[양자역학] 6.3 시간에 무관한 섭동론 ② Time-Independent Perturbation Theory

Perturbation theory의 기본 가정을 살펴보면

1. 물리적 시스템의 Hamiltonian $H$는 시간에 무관한 $H_0$ 와 $H_1$ 의 합으로 이루어져 있고, $H_0$ 의 크기에 비하여 $H_1$ 의 크기는 매우 작다.
   
   
2. Unperturbed Hamiltonian $H_0$ 에 대한 eigenvalue, eigenvector들을 완전히 알고 있다.
   
   
3. Unperturbed Hamiltonian $H_0$ 의 eigenvalue들은 non-degenerate이다.

이번 페이지에서는 $H_0$ 의 eigenvalue들이 degenerate되어 있는 경우 perturbation theory를 살펴본다.

#Assumption

6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory에서 unperturbed Hamiltonian과 perturbed Hamiltonian에 대한 가정은 동일하다.

$$H=H_0+\lambda H_1$$

다만, $H_0$ 의 eigenvalue들은 degenerate되어 있으므로, eigenvalue와 eigenvector들을 다음과 같이 표현하자.

$$H_0|n_i^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|n_i^{(0)}⟩\text{where }i=1,2,\cdots ,k_n$$

또한, eigenvector들은 normalized되어 있다고 가정한다.

$$⟨n_i^{(0)}|m_j^{(0)}⟩={\delta }_{nm}{\delta }_{ij}$$

그리고 $H$ 에 의해서 non-degenerate된다고 하자.

$$H|n_i⟩=E_{n,i}|n_i⟩$$

#Degenerate Case

Perturbation theory가 성립하기 위해서는, 임의의 $m$ , $s$에 대하여

$$\left|\frac{⟨m^{(0)}|H_1|s^{(0)}⟩}{E_m^{(0)}-E_s^{(0)}}\right|\ll 1$$

이어야 하지만, degenerate인 경우, $n_i$, $n_j$에 대하여 분모가 0이 되기 때문에, perturbation theory가 성립하지 않게 된다. 다만 위 식의 분자가

$$⟨n_i^{(0)}|H_1|n_j^{(0)}⟩=0$$

인 경우에만, 성립한다고 할 수 있다. 그러므로, degenerate eigenvector들이 식 $\text{(???)}$을 만족하는 경우에만, perturbation theory가 가능하다. 만약, 기존의 degenerate eigenvector

$$\{|n_1^{(0)}⟩,|n_2^{(0)}⟩,\cdots ,|n_{k_n}^{(0)}⟩\}$$

들이 위 조건을 만족하지 않는 경우에는, 위 조건을 만족하는 degenerate eigenspace의 orthonormal basis를 새롭게 구해야 한다. 따라서 6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory에서

$$|n⟩=|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+{\lambda }^2|n^{(2)}⟩+\cdots$$

라고 무한급수를 표현했던 것 대신,

$$|n_i⟩=\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩+\lambda \{\sum _j{c}_{ij}^{(1)}|n_j^{(0)}⟩\}+{\lambda }^2\{\sum _j{c}_{ij}^{(2)}|n_j^{(0)}⟩\}+\cdots$$

라고 표현해야 한다.

#Perturbation Theory

이제 식 $\text{(???)}$을 풀기 위하여, 식 $\text{(???)}$과 식 $\text{(???)}$, 그리고 무한급수

$$E_{n,i}=E_n^{(0)}+\lambda E_{n,i}^{(1)}+{\lambda }^2{E}_{n,i}^{(2)}+\cdots$$

를 대입하자.

$$\begin{array}{c}(H_0+\lambda H_1)[\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩+\lambda \{\sum _j{c}_{ij}^{(1)}|n_j^{(0)}⟩\}+{\lambda }^2\{\sum _j{c}_{ij}^{(2)}|n_j^{(0)}⟩\}+\cdots ]\hfill \\ \hfill =(E_n^{(0)}+\lambda E_{n,i}^{(1)}+{\lambda }^2{E}_{n,i}^{(2)}+\cdots )[\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩+\lambda \{\sum _j{c}_{ij}^{(1)}|n_j^{(0)}⟩\}+{\lambda }^2\{\sum _j{c}_{ij}^{(2)}|n_j^{(0)}⟩\}+\cdots ]\end{array}$$

