이번 페이지에서는 수소 원자의 바닥 상태에서 위치의 기대값을 구해본다.
#Expectation of \(r\) and \(r^2\)
먼저 수소 원자의 바닥 상태 \(|1,0,0\rangle\) 에서 \(r\) 과 \(r^2\) 의 기대값을 구해보자. 먼저 바닥 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.
\[ \begin{equation} \psi_{100} (r,\theta,\phi) = \left( \frac{1}{\pi a_0 ^3} \right) ^{1/2} e^{-\frac{r}{a_0}} \label{ground} \end{equation}\]
\(r\) 과 \(r^2\) 의 기대값을 구하기 위해서는 다음 적분이 필요하다.
DEFINITION Gamma Function
자연수 \(n\) 에 대하여,
\[ \begin{equation} \Gamma(n) = \int _0 ^\infty x^{n-1}e^{-x} dx = (n-1)! \label{gamma} \end{equation} \]
이 적분을 이용하면 식 \(\eqref{ground}\)가 normalized되어 있음을 확인할 수 있다.
\[ \begin{align*} \int _0 ^\infty \int _0 ^\pi \int _0 ^{2\pi} \psi_{100} ^* ~ \psi_{100} ~r^2\sin{\theta} ~dr~d\theta~d\phi &= \int _0 ^\infty \int _0 ^\pi \int _0 ^{2\pi} \frac{1}{\pi a_0 ^3} e^{-\frac{2r}{a_0}} ~r^2\sin{\theta} ~dr~d\theta~d\phi \\ &= 4\pi \int _0 ^\infty \frac{1}{\pi a_0 ^3} e^{-\frac{2r}{a_0}} ~r^2~dr \\ &= \frac{1}{2} \int _0 ^\infty u^2 e^{-u} ~du \\ &= \frac{1}{2} \times 2! \\ &= 1 \end{align*} \]
따라서 바닥 상태에서 \(r\) 의 기대값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ \begin{align*} E[r] &= \left\langle \psi_{100} \right| r \left| \psi_{100} \right\rangle \\ &= \int _0 ^\infty \int _0 ^\pi \int _0 ^{2\pi} \psi_{100} ^* ~r~ \psi_{100} ~r^2\sin{\theta} ~dr~d\theta~d\phi \\ &= 4\pi \int _0 ^\infty \frac{1}{\pi a_0 ^3} e^{-\frac{2r}{a_0}} ~r^3~dr \\ &= \frac{a_0}{4} \times \int _0 ^{\infty} u^3 e^{-u} ~du \\ &= \frac{a_0}{4} \times 3! \\ &= \frac{3}{2} a_0 \end{align*} \]
같은 방식으로 바닥 상태에서 \(r^2\) 의 기대값도 계산할 수 있다.
\[ \begin{align*} E[r^2] &= \left\langle \psi_{100} \right| r^2 \left| \psi_{100} \right\rangle \\ &= \int _0 ^\infty \int _0 ^\pi \int _0 ^{2\pi} \psi_{100} ^* ~r^2~ \psi_{100} ~r^2\sin{\theta} ~dr~d\theta~d\phi \\ &= 4\pi \int _0 ^\infty \frac{1}{\pi a_0 ^3} e^{-\frac{2r}{a_0}} ~r^4~dr \\ &= \frac{a_0 ^2}{8} \times \int _0 ^{\infty} u^4 e^{-u} ~du \\ &= \frac{a_0^2}{8} \times 4! \\ &= 3 a_0^2 \end{align*} \]
#Bohr Model vs Quantum Mechanics
Bohr model에서 전자의 바닥 상태 궤도 반지름 \(a_0 = \frac{4\pi \hbar^2}{me^2}\) 와 Schrodinger 방정식을 통해 구한 해의 \(E[r]\) 를 비교해보면 Schrodinger 방정식의 해가 Bohr model보다 3/2배 더 크다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 Bohr model에서의 궤도 반지름 \(a_0\) 는 Schrodinger 방정식의 해에서 어떤 의미를 가지는 것일까?
바닥 상태의 파동 함수는 \(\theta\) , \(\phi\) 방향에 영향을 받지 않고, \(r\) 값에 의해서만 값이 변한다는 것을 알 수 있다. 따라서
\[ 4\pi ~\psi_{100}^* \psi_{100} ~r^2 ~dr = \frac{4}{a_0 ^3} r^2 e^{-\frac{2r}{a_0}} ~dr\]
을 \(r\) ~ \((r+dr)\) 사이에 전자가 있을 확률이라고 할 수 있다. 이 확률이 최대가 되는 \(r\) 값을 구해보면,
\[ \frac{d}{dr} \left( 4\pi ~\psi_{100}^* \psi_{100} ~r^2 \right) = \frac{8}{a_0 ^3} \left( 1 - \frac{r}{a_0} \right) r e^{-\frac{2r}{a_0}} \ \]
이므로, 미분값이 0이 되는 \(r=a_0\) 에서 전자를 발견할 확률이 최대라고 할 수 있다. 즉, Bohr model에서 궤도 반지름은 전자를 발견할 확률이 최대가 되는 반지름이라고 해석할 수 있다.