[양자역학] 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①

이번 페이지에서는 양자역학의 선형대수학적 구조를 가장 잘 표현할 수 있도록 wave function과 operator를 행렬로 표현할 것이다. 자세한 증명은 [선형대수학] 1.4 Coordinate Representation과 [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations 참고할 것.

#Matrix Representation of Wave Functions

wave function $f$가 Hamiltonian $H$의 eigenvector $|n⟩$

$$H|n⟩=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega |n⟩,n=0,1,2,3,\cdots$$

들로 다음과 같이 전개된다고 하자.

$$|f⟩=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_j|j⟩=f_0|0⟩+f_1|1⟩+f_2|2⟩+\cdots$$

그러면 $|f⟩$을 행렬로 다음과 같이 표현한다.

$$|f⟩⟶\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ ⋮\end{array}\right]$$

이 때, eigenvector들이 orthonormal한 경우

$$⟨n|m⟩={\delta }_{nm}$$

계수 $f_j$는 inner product로 표현될 수 있다.

$$f_j=⟨j|f⟩$$

따라서 행렬 표현도 inner product(또는 적분)으로도 표현할 수 있다.

THEOREM            Matrix Representations of Wave Functions

H의 eigenvector $|0⟩$, $|1⟩$, ..., $|n⟩$, ... 들이 서로 orthonormal한 경우

$$|f⟩⟶\left[\begin{array}{c}⟨0|f⟩\\ ⟨1|f⟩\\ ⟨2|f⟩\\ ⋮\end{array}\right]$$

#Matrix Representations of Wave Function Operations

Wave function들은 덧셈, 뺄셈, scalar multiplication이 가능하다.^[각주:1] Wave function $f$와 $g$가 다음과 같이 전개된다고 하자.

$$\begin{array}{rl}|f⟩& =\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_j|j⟩=f_0|0⟩+f_1|1⟩+f_2|2⟩+\cdots \\ |g⟩& =\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_j|j⟩=f_0|0⟩+g_1|1⟩+g_2|2⟩+\cdots \end{array}$$

그러면 $f$와 $g$의 덧셈은

$$|f⟩+|g⟩=(f_0+g_0)|0⟩+(f_1+g_1)|1⟩+(f_2+g_2)|2⟩+\cdots$$

이를 행렬로 표현하면,

$$|f⟩+|g⟩⟶\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ ⋮\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\\ ⋮\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_0+g_0\\ f_1+g_1\\ f_2+g_2\\ ⋮\end{array}\right]$$

즉, 단순한 행렬의 덧셈이 된다. 같은 방식으로 wave function의 뺄셈은 행렬의 뺄셈, scalar multiplication은 행렬의 scalar multiplication이 된다.

THEOREM            Matrix Representations of Wave Function Operations

$$\begin{array}{rlrlrl}|f⟩+|g⟩& & ⟶& & \left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ ⋮\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\\ ⋮\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}{f}_0+g_0\\ f_1+g_1\\ f_2+g_2\\ ⋮\end{array}\right]\\ \\ |f⟩-|g⟩& & ⟶& & \left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ ⋮\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\\ ⋮\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}{f}_0-g_0\\ f_1-g_1\\ f_2-g_2\\ ⋮\end{array}\right]\\ \\ c|f⟩& & ⟶& & c\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ ⋮\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}c{f}_0\\ c{f}_1\\ c{f}_2\\ ⋮\end{array}\right]\end{array}$$

#Matrix Representations of Inner Product

Eigenvector들은 서로 orthonormal하고

$$⟨n|m⟩={\delta }_{nm}$$

inner product가 2번째 wave function에 대하여 linear

$$⟨f|c\cdot g+\cdot h⟩=c⟨f|g⟩+⟨f|h⟩$$

1번째 wave function에 대하여는 antilinear

$$⟨c\cdot f+g|h⟩=c^{\ast }⟨f|h⟩+⟨f|h⟩$$

을 이용하면, wave function의 inner product를 행렬 표현에서 쉽게 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}|f⟩& =\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_j|j⟩=f_0|0⟩+f_1|1⟩+f_2|2⟩+\cdots \\ |g⟩& =\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_j|j⟩=f_0|0⟩+g_1|1⟩+g_2|2⟩+\cdots \end{array}$$

이면, $f$와 $g$의 inner product는 (표현이 복잡해지므로 inner product 안에서 eigenvector $|n⟩$ 대신 $\hat{\mathbf{n}}$으로 쓰겠다.)

