[양자역학] 3.7-(2) Example: 광자 Photon, introduction to quantum field theory

고전적 전자기학에 따르면 scalar potential \(\phi(\mathbf{r},t)\)는 wave equation을 따른다.

$$ \left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \phi(\mathbf{r},t) = 0 $$

이번 페이지에서는 scalar potential의 양자역학적 표현을 살펴본다.

#Classical Field Theory

다음과 같이 주어진 Lagrangian density 

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}c^2 \sum_i \left(\frac{\partial \phi}{\partial x_i}\right)^2 $$

의 Euler-Lagrange equation을 구해보자.

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)} \right) - \sum_i \frac{d}{dx_i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{\partial \phi}{\partial x_i} \right)} \right)=0 - \frac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2} + c^2 \sum _i \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i ^2} = 0 $$

즉, \(\mathcal{L}\)은 wave equation의 Lagrangian density이다. 이 Lagrangian density에서 변수는 scalar field \(\phi\) (그리고 \(\partial \phi/\partial t\), \(\partial \phi/\partial x_i\)) 임에 주의하자. \(x_i\)와 \(t\)는 \(\phi\)의 매개변수이다. 예를 들어 중력가속도 \(g\)를 받는 질량 \(m\) 입자의 Lagrangian

$$ L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) - mgz $$

에서 변수는 \(x\), \(y\), \(z\), \(\dot{x}\), \(\dot{y}\), \(\dot{z}\)이고 매개변수가 \(t\)가 된다. \(t\) 역할을 \(\mathcal{L}\)에서는 \(x_i\)와 \(t\)가 하는 것이다.

이하에서는 논의를 간단히 하기 위하여 3차원 대신 1차원 Lagrangian density

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}c^2 \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 $$

를 살펴본다. 이제 canonical momentum \(\pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial \phi/\partial t\right)} = \frac{\partial \phi}{\partial t}\)를 이용해 Hamiltonian

$$ H = \int ~\left[\pi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial \phi/\partial t\right)} - \mathcal{L}\right] ~dx = \int \frac{1}{2} (\pi(x))^2 + \frac{1}{2} c^2 \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) ^2 ~dx $$

그리고 Possion bracket relations

$$ \begin{align*} \{ \phi(x),\phi(x') \} &= \{ \pi(x),\pi(x') \} = 0 \\ \{ \phi(x),\pi(x') \} &= \delta(x-x') \end{align*} $$

를 얻는다.

#Quantum Field Theory

고전역학의 변수 \(\phi(x)\)와 \(\pi(x)\)를 양자역학의 operator로 바꾸면, commutation relation

$$ \begin{align*} [ \phi(x),\phi(x') ] &= [ \pi(x),\pi(x') ] = 0 \\ [ \phi(x),\pi(x') ] &= i\hbar \delta(x-x') \end{align*} $$

가 된다. 이제 operator \(\phi(x)\)와 \(\pi(x)\)에 대한 Fourier transform을

$$ \begin{align*} \phi_{k} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int \phi(x)e^{-ikx}~dx \\ \pi_{k} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int \pi(x)e^{-ikx}~dx \end{align*} $$

로 정의한다. 3.7-(1) Example: 포논 Phonon, a chain of harmonic oscillators에서와 마찬가지로, \(\phi_k\)와 \(\pi_k\)는 Hermitian operator가 아님을 주의하자.

$$ \begin{align*} \phi ^\dagger _k &= \phi _{-k} \\ \pi ^\dagger _k &= \pi _{-k} \end{align*} $$

Fourier transform의 성질 \(\partial \phi/\partial x \leftrightarrow k\phi_k\)를 이용하면,

$$ \begin{align*} \int k^2 \phi_k \phi^\dagger _k ~dk &= \frac{1}{2\pi} \int \left[ \int \left(\frac{\partial }{\partial x}\phi(x)\right)e^{-ikx} dx \right] \left[\int \left(\frac{\partial }{\partial x'}\phi(x')\right) e^{ikx'}dx' \right] ~dk \\ &= \frac{1}{2\pi} \int \left(\frac{\partial }{\partial x}\phi(x)\right)\left(\frac{\partial }{\partial x'}\phi(x')\right) \left[ \int e^{ik(x'-x)}dk \right]~dxdx' \\ &= \int \left(\frac{\partial }{\partial x}\phi(x)\right)\left(\frac{\partial }{\partial x'}\phi(x')\right) \delta(x-x') ~dxdx' \\ &= \int \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 ~dx \end{align*} $$

