[양자역학] 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators

Harmonic oscillator의 energy level을 구하기 위해 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator에서 Schrödinger equation

$$ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \right) \psi(x) = E\psi(x) $$

의 해를 구했다. 그러나 미분방정식이 아닌 linear operator를 통해 energy level과 eigenvector 구조를 구할 수 있다. 이번 페이지에서는 linear operator를 통해 Harmonic oscillator를 풀어보자.

#Creation Operators #Annihilation Operators

고전적 Harmonic oscillator의 Hamiltonian은

$$ \mathcal{H} = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{m\omega^2}{2}x^2 $$

을 변형하여

$$ \mathcal{H} = \hbar\omega \left( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} x + i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}p \right) \left( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} x - i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}p \right) $$

이제 새로운 변수

$$ a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} x + i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}p $$

로 정의하면, \(a\)의 complex conjugate는

$$ a^\ast = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} x - i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}p $$

이므로

$$ \mathcal{H} = \hbar\omega a a^\ast $$

를 얻는다. 양자역학의 Hamiltonian operator도 이와 같은 방식으로 정의할 수 있다. 고전역학의 변수 \(x\), \(p\)가 양자역학에서는 linear operator \(X\), \(P\)가 된 것처럼, 변수 \(a\)도 linear operator가 된다.

$$ a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} X + i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}} P $$

그리고 complex conjugate는 operator에서는 Hermitian adjoint가 된다.

$$ a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} X - i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}P $$

그러나 고전역학의 표현을 양자역학의 operator로 바꿀 때, 변수의 덧셈과 뺄셈은 문제가 없으나, 변수의 곱셈과 나눗셈이 문제가 된다. 예를 들어 고전역학의 표현 \(xp\)를 양자역학의 operator로 바꿀 때는 \(XP\)로 바꿔야 하는지, 아니면 \(PX\)나 \(\frac{PX}{2} + \frac{XP}{2}\)로 바꿔야 하는지 정해져 있지 않다. 분명히 \(XP\)와 \(PX\) 등은 다른 값을 가진다. 그러므로 operator의 곱셈이 있는 경우에는 주의해야 한다.

\(a\)와 \(a^\dagger\)의 곱은 다음과 같다. 

$$ \begin{align*} a^\dagger a &= \left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} X - i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}P\right) \left( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} X + i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}} P \right) \\ &= \frac{m\omega}{2\hbar}X^2 + \frac{1}{2m\hbar\omega}P^2 + i\frac{1}{2\hbar} (XP-PX) \\ &= \frac{m\omega}{2\hbar}X^2 + \frac{1}{2m\hbar\omega}P^2 + i\frac{1}{2\hbar} [X,P] \\ &= \frac{m\omega}{2\hbar}X^2 + \frac{1}{2m\hbar\omega}P^2 - \frac{1}{2} \end{align*} $$

따라서 Hamiltonian operator는 \(a\)와 \(a^\dagger\)를 이용해 표현될 수 있다.

$$ H = \hbar\omega \left( a^\dagger a + \frac{1}{2} \right) $$

\(a\)와 \(a^\dagger\) 그리고 \(H\)는 다음과 같은 관계에 있다.

$$ \begin{align*} [a^\dagger , H] &= -\hbar\omega a^\dagger \\ [a,H] &= \hbar\omega a \\ [a,a^\dagger] &= 1 \end{align*} $$

이제 \(H\)의 eigenvalue \(E\)에 대한 eigenvector를 \(\left| E \right\rangle\)라고 하자.

$$ H \left| E \right\rangle = E \left| E \right\rangle $$

이 vector에 \(a\)를 작용하면 어떤 vector가 되는지 살펴보기 위하여

$$ \begin{align*} Ha \left| E \right\rangle &= (aH - [a,H]) \left| E \right\rangle \\ &= aH \left| E \right\rangle - [a,H] \left| E \right\rangle \\ &= E (a\left| E \right\rangle) - \hbar\omega (a\left| E \right\rangle) \\ &= (E-\hbar\omega) (a\left| E \right\rangle) \end{align*} $$

즉, \(a\left| E \right\rangle\)는 \(H\)의 eigenvector가 되고 이 때의 eigenvalue는 \(E-\hbar\omega\)가 된다.

$$ a\left| E \right\rangle = c_{E} \left| E-\hbar\omega \right\rangle $$

이 때, \(c_{E}\)는 계수만큼의 차이가 있을 수 있다는 의미이다. (계수 값만 다른 vector는 물리적으로 같은 state를 표현한다.) 같은 방식으로 \(a^\dagger \left| E \right\rangle\)는

$$ a^\dagger \left| E \right\rangle = c'_{E} \left| E + \hbar\omega \right\rangle $$

