[양자역학] 3.7-(1) Example: 포논 Phonon, a chain of harmonic oscillators

여러 입자가 모여 형성된 고체 또는 액체의 물리적 성질에 대해서 연구하는 물리학의 한 분야를 condensed matter 분야라고 한다. 반도체, 양자컴퓨터 등 다양한 분야에서 응용된다. Condensed matter는 여러 입자가 모인 시스템을 연구하기 때문에, 입자 하나를 기술하는 것보다 훨씬 복잡한 구조를 필요로 하며, 결과적으로 입자 하나가 보여주는 현상보다 더 다양한 현상들이 나타난다. 이번 페이지에서는 condensed matter에서 고체의 vibration을 표현하는 기초적인 방법을 살펴본다.

#Normal Coordinates

3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator 도입부에 설명한 것처럼 고체에서 입자의 진동과 같이 stable한 potential은

$$ V(x) \approx \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}V(x_0) (x-x_0)^2 $$

와 같이 harmonic oscillator로 근사할 수 있다. 따라서 1차원 고체의 진동을 다음과 같이 질량 \(m\)인 \(N\)개의 입자가 진동수 \(\omega\)인 스프링으로 연결된 모형으로 근사하여 살펴보자.

\(q\)번째 입자가 균형점으로부터 떨어진 거리를 \(x_q\)라고 하면 이 시스템의 potential은

$$ V(x_1,x_2,\cdots,x_N) = \frac{1}{2}m\omega^2 \sum_{q=1} ^{N-1} (x_q - x_{q+1})^2 $$

가 되고 \(q\)번째 입자의 equation of motion은

$$ m \frac{d^2 x_q}{dt^2} = -m\omega^2(2x_q - x_{q+1} - x_{q-1}) $$

이 된다. Harmonic oscillator와 마찬가지로 이 시스템 역시 스프링으로 연결되어 있기 때문에 더 복잡하지만, 주기적으로 반복되는 운동을 할 것으로 예상할 수 있다. 따라서, 위의 coupled equation을 풀기보다는 discrete Fourier transform를 이용해 새로운 coordinates를 정의하는 것이 좋다.

DEFINITION            Discrete Fourier Transform

\(N\)개의 complex number들 \(x_0\), \(x_1\), ..., \(x_{N-1}\)에 대하여 다음과 같이 정의되는 새로운 \(N\)개의 complex number들 \(X_0\), \(X_1\), ..., \(X_{N-1}\)을 \(x_n\)의 discrete Fourier transform으로 부른다.

$$ X_k = \sum _{n=0} ^{N-1} x_n \cdot e^{-i\frac{2\pi}{N}kn} $$

이렇게 정의된 \(X_k\)로부터 \(x_n\)을 얻는 방법을 inverse discrete Fourier transform이라고 한다.

$$ x_n = \frac{1}{N} \sum _{k=0} ^{N-1} X_k \cdot e^{i\frac{2\pi}{N}kn} $$

곱해지는 계수들과 \(k\)의 차원들을 조금 조정하여 discrete Fourier transform와 inverse를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} \eta_k &= \sqrt{\frac{1}{N}} \sum _{q=1} ^{N} x_q e^{-ikql} \\ x_q &= \sqrt{\frac{1}{N}} \sum _{Nkl/2\pi=1} ^N \eta_k e^{ikql} \end{align*} $$

Equation of motion으로부터

$$ \frac{d^2}{d t^2} \eta_k = -\omega^2\left( 2-e^{ikl}-e^{-ikl}\right) \eta_k $$

우변의 계수를

$$ \Omega_k = \sqrt{\omega(2-e^{ikl}-e^{-ikl})} = 2 \omega \left| \sin{\frac{kl}{2}} \right| $$

로 정의하면, 다음과 같은 단일 변수 \(\eta_k\)에 대한 미분방정식을 얻는다.

$$ \frac{d^2}{dt^2} \eta_k = -\Omega_k \eta_k $$

이 식의 solution은 다음과 같다. (계수 \(a_k\)는 초기값으로부터 결정됨)

$$ \eta_k = a_k e^{i\Omega_k t} $$

이렇게 coupled equation에서 decoupled equation으로 만드는 coordinates를 normal coordinates라고 부른다.

