[양자역학] 3.3 교환자 Commutator

이번 페이지에서는 앞으로 양자역학 이론의 전개에 필요한 수학적 개념인 commutator에 대하여 알아본다.

#Commutator of Operators

Commutator는 다음과 같이 정의된다.

DEFINITION            Commutator of Operators

 

wave function에 작용하는 operator $A$와 $B$에 대하여 다음의 연산을 $A$와 $B$의 commutator라고 한다.

$$[A,B]=AB-BA$$

이 연산을 정확히 이해하기 위해서 먼저 operator에 대해서 이해해야 한다. operator는 함수를 받아서 새로운 함수를 내놓는 연산을 말한다. 예를 들어, position operator $X$는 함수 $f$에 작용하여 원래 함수에 $x$를 곱한 함수 $x\cdot f(x)$가 된다.

$$X(f)=x\cdot f(x)$$

이러한 연산 중에서 양자역학에서 사용하는 operator는 linear operator이다.^[각주:1]

DEFINITION            Linear Operators

 

임의의 함수 $f$, $g$, 임의의 상수 $c$에 대하여, operator $L$이

$$\begin{array}{rl}L(f+g)& =L(f)+L(g)\\ L(c\cdot f)& =c\cdot L(f)\end{array}$$

인 경우 $L$을 linear operator라고 한다.

예를 들어, position operator $X$는 linear operator이다.

$$\begin{array}{rl}X(f+g)& =x\cdot (f+g)(x)\\ & =x\cdot (f(x)+g(x))\\ & =x\cdot f(x)+x\cdot g(x)\\ & =X(f)+X(g)\\ X(c\cdot f)& =x\cdot (c\cdot f(x))\\ & =c(xf(x))\\ & =c\cdot X(f)\end{array}$$

그러나 함수를 제곱하는 operator는 linear operator가 아니다.

$$(f(x)+g(x){)}^2\ne (f(x){)}^2+((g(x){)}^2$$

이제부터 특별한 언급이 없으면 operator는 linear operator로 가정한다.

operator 사이에도 $+$, $-$ 같은 연산이 가능하다. (자주 사용하진 않지만 $\times$, $÷$도 같은 방식으로 가능)

$$\begin{array}{rl}(A+B)(f)& =A(f)+B(f)\\ (A-B)(f)& =A(f)-B(f)\end{array}$$

예를 들어, operator $A$가 원래 함수에 $x$를 곱하는 연산이고, operator $B$는 원래 함수에 $-1$을 곱하는 연산이라고 하면,

$$(A+B)(f)=xf(x)+-1\cdot f(x)=(x-1)f(x)$$

이므로 새로운 operator $(A+B)$는 원래 함수에 $(x-1)$을 곱하는 연산이라고 할 수 있다. 그리고 scalar multiplication(상수곱)이 있다. 위의 예에서 $A$에 상수 5를 곱한 연산은

$$(5A)(f)=5\cdot A(f)=5\cdot xf(x)=5xf(x)$$

마지막으로 $AB$는 오른쪽부터 순서대로 함수에 작용하는 연산이다. 즉, $AB$는 원래 함수에 $B$부터 작용하고, 그 결과를 다시 $A$에 작용시키는 연산이다. (일종의 합성함수)

$$AB(f)=A(B(f))$$

따라서 operator $A$와 $B$의 commutator $[A,B]$ 역시 operator가 된다. 위의 예에서 $AB$는 $-x$를 곱하는 연산이 되고, $BA$도 $-x$를 곱하는 연산이 되므로 $[A,B]$는 어떤 함수가 들어와도 0이 된다. 즉, 모든 함수에 $B$를 먼저 작용하고 $A$를 작용한 결과와 먼저 $A$를 작용하고 $B$를 작용한 결과의 차이가 없다는 뜻이다.

DEFINITION            Commute Operators

 

Operator $A$와 $B$가 $[A,B]=0$인 경우, $A$와 $B$가 commute하다고 부른다.

얼핏 생각하기에는 operator의 작용 순서에 따라 차이가 없을 것 같지만, 아주 많은 operator쌍들은 commute하지 않다. 대표적인 예가 지금까지 살펴본 position operator $X$와 momentum operator $P$이다.

$$\begin{array}{rl}X(f)& =x\cdot f(x)\\ P(f)& =-i\hslash \frac{d}{dx}f(x)\end{array}$$

임의의 함수 $f$에 $XP$를 작용하면

$$XP(f)=X(P(f))=X(-i\hslash \frac{d}{dx}f(x))=-i\hslash x\frac{d}{dx}f(x)$$

그리고 $PX$를 작용하면

$$PX(f)=P(X(f))=P(x\cdot (f(x))=-i\hslash \frac{d}{dx}(x\cdot f(x))=-i\hslash f(x)-i\hslash x\frac{d}{dx}f(x)$$

이므로

$$(XP-PX)(f)=i\hslash f(x)$$

가 된다. 즉, $[X,P]$는 원래 함수에 $i\hslash$를 곱하는 연산이다.

DEFINITION            Identity Operator

임의의 함수에 대하여 자기 자신이 나오는 operator를 identity operator라 하고, $I$라고 쓴다.

$$I(f)=f(x)$$

따라서, $[X,P]=i\hslash I$를 얻는데 이를 first quantization이라고 부른다.

DEFINITION            First Quantization

$$[X,P]=i\hslash I$$

(보통 $I$를 생략해서 $[X,P]=i\hslash$라고 쓴다. 이 경우, $[X,P]$가 상수가 아니라 operator임을 기억하자.)

#Properties of Commutators

Commutator는 다음과 같은 성질을 가진다.

THEOREM            Properties of Commutators

1. Bilinearilty:

$$\begin{array}{rl}[A+B,C]& =[A,C]+[B,C]\\ [A,B+C]& =[A,B]+[A,C]\end{array}$$

2. Alternating:

$$[A,B]=-[B,A]$$

3. 

$$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$$

$$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$$

4. Jacobi Identity:

$$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$$

(증명)

1.

$$\begin{array}{rl}[A+B,C](f)& =((A+B)C)(f)-(C(A+B))(f)\\ & =(A+B)(C(f))-C((A+B)(f))\\ & =A(C(f))+B(C(f))-C(A(f)+B(f))\\ & =AC(f)+BC(f)-CA(f)-CB(f)\\ & =(AC-CA)(f)+(BC-CB)(f)\\ & =([A,C]+[B,C])(f)\end{array}$$

두번째도 같은 방식으로 증명할 수 있다.

2.

$$\begin{array}{rl}[A,B](f)& =(AB-BA)(f)\\ & =AB(f)-BA(f)\\ & =-(BA-AB)(f)\\ & =-[B,A](f)\end{array}$$

3.

$$\begin{array}{rl}[A,BC](f)& =(ABC-BCA)(f)\\ & =(ABC-BAC+BAC-BCA)(f)\\ & =(ABC-BAC)(f)+(BAC-BCA)(f)\\ & =(AB-BA)C(f)+B(AC-CA)(f)\\ & =([A,B]C+B[A,C])(f)\end{array}$$

4.

$$\begin{array}{rl}[A,[B,C]]& =[A,BC-CB]=ABC-ACB-BCA+CBA\\ [B,[C,A]]& =[B,CA-AC]=BCA-BAC-CAB+ACB\\ [C,[A,B]]& =[C,AB-BA]=CAB-CBA-ABC+BAC\end{array}$$

이므로

$$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$$

(증명끝)

1. Linear operator의 자세한 사항은 [선형대수학] 2.1 Linear Transformation 참고. [본문으로]