이런식으로 계속 해나가면

$$ \cdots ~~\rightleftarrows~~ \left| E-2\hbar\omega \right\rangle ~~\overset{a^\dagger}{\underset{a}\rightleftarrows}~~ \left| E -\hbar\omega \right\rangle ~~\overset{a^\dagger}{\underset{a}\rightleftarrows}~~ \left| E \right\rangle ~~\overset{a^\dagger}{\underset{a}\rightleftarrows}~~ \left| E+\hbar\omega \right\rangle ~~\overset{a^\dagger}{\underset{a}\rightleftarrows}~~ \left| E +2\hbar\omega \right\rangle ~~\rightleftarrows~~ \cdots $$

즉, \(a^\dagger\)는 energy가 \(\hbar\omega\) 씩 늘어나고 \(a\)는 energy가 \(\hbar\omega\)씩 없어지는 operator라고 할 수 있다. 그래서 \(a^\dagger\)를 creation operator, \(a\)를 annihilation operator라고 부른다. 이를 \(\hbar\omega\)의 energy를 기본 입자로 생각하고 입자가 생기고 없어진다고 생각할 수도 있다.

#Energy Level of Harmonic Oscillator

\(H\)는 \(X\)의 제곱과 \(P\)의 제곱으로 이루어져 있기 때문에, eigenvalue는 음수가 될 수 없다. (\(E[P^2]\)는 wave function이 \(\left| E \right\rangle\)일 때 \(P^2\)의 기대값, \(E[X^2]\)는 \(X^2\)의 기대값)

$$ E = \langle E | H | E \rangle = \left\langle E \left| \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 \right| E \right\rangle = \frac{1}{2m} E[P^2] + \frac{m\omega^2}{2} E[X^2] \ge 0 $$

따라서 eigenvalue는 최소값이 존재한다. 이 최소값을 \(E_0\)라고 하자. 이 최소값에 대한 eigenvector \(\left| E_0 \right\rangle\)에 \(a\)를 작용하면, eigenvalue가 더 낮아질 수 없기 때문에, zero vector가 된다.

$$ a \left| E_0 \right\rangle = 0 $$

따라서

$$ a^\dagger a \left| E_0 \right\rangle = 0 $$

이다. 이 때 \(a^\dagger a = \frac{1}{\hbar\omega} H - \frac{1}{2}\)이므로

$$ \left( \frac{1}{\hbar\omega}H - \frac{1}{2} \right) \left| E_0 \right\rangle = 0 $$

따라서

$$ H \left| E_0 \right\rangle = \frac{1}{2}\hbar\omega \left| E_0 \right\rangle $$

즉, energy의 최소값은 \(\frac{1}{2}\hbar\omega\)이다. 그리고 여기에 \(a^\dagger\)를 \(n\)번 작용하여 harmonic oscillator의 모든 energy level을 얻을 수 있다.

$$ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega ~~,~~ n=0,1,2,\cdots $$

이 결과는 Schrodinger equation을 풀어서 나온 결과와 동일하다. 이제 eigenvalue \(E_n\)에 대한 eigenvector를 \(\left| E_n \right\rangle\) 대신 quantum number를 이용하여 \(\left| n \right\rangle\)으로 표현하도록 하겠다.

#Orthonormal Property of Eigenvectors

임의의 Hermitian operator \(T\)에 대하여, eigenvalue가 다른 eigenvector들은 서로 orthogonal하다. 따라서 \(H\)의 경우도 마찬가지이다. 각 eigenvector에 적당한 상수를 곱하면, 자기 자신과의 inner product를 1로 만들 수 있다.

$$ \left\langle n | m \right\rangle = \delta_{nm} $$

#Complete \(a\) and \(a^\dagger\)

\( a\left| n \right\rangle = c_{n} \left| n-1 \right\rangle\)에서 \(c_{n}\)을 구하기 위해

$$ \langle a(n) | a(n) \rangle = c_{n}^\ast c_{n} \langle n-1 | n-1 \rangle $$

으로부터,

$$ \langle a(n) | a(n) \rangle = \langle n | a^\dagger a | n \rangle = \langle n | \frac{1}{\hbar\omega}H - \frac{1}{2} | n \rangle = n $$

이므로

$$ c_{n}^\ast c_{n} = n $$

을 얻는다. 이를 만족하는 \(c_{n}\)은 무수히 많지만, 보통 real number로 택한다. 따라서,

$$ a\left| n \right\rangle = \sqrt{n} \left| n-1 \right\rangle $$

같은 방식으로

$$ a^\dagger \left| n \right\rangle = \sqrt{n+1} \left| n+1 \right\rangle $$

임을 구할 수 있다.