#Second Quantization

고전역학에서 이 system을 풀기 위해 normal coordintates를 도입한 것처럼, 양자역학에서도 같은 방식으로 normal operator를 정의할 수 있다. Position operator \(X_q\)와 momentum operator\(P_q\)를 이용하여 새로운 operator

$$ \begin{align*} \Xi_k &= \sqrt{\frac{1}{N}} \sum_{q=1} ^N e^{ikql} X_q \\ \Pi_k &= \sqrt{\frac{1}{N}} \sum _{q=1} ^N e^{-ikql} P_q \end{align*} $$

으로 정의하자. 주의할 것은 \(X_q\), \(P_q\)와는 다르게, \(\Xi_k\), \(\Pi_k\)는 Hermitian operator가 아니라는 점이다.

$$ \begin{align*} \Xi_k ^\dagger &= \Xi_{-k} \\ \Pi_k ^\dagger &= \Pi_{-k} \end{align*} $$

이제, first quantization \([x_q,p_{q'}]=i\hbar\delta_{qq'}\)을 이용하면,

$$ \begin{align*} \left[ \Xi_k, \Pi_{k'} \right] &= \frac{1}{N} \sum_{q} \sum_{q'} [X_q,P_{q'}] e^{ikql}e^{-ik'q'l} \\ &= i\frac{\hbar}{N} \sum _q e^{iql(k-k')} \\ &= i\hbar \delta_{qq'} \\ \\ [\Xi_k,\Xi_{k'}] &= [\Pi_k, \Pi_{k'}] = 0 \end{align*} $$

즉, first quantization과 비슷한 결론을 얻는다. 이제 

$$ \begin{align*} \sum_k \Xi_k \Xi^\dagger _k &= \sum _{q} X_q ^2 \\ &= \sum _{q} e^{ikl} X_q X_{q+1} \\ &= \sum _{q} e^{-ikl} X_{q+1} X_q \\ \sum_k \Pi_k \Pi^\dagger _k &= \sum _{q} P_q ^2 \end{align*} $$

를 이용하여 Hamiltonian operator를 다음과 같이 정리하자.

$$ \begin{align*} H &= \frac{1}{2m} \sum _{q} P_q ^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 \sum_{q} (X_q - X_{q+1})^2 \\ &= \sum_k \left[ \frac{1}{2m} \Pi_k \Pi^\dagger _k  + \frac{1}{2}m \omega^2 \left( 2- e^{-ikl} - e^{ikl} \right) \Xi_k \Xi^\dagger _k \right] \\ &= \sum_k \left[ \frac{1}{2m} \Pi_k \Pi^\dagger _k + \frac{1}{2}m \Omega^2 _k \Xi_k \Xi^\dagger _k \right] \end{align*} $$

Harmonic oscillator에서 creation operator와 annihilation operator를 정의한 것과 같이 operator \(b_k\)와 \(b^\dagger _k\)를 

$$ \begin{align*} b_k &= \sqrt{\frac{m\Omega_k}{2\hbar}} \Xi_k + i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\Omega_k}} \Pi^\dagger _k \\ b^\dagger _k &= \sqrt{\frac{m\Omega_k}{2\hbar}} \Xi^\dagger _k - i\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\Omega_k}} \Pi_k \end{align*} $$

로 정의하면,

$$ H = \sum _k \hbar\Omega_k \left( b^\dagger _k b_k + \frac{1}{2} \right) $$

그리고, \(b_k\)와 \(b^\dagger _k\)들의 commutation relation

$$ \begin{align*} \left[ b_k, b_{k'} \right] &= [ b ^\dagger _k, b ^\dagger _{k'} ] = 0 \\ [ b_k, b^\dagger _{k'} ] &= \delta_{kk'} \end{align*} $$

을 이용하여,

$$ \begin{align*} [b_k, H] &= \hbar\Omega_k b_k \\ [b ^\dagger _k,H] &= -\hbar\Omega_k b^\dagger _k \end{align*} $$

을 얻는다. 즉, 진동수 \(\Omega_k\)를 가지는 많은 수의 독립적인 harmonic oscillator가 된다. 이 때, commutator \([b_k, b^\dagger _{k'}]\)를 second quantization이라고 부른다.

