[양자역학] 3.7-(2) Example: 광자 Photon, introduction to quantum field theory

고전적 전자기학에 따르면 scalar potential $\varphi (\mathbf{r},t)$는 wave equation을 따른다.

$$(\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2)\varphi (\mathbf{r},t)=0$$

이번 페이지에서는 scalar potential의 양자역학적 표현을 살펴본다.

#Classical Field Theory

다음과 같이 주어진 Lagrangian density 

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)}^2-\frac{1}{2}{c}^2\sum _i{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right)}^2$$

의 Euler-Lagrange equation을 구해보자.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)}\right)-\sum _i\frac{d}{d{x}_i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right)}\right)=0-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}+c^2\sum _i\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x_i^2}=0$$

즉, $\mathcal{L}$은 wave equation의 Lagrangian density이다. 이 Lagrangian density에서 변수는 scalar field $\varphi$ (그리고 $\partial \varphi /\partial t$, $\partial \varphi /\partial x_i$) 임에 주의하자. $x_i$와 $t$는 $\varphi$의 매개변수이다. 예를 들어 중력가속도 $g$를 받는 질량 $m$ 입자의 Lagrangian

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-mgz$$

에서 변수는 $x$, $y$, $z$, $\dot{x}$, $\dot{y}$, $\dot{z}$이고 매개변수가 $t$가 된다. $t$ 역할을 $\mathcal{L}$에서는 $x_i$와 $t$가 하는 것이다.

이하에서는 논의를 간단히 하기 위하여 3차원 대신 1차원 Lagrangian density

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)}^2-\frac{1}{2}{c}^2{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2$$

를 살펴본다. 이제 canonical momentum $\pi =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial \varphi /\partial t\right)}=\frac{\partial \varphi }{\partial t}$를 이용해 Hamiltonian

$$H=\int [\pi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial \varphi /\partial t\right)}-\mathcal{L}]dx=\int \frac{1}{2}(\pi (x){)}^2+\frac{1}{2}{c}^2{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^{2}dx$$

그리고 Possion bracket relations

$$\begin{array}{rl}\{\varphi (x),\varphi (x^{\prime })\}& =\{\pi (x),\pi (x^{\prime })\}=0\\ \{\varphi (x),\pi (x^{\prime })\}& =\delta (x-x^{\prime })\end{array}$$

를 얻는다.

#Quantum Field Theory

고전역학의 변수 $\varphi (x)$와 $\pi (x)$를 양자역학의 operator로 바꾸면, commutation relation

$$\begin{array}{rl}[\varphi (x),\varphi (x^{\prime })]& =[\pi (x),\pi (x^{\prime })]=0\\ [\varphi (x),\pi (x^{\prime })]& =i\hslash \delta (x-x^{\prime })\end{array}$$

가 된다. 이제 operator $\varphi (x)$와 $\pi (x)$에 대한 Fourier transform을

$$\begin{array}{r}{\varphi }_k=\sqrt{\frac{1}{2\pi }}\int \varphi (x)e^{-ikx}dx\\ {\pi }_k=\sqrt{\frac{1}{2\pi }}\int \pi (x)e^{-ikx}dx\end{array}$$

로 정의한다. 3.7-(1) Example: 포논 Phonon, a chain of harmonic oscillators에서와 마찬가지로, ${\varphi }_k$와 ${\pi }_k$는 Hermitian operator가 아님을 주의하자.

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_k^{†}& ={\varphi }_{-k}\\ {\pi }_k^{†}& ={\pi }_{-k}\end{array}$$

Fourier transform의 성질 $\partial \varphi /\partial x\leftrightarrow k{\varphi }_k$를 이용하면,

$$\begin{array}{rl}\int k^2{\varphi }_k{\varphi }_k^{†}dk& =\frac{1}{2\pi }\int [\int (\frac{\partial }{\partial x}\varphi (x))e^{-ikx}dx][\int (\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\varphi (x^{\prime }))e^{ik{x}^{\prime }}d{x}^{\prime }]dk\\ & =\frac{1}{2\pi }\int (\frac{\partial }{\partial x}\varphi (x))(\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\varphi (x^{\prime }))[\int e^{ik(x^{\prime }-x)}dk]dxd{x}^{\prime }\\ & =\int (\frac{\partial }{\partial x}\varphi (x))(\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\varphi (x^{\prime }))\delta (x-x^{\prime })dxd{x}^{\prime }\\ & =\int {\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^{2}dx\end{array}$$