$$\begin{array}{rl}⟨f|g⟩& =⟨f_0\cdot \hat{\mathbf{0}}+f_1\cdot \hat{\mathbf{1}}+f_2\cdot \hat{\mathbf{2}}+\cdots |g_0\cdot \hat{\mathbf{0}}+g_1\cdot \hat{\mathbf{1}}+g_2\cdot \hat{\mathbf{2}}+\cdots ⟩\\ \\ & =g_0⟨f_0\cdot \hat{\mathbf{0}}+f_1\cdot \hat{\mathbf{1}}+f_2\cdot \hat{\mathbf{2}}+\cdots |g_0\cdot \hat{\mathbf{0}}⟩+g_1⟨f_0\cdot \hat{\mathbf{0}}+f_1\cdot \hat{\mathbf{1}}+f_2\cdot \hat{\mathbf{2}}+\cdots |\hat{\mathbf{1}}⟩+\cdots \\ \\ & =f_0^{\ast }{g}_0⟨\hat{\mathbf{0}}|\hat{\mathbf{0}}⟩+f_1^{\ast }{g}_0⟨\hat{\mathbf{1}}|\hat{\mathbf{0}}⟩+f_2^{\ast }{g}_0⟨\hat{\mathbf{2}}|\hat{\mathbf{0}}⟩+\cdots +f_0^{\ast }{g}_1⟨\hat{\mathbf{1}}|\hat{\mathbf{0}}⟩+f_1^{\ast }{g}_1⟨\hat{\mathbf{1}}|\hat{\mathbf{0}}⟩+\cdots \\ \\ & =f_0^{\ast }{g}_0+f_1^{\ast }{g}_1+f_2^{\ast }{g}_2+\cdots \end{array}$$

이는 다음과 같이 행렬의 곱으로 압축할 수 있다.

THEOREM            Matrix Representations of Inner Product

H의 eigenvector $|0⟩$, $|1⟩$, ..., $|n⟩$, ... 들이 서로 orthonormal한 경우

$$⟨f|g⟩=\left[\begin{array}{cccc}{f}_0^{\ast }& f_1^{\ast }& f_2^{\ast }& \cdots \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\\ \cdots \end{array}\right]$$

행렬의 Hermitian adjoint를 다음과 같이 transpose conjugate로 정의하면

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots \\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots \\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]⟹A^{†}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\ast }& a_{21}^{\ast }& a_{31}^{\ast }& \cdots \\ a_{12}^{\ast }& a_{22}^{\ast }& a_{32}^{\ast }& \cdots \\ a_{13}^{\ast }& a_{23}^{\ast }& a_{33}^{\ast }& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

inner product는 다음과 같이 표현된다.

$$⟨f|g⟩={\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ \cdots \end{array}\right]}^{†}\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\\ \cdots \end{array}\right]$$

#Matrix Representations of Linear Operators

Linear operator은 wave function을 받아 wave function이 나오는 연산이므로, 임의의 linear operator $T$에 $j$번째 eigenvector $|j⟩$을 작용한 결과를 eigenvector로 전개할 수 있다.

$$T|j⟩=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{w}_n|n⟩=w_0|0⟩+w_1|1⟩+w_2|2⟩+\cdots$$

이를 이용해, $T$의 행렬 표현을 다음과 같이 구한다.

$$\begin{array}{}(j\mathrm{th}\mathrm{column})\\ T⟶\left[\begin{array}{ccc}& w_1& \\ & w_2& \\ \cdots & ⋮& \cdots \\ & w_m& \end{array}\right]\end{array}$$

이 때, 계수 $w_i$는 eigenvector와의 inner product

$$w_i=⟨i|T|j⟩$$

로 구할 수 있으므로 다음과 같은 결과를 얻는다.

THEOREM            Matrix Representations of Operators

H의 eigenvector $|0⟩$, $|1⟩$, ..., $|n⟩$, ... 들이 서로 orthonormal한 경우

$$T⟶\left[\begin{array}{cccc}⟨0|T|0⟩& ⟨0|T|1⟩& ⟨0|T|2⟩& \cdots \\ ⟨1|T|0⟩& ⟨1|T|1⟩& ⟨1|T|2⟩& \cdots \\ ⟨2|T|0⟩& ⟨2|T|1⟩& ⟨2|T|2⟩& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

그리고 operator를 wave function에 작용하는 것과 inner product를 다음과 같이 표현된다.

THEOREM           

 

Wave function $f$와 $g$의 행렬 표현을 $[f]$, $[g]$, linear operator $T$의 행렬 표현을 $[T]$라고 하면, linear operator 연산은 다음의 행렬의 식으로 표현된다.

$$\begin{array}{ccccc}T|f⟩& & ⟶& & [T][f]\\ ⟨f|T|g⟩& & ⟶& & [f{]}^{†}[T][g]\end{array}$$

Examples

1. Annihilation operator $a$와 creation operator $a^{†}$

3.5 Creation and Annihilation Operators에서 본 것과 같이 eigenvector $|j⟩$에 annihilation operator를 작용하면,

$$a|j⟩=\sqrt{j}|j-1⟩$$

이므로

$$⟨i|a|j⟩=\sqrt{j}⟨i|j-1⟩=\sqrt{j}{\delta }_{i,j-1}=\{\begin{array}{ccl}\sqrt{j}& ,& \text{if }i=j-1\\ 0& ,& \text{otherwise}\end{array}$$

