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canonical ensemble5

[통계역학] 1.4-(3) Example: 조화진동자 Harmonic Oscillators 이번 페이지에서는 위치가 고정된 \(N\) 개의 1차원 조화진동자로 이루어진 시스템에 대하여 canonical ensemble을 이용하여 열역학적 결과들을 살펴보자. #Classical Case\(N\) 개의 조화진동자의 Hamiltonian은\[ H (x_1, \cdots, x_n, p_1, \cdots, p_n) = \sum _{i=1} ^N \frac{p _i ^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x_i ^2 \]과 같이 조화진동자 1개의 Hamiltonian의 합으로 표현되므로 입자 1개의 partition function을 이용하여 N개의 partition function을 구할 수 있다.\[ Z_N(T) = \left[ Z_1(T) \right]^N \]입자 1개의 parti.. 2020. 8. 7.
[통계역학] 1.4-(2) Example: 이상기체 Ideal Gas 이번 페이지에서는 이상기체에서 canonical ensemble를 이용하여 열역학적 결과들을 살펴보자. #Ideal Gas부피 \(V\), 기체입자의 개수 \(N\), 온도 \(T\) 로 고정된 이상기체를 생각해보자. 이상기체의 Hamiltonian은\[ H(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_N, \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \cdots, \mathbf{p}_N) = \sum_{i=1} ^N \frac{\left| \mathbf{p}_i \right|^2}{2m} \]이므로 partition function은\[ \begin{align*} Z_N(V,T) &= \frac{1}{N!h^{3N}} \int e^{-\beta H(\math.. 2020. 8. 7.
[통계역학] 1.4-(1) Example: 정준 앙상블에서 열역학적 물리량 Thermodynamic Quantities in Canonical Ensemble 이번 페이지에서는 canonical ensemble을 이용하여 열역학적 물리량을 구해본다. 지난 페이지에서 partition function\[ Z_N(V,T) = \sum _s e^{-\beta E_s} ~~~~~~ \text{where } \beta = \frac{1}{kT} \]그리고 Helmholtz free energy\[ A = - \frac{1}{\beta} \ln{Z_N(V,T)} \]라는 것을 정리했다. 따라서 열역학적 물리량들을 Helmholtz free energy로 정리하면, canonical ensemble에서 열역학적 물리량들을 계산할 수 있다. #Entropy #Pressure #Chemical PotentialHelmholtz free energy의 differential\[.. 2020. 8. 6.
[통계역학] 1.4 정준 앙상블 Canonical Ensemble 지난 페이지까지 macrostate \((N,V,E)\) 가 주어진 시스템의 열역학적 값들을 microstate 개수 \(\Omega\) 로부터 구할 수 있다는 것과 microcanonical ensemble(소정준 앙상블)을 통해 \(\Omega\) 를 고전적 한계에서 유추할 수 있었다. 그러나 현실적으로 우리가 관심있는 시스템은 거의 대부분 주변과 상호작용을 하기 때문에, energy \(E\) 를 일정하게 유지하기 힘들다. 따라서 \(E\) 를 일정하게 유지하는 대신, temperature \(T\) 를 일정하게 유지하여 이론을 전개할 수 있는데, 이러한 경우를 canonical ensemble(정준 앙상블)이라고 한다. 이번 페이지에서는 canonical ensemble에 대하여 살펴본다. #Ca.. 2020. 8. 4.
[통계역학] 1.2 앙상블, 리우빌 정리 Ensemble, Liouville's Theorem 열평형 상태의 macrostate이더라도 입자의 위치나 운동량 등은 시시각각 변하는 것처럼 microstate는 시간에 따라 변하고 있다. 그래서 실험적으로 어떤 물리값을 측정한다는 것은 시간에 따라서 변하는 microstate에 대한 물리값의 평균값이 얻어진다고 할 수 있을 것이다. 이와 비슷하게 시간의 평균값 대신, 수많은 동일한 macrostate(그러나 다른 microstate)의 복사본에 대해서 평균값을 얻는 것도 같은 효과를 보일 것이라고 할 수 있다. 이렇게 macrostate의 복사본을 모아놓은 세트를 ensemble(앙상블)이라고 부른다. 이번 페이지에서는 ensemble 이론의 기초를 살펴본다. #Phase Space고전역학에서 특정 시간에 한 시스템을 표현하는 것은 position와 .. 2020. 7. 29.

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