 표현의 eigenvalue가 된다. 또한, \(\lambda\)의 0차항 까지만 고려하면,
\[ |n_i \rangle = \sum _j c_{ij} ^{(0)} |n_j ^{(0)} \rangle \]
는 \(H_1\) 의 degenerate eigenspace에서 행렬 표현의 eigenvector가 된다. 서로 다른 eigenvector들은 orthogonal하므로 식 \(\eqref{cond1}\)이 자연스럽게 만족됨을 알 수 있다.
THEOREM The First-Order Change in Energy (degenerate case)
Unperturbed energy level이 degenerate인 경우, 1차 perturbed energy 변화는 다음 행렬의 eigenvalue로 얻어진다.
\[ [H_1] = \begin{bmatrix} \langle n_1 ^{(0)} | H_1 | n_1 ^{(0)} \rangle & \langle n_1 ^{(0)} | H_1 | n_2 ^{(0)} \rangle & \cdots & \langle n_1 ^{(0)} | H_1 | n_{k_n} ^{(0)} \rangle \\ \langle n_2 ^{(0)} | H_1 | n_1 ^{(0)} \rangle & \langle n_2 ^{(0)} | H_1 | n_2 ^{(0)} \rangle & \cdots & \langle n_2 ^{(0)} | H_1 | n_{k_n} ^{(0)} \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle n_{k_n} ^{(0)} | H_1 | n_1 ^{(0)} \rangle & \langle n_{k_n} ^{(0)} | H_1 | n_2 ^{(0)} \rangle & \cdots & \langle n_{k_n} ^{(0)} | H_1 | n_{k_n} ^{(0)} \rangle \end{bmatrix} \]
이 때, 0차 perturbed state는 위 행렬의 eigenvector가 된다.