[양자역학] 4.6-(2) Example: 수소 원자 바닥 상태에서 기대값 Expectation for the Ground State of Hydrogen Atom

이번 페이지에서는 수소 원자의 바닥 상태에서 위치의 기대값을 구해본다.

#Expectation of $r$ and $r^2$

먼저 수소 원자의 바닥 상태 $|1,0,0⟩$ 에서 $r$ 과 $r^2$ 의 기대값을 구해보자. 먼저 바닥 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.

$${\psi }_{100}(r,\theta ,\varphi )={\left(\frac{1}{\pi a_0^3}\right)}^{1/2}{e}^{-\frac{r}{a_0}}$$

$r$ 과 $r^2$ 의 기대값을 구하기 위해서는 다음 적분이 필요하다.

DEFINITION            Gamma Function

자연수 $n$ 에 대하여, 

$$\mathrm{\Gamma }(n)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{-x}dx=(n-1)!$$

이 적분을 이용하면 식 $\text{(???)}$가 normalized되어 있음을 확인할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\psi }_{100}^{\ast }{\psi }_{100}{r}^2\sin \theta drd\theta d\varphi & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-\frac{2r}{a_0}}{r}^2\sin \theta drd\theta d\varphi \\ & =4\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-\frac{2r}{a_0}}{r}^{2}dr\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^2{e}^{-u}du\\ & =\frac{1}{2}\times 2!\\ & =1\end{array}$$

따라서 바닥 상태에서 $r$ 의 기대값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}E[r]& =⟨{\psi }_{100}|r|{\psi }_{100}⟩\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\psi }_{100}^{\ast }r{\psi }_{100}{r}^2\sin \theta drd\theta d\varphi \\ & =4\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-\frac{2r}{a_0}}{r}^{3}dr\\ & =\frac{a_0}{4}\times {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^3{e}^{-u}du\\ & =\frac{a_0}{4}\times 3!\\ & =\frac{3}{2}{a}_0\end{array}$$

같은 방식으로 바닥 상태에서 $r^2$ 의 기대값도 계산할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}E[r^2]& =⟨{\psi }_{100}|r^2|{\psi }_{100}⟩\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\psi }_{100}^{\ast }{r}^2{\psi }_{100}{r}^2\sin \theta drd\theta d\varphi \\ & =4\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\pi a_0^3}{e}^{-\frac{2r}{a_0}}{r}^{4}dr\\ & =\frac{a_0^2}{8}\times {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^4{e}^{-u}du\\ & =\frac{a_0^2}{8}\times 4!\\ & =3a_0^2\end{array}$$

#Bohr Model vs Quantum Mechanics

Bohr model에서 전자의 바닥 상태 궤도 반지름 $a_0=\frac{4\pi {\hslash }^2}{m{e}^2}$ 와 Schrodinger 방정식을 통해 구한 해의 $E[r]$ 를 비교해보면 Schrodinger 방정식의 해가 Bohr model보다 3/2배 더 크다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 Bohr model에서의 궤도 반지름 $a_0$ 는 Schrodinger 방정식의 해에서 어떤 의미를 가지는 것일까?

바닥 상태의 파동 함수는 $\theta$ , $\varphi$ 방향에 영향을 받지 않고, $r$ 값에 의해서만 값이 변한다는 것을 알 수 있다. 따라서

$$4\pi {\psi }_{100}^{\ast }{\psi }_{100}{r}^{2}dr=\frac{4}{a_0^3}{r}^2{e}^{-\frac{2r}{a_0}}dr$$

을 $r$ ~ $(r+dr)$ 사이에 전자가 있을 확률이라고 할 수 있다. 이 확률이 최대가 되는 $r$ 값을 구해보면,

$$\frac{d}{dr}\left(4\pi {\psi }_{100}^{\ast }{\psi }_{100}{r}^2\right)=\frac{8}{a_0^3}(1-\frac{r}{a_0})r{e}^{-\frac{2r}{a_0}}$$

이므로, 미분값이 0이 되는 $r=a_0$ 에서 전자를 발견할 확률이 최대라고 할 수 있다. 즉, Bohr model에서 궤도 반지름은 전자를 발견할 확률이 최대가 되는 반지름이라고 해석할 수 있다.