THEOREM            Second Quantization (bosons)

$$ \begin{align*} \left[ b_k, b_{k'} \right] &= [ b ^\dagger _k, b ^\dagger _{k'} ] = 0 \\ [ b_k, b^\dagger _{k'} ] &= \delta_{kk'} \end{align*} $$

#Phonon

위에서 서로 연결된 \(N\)개의 입자 시스템은 \(\Omega_1\), \(\Omega_2\), ...들을 진동수로 하는 독립적인 harmonic oscillator 모임이 된다. 따라서 각 \(\Omega_k\)에 대하여 quantum number를 \(n_k\)라고 하면, 이 시스템의 eigenvector는

$$ | n_1, n_2, \cdots , n_q , \cdots \rangle $$

이 되고, energy는

$$ E = n_1 \hbar\Omega_1 + n_2 \hbar\Omega_2 + \cdots $$

가 된다. 이는 마치 energy가 \(\hbar\Omega_k\)인 입자들이 \(n_k\)개 있는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 입자적 성질을 표현하기 위하여 이 eigenstate들을 phonon이라고 부른다. 물론 phonon은 실제 입자가 아니다. Condensed matter와 high energy 분야에서는 이렇게 실제 입자는 아니지만, 같은 에너지 양이 모여서 전체 에너지가 되거나, 같은 에너지 양만큼 생성되거나 사라지거나 하는 입자적 성질을 보이는 시스템이 많은데, 이를 quasi-particle이라고 부른다. 

중요한 것은 phonon의 normal mode로 가능한 진동수가 \(\Omega_1\), \(\Omega_2\), ...들로 한정된다는 것이다. 맨 처음에 소개한 normal coordinates에서 \(\frac{Nl}{2\pi}k\)가 1부터 \(N\)가지 가능했다. 즉, 가능한 \(k\) 값들은 \(\frac{2\pi}{Nl}\times 1\)부터 \(N\)배까지의 정수배가 가능하며, 이에 따라 normal mode도 제한된다.

실제 crystal은 지금까지의 논의와 다르게 3차원이므로 normal mode의 진동수 역시 3차원 vector \(\mathbf{k}\)에 의하여 결정된다. \(|\mathbf{k}|\to 0\)임에 따라 \(\Omega_\mathbf{k} \to 0 \)인 경우 acoustic branch라고 부른다. 위에서 본 \(\Omega_k = 2 \omega \left| \sin{kl/2} \right|\)가 이런 경우이다. \(|\mathbf{k}|\to 0\)에도 \(\Omega_\mathbf{k}\)가 0에 수렴하지 않을 때, 즉, phonon의 momentum \(\hbar \mathbf{k}\)가 0임에도 energy \(\hbar\Omega_\mathbf{k}\)가 0이 아닌 경우 optical branch라고 부른다. 보통 optical branch는 ionic crystal에서 phonon이 electromagnetic field를 받아 excited되면서 나타나기 때문에 이러한 이름이 붙은 것이다. 예를 들어, 염화나트륨(\(NaCl\))이 적외선을 받으면, \(Na^+\) 이온은 electric field 방향으로 이동하고, \(Cl^-\) 이온은 반대 방향으로 이동하여 phonon이 생성된다. (이에 대한 자세한 내용은 --solid state, -- 참고)

Example: Speed of Sound in the Crystal

Phonon은 crystal 안에서 소리가 전파되는 현상에 응용할 수 있다. 소리가 공기의 압축으로 전파되는 것처럼, crystal 안에서는 입자의 진동을 통해 전파된다. 따라서 입자의 진동을 표현하는 phonon이 소리의 normal mode가 된다. Normal mode의 진동수 \(\Omega_k\)가

$$ \Omega_k = 2 \omega \left| \sin{\frac{kl}{2}} \right| $$

이므로 \(|k|l \ll 1\)인 경우, 즉 파장이 입자들 사이의 거리보다 충분히 커서 crystal의 불연속 구조가 중요하지 않는 경우

$$ \Omega_k \approx \omega kl $$

따라서 phase velocity \(\frac{\Omega_k}{|k|} \approx \omega l\)로 진동수 \(k\)에 independent하고, 소리의 wave packet이 전파되는 경우 group velocity \(\frac{d\Omega_k}{dk}\)가 phase velocity와 같아 dispersive하지 않으므로, 먼 거리까지 wave packet이 깨지지 않고 멀리까지 전파된다는 것을 알 수있다. 그러나 파장이 작아져 불연속 구조가 중요해지는 경우 phase velocity는 \(\omega l\)보다 작아지고, group velocity가 phase velocity와 달라지므로 dispersive하게 된다. 게다가 \(k\)가 first Brillouin zone에 근접한 경우, 즉 \(k \to \pm \frac{\pi}{l}\)인 경우 group velocity는 0에 가까워 진다.