[양자역학] 3.5-(2) Example: 조화진동자에서 불확정성 원리 Uncertainty Principle of Harmonic Oscillator

이전 페이지에서 살펴본 기대값을 이용하여 불확정성 원리를 확인할 수 있다. 이번 페이지에서는 조화진동자에서 불확정성 원리를 확인해 본다.

#Uncertainty Principle

"양자역학에서 위치와 운동량을 모두 정확히 측정하는 것을 불가능하다"는 불확정성 원리는 수학적으로는 표준편차를 이용해 표현할 수 있다. 확률론에서 어떤 값을 정확히 측정할 수 있다는 것은 표준편차가 0이라는 것과 같으므로 불확정성 원리는 "위치와 운동량의 표준편차를 모두 0으로 만드는 것은 불가능하다"라고 표현할 수 있다.^[각주:1]

THEOREM            Uncertainty Principle

 $$\left(X\text{의 표준편차}\right)\left(P\text{의 표준편차}\right)\ge \frac{\hslash }{2}$$

#Variances of Position and Momentum for a Harmonic Oscillator

확률론에서 분산은 다음과 같이 계산된다.

$$\text{Var}(A)=E[A^2]-(E[A]{)}^2$$

따라서, $X$ 의 분산을 구하기 위해서는 $X^2$ 의 기대값을 구해야 한다. 이하에서는 계산의 간편함을 위하여 operator를 이용한 기대값 계산 방법을 이용하자.^[각주:2]

$$X=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$

로부터

$$X^2=\frac{\hslash }{2m\omega }(a+a^{†}{)}^2=\frac{\hslash }{2m\omega }[a^2+a{a}^{†}+a^{†}a+(a^{†}{)}^2]$$

주의!! 곱셈 공식 $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ 과는 다르게 식 $\text{(???)}$와 같이 전개되어야 한다. Operator의 경우 일반적으로 $AB$ 와 $BA$ 는 같지 않다.

이제 양자수 $n$ 인 상태에 대하여 $X^2$의 기대값을 구해보자.^[각주:3]

$$E[X^2]=⟨n|X^2|n⟩=\frac{\hslash }{2m\omega }(⟨n|aa|n⟩+⟨n|a{a}^{†}|n⟩+⟨n|a^{†}a|n⟩+⟨n|a^{†}{a}^{†}|n⟩)$$

이제 creation operator와 annihilator operator의 연산

$$a|n⟩=\sqrt{n}|n⟩$$

$$a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$

을 이용하면,

$$⟨n|aa|n⟩=\sqrt{n(n-1)}⟨n|n-2⟩$$

$$⟨n|a{a}^{†}|n⟩=(n+1)⟨n|n⟩$$

$$⟨n|a^{†}a|n⟩=n⟨n|n⟩$$

$$⟨n|a^{†}{a}^{†}|n⟩=\sqrt{(n+1)(n+2)}⟨n|n+2⟩$$

여기에 Hamiltonian의 eigenvector들의 orthonormality

$$⟨n|m⟩={\delta }_{nm}$$

을 적용하면 $X^2$ 의 기대값을 구할 수 있다.

$$E[X^2]=\frac{\hslash }{2m\omega }(2n+1)$$

이전 페이지에서 구한 $E[X]=0$ 을 이용하면, 양자수 $n$ 인 상태에서 $X$ 의 분산은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2=\frac{\hslash }{2m\omega }(2n+1)$$

마찬가지로 양자수 $n$ 인 상태에서 $P$ 의 분산을 구하기 위하여

$$P=i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}(a^{†}-a)$$

로부터

$$P^2=\frac{m\hslash \omega }{2}(-aa+a{a}^{†}+a^{†}a-a^{†}{a}^{†})$$

를 이용하면,

$$\text{Var}(P)=\frac{m\hslash \omega }{2}(2n+1)$$

을 얻을 수 있다.

#Uncertainty of a Harmonic Oscillator

따라서 양자수 $n$ 인 상태에서 $X$ 의 표준편차 $\mathrm{\Delta }X$ 와 $P$ 의 표준편차 $\mathrm{\Delta }P$ 의 값은 각각 다음과 같다.

$$\mathrm{\Delta }X=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }(n+\frac{1}{2})}$$

$$\mathrm{\Delta }P=\sqrt{\text{Var}(P)}=\sqrt{m\hslash \omega (n+\frac{1}{2})}$$

이로부터 양자수가 $n$ 인 상태의 조화진동자의 불확정성은

$$(\mathrm{\Delta }X)(\mathrm{\Delta }P)=\hslash (n+\frac{1}{2})$$

먼저 조화진동자는 불확정성 원리를 만족함을 알 수 있다. 만약 조화진동자가 바닥 상태인 경우, 식 $\text{(???)}$에서 가질 수 있는 최소값인 $\frac{\hslash }{2}$ 와 동일해진다. 두번째로 조화진동자의 양자수 $n$ 이 커질수록, 즉, 조화진동자의 에너지 $E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$ 가 커질수록, $X$ 의 표준편차와 $P$ 의 표준편차가 커짐을 알 수 있다. 비록 위치와 운동량의 평균(기대값)은 0으로 동일하지만, 에너지가 증가할 수록 위치와 운동량이 0에서 벗어나는 값들의 확률밀도가 증가함을 의미한다. 특히 위치의 경우는 eigenvector의 그래프로부터 직접 확인할 수 있다. 아래 그래프는 몇몇 $n$ 에 대한 eigenvector ${\psi }_n(x)$ 들의 그래프이다. $n$ 이 증가할 수록 확률밀도 ${|{\psi }_n(x)|}^2$ 가 어떻게 변화하는지 잘 살펴보고 위치의 표준편차가 어떻게 변화하는지 잘 살펴보자.

MaciejDems, Public domain, via Wikimedia Commons

1. 더 일반적인 경우에 대해서는 1.4-(3) Example: 하이젠베르크의 불확정성 원리 Heisenberg's Uncertainty Principle 참고. [본문으로]
2. operator를 이용한 방법과 Hermitie polynomial을 직접 이용하는 방법은 표현법만 다를 뿐 본질적으로 같은 연산이다. 이후 나오는 연산은 모두 Hermite polynomial의 적분을 통하여 같은 결론을 얻을 수 있다. [본문으로]
3. 기대값을 구하기 위해서는 반드시 상태를 표현해줘야 한다는 것을 명심할 것. [본문으로]