같은 방식으로 

$$\int {\pi }_k{\pi }_k^{†}dk=\int (\pi (x){)}^{2}dx$$

따라서 Hamiltonian operator는

$$H=\frac{1}{2}\int {\pi }_k{\pi }_k^{†}+k^2{\varphi }_k{\varphi }_k^{†}dk$$

를 얻는다. 3.7-(1) Example: 포논 Phonon, a chain of harmonic oscillators에서 본 것과 같이 이러한 형태의 Hamiltonian은 second quantization을 통해 많은 수의 독립적인 harmonic oscillator가 된다. 즉,

$$\begin{array}{rl}{a}_k& =\sqrt{\frac{1}{2\hslash k}}(k{\varphi }_k+i{\pi }_k)\\ a_k^{†}& =\sqrt{\frac{1}{2\hslash k}}(k{\varphi }_k^{†}-i{\pi }_k^{†})\end{array}$$

으로 정의하면, second quantization

$$\begin{array}{rl}[a_k,a_{k^{\prime }}^{†}]& ={\delta }_{k{k}^{\prime }}\\ [a_k,a_{k^{\prime }}]& =[a_k^{†},a_{k^{\prime }}^{†}]=0\end{array}$$

와 Hamiltonian

$$H=\int \hslash k\cdot a_k^{†}{a}_{k}dk$$

을 얻는다. 즉, wave equation은 무한히 많은 수의 harmonic oscillator로 해석할 수 있다. 각 $k$에 대하여 quantum number $n_k$라고 하면, 이 시스템의 eigenvector는

$$|\cdots ,n_k,\cdots ⟩$$

이 되고, energy는

$$E=\int n_k\hslash kdk$$

가 된다. Phonon과 마찬가지로 energy가 $\hslash k$인 입자들이 $n_k$개 있는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 입자적 성질을 표현하여 electromagnetic field의 입자를 photon(광자)이라고 부른다.

Example: Vacuum Fluctuation

Operator $\varphi (x)$가 harmonic oscillator의 position operator 역할을 하기 때문에, 모든 $n_k$가 0인 ground state $|0⟩$에서 scalar field $\varphi (x)$의 기대값은 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①에서 본 것과 같이

$$⟨0|\varphi (x)|0⟩=0$$

그러나 harmonic oscillator에서 $X^2$의 기대값이 0이 아니었듯이, $(\varphi (x){)}^2$의 기대값도 0이 아니다.

$${\varphi }_k=\sqrt{\frac{\hslash }{2k}}(a_k+a_{-k}^{†})$$

와 위에서

$$\int (\varphi (x){)}^{2}dx=\int {\varphi }_k{\varphi }_k^{†}dk$$

로부터

$$\int ⟨0|(\varphi (x){)}^2|0⟩dx=\int \frac{\hslash }{2k}⟨0|a_k{a}_k^{†}|0⟩dk\ne 0$$

이므로 $⟨0|(\varphi (x){)}^2|0⟩$이 0이 아님을 알 수 있다. 따라서 scalar field의 표준편차는 0이 아니다.

모든 $n_k$가 0인 state는 공간에 photon이 없는 상태로 vacuum state라고 부른다. 고전적으로 photon이 없는 경우(즉, electromagnetic field의 energy가 0인 경우) field는 0이어야 한다. 그러나 양자역학적으로는 위에서 본 것과 같이 field가 평균적으로는 0이지만, 표준편차가 0이 아니므로 단 한번 측정을 하는 경우 photon이 없다고 하더라도 field가 0이 아닐 수 있다. 이를 아무 것도 없는 vacuum state에서 field가 평균적으로 0을 중심으로 생겼다 없어졌다 하는 것처럼 묘사를 하여 vacuum fluctuation(양자 요동)이라고 부른다. Vacuum fluctuation은 본질적으로 uncertainty principle의 결과로도 이해된다.