위 식이 임의의 $\lambda$에 대하여 성립하기 위해서는

$$H_0\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩=E_n^{(0)}\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩$$

$$H_0\sum _j{c}_{ij}^{(1)}|n_j^{(0)}⟩+H_1\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩=E_n^{(0)}\sum _j{c}_{ij}^{(1)}|n_j^{(0)}⟩+E_{n,i}^{(1)}\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩$$

을 만족해야 한다. 식 $\text{(???)}$는 식 $\text{(???)}$로 바로 얻어지는 식이다. 식 $\text{(???)}$부터 1차 perturbation항이 된다.

#The First-Order Change

식 $\text{(???)}$를 degenerate eigenvector $|n_l^{(0)}⟩$과 내적하면,

$$\begin{array}{c}\sum _j{c}_{ij}^{(1)}⟨n_l^{(0)}|H_0|n_j^{(0)}⟩+\sum _j{c}_{ij}^{(0)}⟨n_l^{(0)}|H_1|n_j^{(0)}⟩\hfill \\ \hfill =E_n^{(0)}\sum _j{c}_{ij}^{(1)}⟨n_l^{(0)}|n_j^{(0)}⟩+E_{n,i}^{(1)}\sum _j{c}_{ij}^{(0)}⟨n_l^{(0)}|n_j^{(0)}⟩\end{array}$$

이 때, 가정으로부터

$$⟨n_l^{(0)}|H_0|n_j^{(0)}⟩=E_n^{(0)}⟨n_l^{(0)}|n_j^{(0)}⟩$$

$$⟨n_l^{(0)}|n_j^{(0)}⟩={\delta }_{lj}$$

이므로

$$\sum _j{c}_{ij}^{(0)}⟨n_l^{(0)}|H_1|n_j^{(0)}⟩=E_{n,i}^{(1)}{c}_{il}^{(0)}$$

가 된다. 고정된 $i$ 에 대해서, 이 식을 행렬로 이해하면

$$\left[\begin{array}{ccc}& ⋮& \\ \cdots & ⟨n_l^{(0)}|H_1|n_j^{(0)}⟩& \cdots \\ & ⋮& \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}⋮\\ c_{ij}^{(0)}\\ ⋮\end{array}\right]=E_{n,i}^{(1)}\left[\begin{array}{c}⋮\\ c_{il}^{(0)}\\ ⋮\end{array}\right]$$

즉, $E_{n,i}^{(1)}$ 는 degenerate eigenspace에서 perturbed Hamiltonian $H_1$ 의 행렬 표현의 eigenvalue가 된다. 또한, $\lambda$의 0차항 까지만 고려하면,

$$|n_i⟩=\sum _j{c}_{ij}^{(0)}|n_j^{(0)}⟩$$

는 $H_1$ 의 degenerate eigenspace에서 행렬 표현의 eigenvector가 된다. 서로 다른 eigenvector들은 orthogonal하므로 식 $\text{(???)}$이 자연스럽게 만족됨을 알 수 있다.

THEOREM            The First-Order Change in Energy (degenerate case)

Unperturbed energy level이 degenerate인 경우, 1차 perturbed energy 변화는 다음 행렬의 eigenvalue로 얻어진다.

$$[H_1]=\left[\begin{array}{cccc}⟨n_1^{(0)}|H_1|n_1^{(0)}⟩& ⟨n_1^{(0)}|H_1|n_2^{(0)}⟩& \cdots & ⟨n_1^{(0)}|H_1|n_{k_n}^{(0)}⟩\\ ⟨n_2^{(0)}|H_1|n_1^{(0)}⟩& ⟨n_2^{(0)}|H_1|n_2^{(0)}⟩& \cdots & ⟨n_2^{(0)}|H_1|n_{k_n}^{(0)}⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨n_{k_n}^{(0)}|H_1|n_1^{(0)}⟩& ⟨n_{k_n}^{(0)}|H_1|n_2^{(0)}⟩& \cdots & ⟨n_{k_n}^{(0)}|H_1|n_{k_n}^{(0)}⟩\end{array}\right]$$

이 때, 0차 perturbed state는 위 행렬의 eigenvector가 된다.