같은 방식으로 

$$ \int \pi_k \pi^\dagger _k ~dk = \int (\pi(x))^2~dx $$

따라서 Hamiltonian operator는

$$ H = \frac{1}{2} \int \pi_k \pi^\dagger _k + k^2 \phi_k \phi ^\dagger _k ~dk $$

를 얻는다. 3.7-(1) Example: 포논 Phonon, a chain of harmonic oscillators에서 본 것과 같이 이러한 형태의 Hamiltonian은 second quantization을 통해 많은 수의 독립적인 harmonic oscillator가 된다. 즉,

$$ \begin{align*} a_k &= \sqrt{\frac{1}{2\hbar k}} (k\phi_k + i \pi_k) \\ a^\dagger _k &= \sqrt{\frac{1}{2\hbar k}} (k\phi^\dagger _k - i \pi^\dagger _k ) \end{align*} $$

으로 정의하면, second quantization

$$ \begin{align*} [a_k , a^\dagger _{k'} ] &= \delta_{kk'} \\ [a_k , a_{k'} ] &= [a^\dagger _k, a^\dagger _{k'}] = 0 \end{align*}$$

와 Hamiltonian

$$ H = \int \hbar k \cdot a^\dagger _k a_k ~dk $$

을 얻는다. 즉, wave equation은 무한히 많은 수의 harmonic oscillator로 해석할 수 있다. 각 \(k\)에 대하여 quantum number \(n_k\)라고 하면, 이 시스템의 eigenvector는

$$ | \cdots, n_k, \cdots \rangle $$

이 되고, energy는

$$ E = \int n_k \hbar k ~dk $$

가 된다. Phonon과 마찬가지로 energy가 \(\hbar k\)인 입자들이 \(n_k\)개 있는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 입자적 성질을 표현하여 electromagnetic field의 입자를 photon(광자)이라고 부른다.

Example: Vacuum Fluctuation

Operator \(\phi(x)\)가 harmonic oscillator의 position operator 역할을 하기 때문에, 모든 \(n_k\)가 0인 ground state \(|0\rangle\)에서 scalar field \(\phi(x)\)의 기대값은 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①에서 본 것과 같이

$$ \langle 0 | \phi(x) | 0 \rangle = 0 $$

그러나 harmonic oscillator에서 \(X^2\)의 기대값이 0이 아니었듯이, \((\phi(x))^2\)의 기대값도 0이 아니다.

$$ \phi_k = \sqrt{\frac{\hbar}{2k}}(a_k + a^\dagger _{-k}) $$

와 위에서

$$ \int (\phi(x))^2 dx = \int \phi_k \phi^\dagger _k ~dk $$

로부터

$$ \int \langle 0 | (\phi(x))^2 | 0 \rangle ~dx = \int \frac{\hbar}{2k} \langle 0 | a_k a^\dagger _k | 0 \rangle ~dk \ne 0 $$

이므로 \(\langle 0 | (\phi(x))^2 | 0 \rangle\)이 0이 아님을 알 수 있다. 따라서 scalar field의 표준편차는 0이 아니다.

모든 \(n_k\)가 0인 state는 공간에 photon이 없는 상태로 vacuum state라고 부른다. 고전적으로 photon이 없는 경우(즉, electromagnetic field의 energy가 0인 경우) field는 0이어야 한다. 그러나 양자역학적으로는 위에서 본 것과 같이 field가 평균적으로는 0이지만, 표준편차가 0이 아니므로 단 한번 측정을 하는 경우 photon이 없다고 하더라도 field가 0이 아닐 수 있다. 이를 아무 것도 없는 vacuum state에서 field가 평균적으로 0을 중심으로 생겼다 없어졌다 하는 것처럼 묘사를 하여 vacuum fluctuation(양자 요동)이라고 부른다. Vacuum fluctuation은 본질적으로 uncertainty principle의 결과로도 이해된다.