따라서 $a$의 행렬 표현은

$$[a]=\left[\begin{array}{ccccc}⟨0|a|0⟩& ⟨0|a|1⟩& ⟨0|a|2⟩& ⟨0|a|3⟩& \cdots \\ ⟨1|a|0⟩& ⟨1|a|1⟩& ⟨1|a|2⟩& ⟨1|a|3⟩& \cdots \\ ⟨2|a|0⟩& ⟨2|a|1⟩& ⟨2|a|2⟩& ⟨2|a|3⟩& \cdots \\ ⟨3|a|0⟩& ⟨3|a|1⟩& ⟨3|a|2⟩& ⟨3|a|3⟩& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& \sqrt{2}& 0& \cdots \\ 0& 0& 0& \sqrt{3}& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

같은 방식으로

$$a^{†}|j⟩=\sqrt{j+1}|j+1⟩$$

따라서 $a^{†}$의 행렬 표현은

$$[a^{†}]=\left[\begin{array}{ccccc}⟨0|a^{†}|0⟩& ⟨0|a^{†}|1⟩& ⟨0|a^{†}|2⟩& ⟨0|a^{†}|3⟩& \cdots \\ ⟨1|a^{†}|0⟩& ⟨1|a^{†}|1⟩& ⟨1|a^{†}|2⟩& ⟨1|a^{†}|3⟩& \cdots \\ ⟨2|a^{†}|0⟩& ⟨2|a^{†}|1⟩& ⟨2|a^{†}|2⟩& ⟨2|a^{†}|3⟩& \cdots \\ ⟨3|a^{†}|0⟩& ⟨3|a^{†}|1⟩& ⟨3|a^{†}|2⟩& ⟨3|a^{†}|3⟩& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& \cdots \\ 1& 0& 0& 0& \cdots \\ 0& \sqrt{2}& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& \sqrt{3}& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

을 구할 수 있다. 또한

$$[a^{†}]=[a{]}^{†}$$

인데, 이는 일반적인 linear operator에서도 마찬가지이다.

THEOREM            Matrix Representation of Hermitian Adjoint

임의의 linear operator $T$에 대하여, $T$의 Hermitian adjoint의 행렬 표현은 $T$의 transpose conjugate이다.

$$[T^{†}]=[T{]}^{†}$$

2. Position operator $X$와 momentum operator $P$

Annihilation operator의 정의

$$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X+i\sqrt{\frac{1}{2m\hslash \omega }}P$$

로부터 $X$와 $P$의 행렬 표현을 쉽게 구할 수 있다.

$$\begin{array}{ccc}X& =& \sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})\\ P& =& i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}(a^{†}-a)\end{array}$$

이므로

$$\begin{array}{ccc}[X]& =& \sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& \cdots \\ 1& 0& \sqrt{2}& 0& \cdots \\ 0& \sqrt{2}& 0& \sqrt{3}& \cdots \\ 0& 0& \sqrt{3}& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]\\ \\ [P]& =& i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& 0& 0& \cdots \\ 1& 0& -\sqrt{2}& 0& \cdots \\ 0& \sqrt{2}& 0& -\sqrt{3}& \cdots \\ 0& 0& \sqrt{3}& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]\end{array}$$

3. Standard Deviation $\mathrm{\Delta }X$ of eigenvector $|n⟩$

$X$의 분산을 구하기 위해 $X^2$의 행렬을 구하면

$$[X^2]=[X][X]=\frac{\hslash }{2m\omega }\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& \sqrt{2}& 0& \cdots \\ 0& 3& 0& \sqrt{6}& \cdots \\ \sqrt{2}& 0& 5& 0& \cdots \\ 0& \sqrt{6}& 0& 7& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

따라서 

$$E[X^2]=⟨n|X^2|n⟩=\frac{\hslash }{2m\omega }(2n+1)$$

이므로

$$\text{Var}(X^2)=E[X^2]-(E[X]{)}^2=\frac{\hslash }{2m\omega }(2n+1)$$

따라서

$$\mathrm{\Delta }X=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }(n+\frac{1}{2})}$$

을 얻을 수 있다. 같은 방식으로

$$\mathrm{\Delta }P=\sqrt{m\hslash \omega (n+\frac{1}{2})}$$

그러므로 위치와 운동량의 표준편차의 곱은

$$(\mathrm{\Delta }X)(\mathrm{\Delta }P)=(n+\frac{1}{2})\hslash$$

$n$이 클수록 (즉, energy가 클수록) 위치와 운동량의 불확정성이 커진다는 것을 알 수 있다.

1. 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ② 참고. [본문으로]