[양자역학] 3.3 교환자 Commutator

이번 페이지에서는 앞으로 양자역학 이론의 전개에 필요한 수학적 개념인 commutator에 대하여 알아본다.

#Commutator of Operators

Commutator는 다음과 같이 정의된다.

DEFINITION            Commutator of Operators

 

wave function에 작용하는 operator \(A\)와 \(B\)에 대하여 다음의 연산을 \(A\)와 \(B\)의 commutator라고 한다.

$$ [A,B] = AB - BA $$

이 연산을 정확히 이해하기 위해서 먼저 operator에 대해서 이해해야 한다. operator는 함수를 받아서 새로운 함수를 내놓는 연산을 말한다. 예를 들어, position operator \(X\)는 함수 \(f\)에 작용하여 원래 함수에 \(x\)를 곱한 함수 \(x\cdot f(x)\)가 된다.

$$ X(f) = x \cdot f(x) $$

이러한 연산 중에서 양자역학에서 사용하는 operator는 linear operator이다.^[각주:1]

DEFINITION            Linear Operators

 

임의의 함수 \(f\), \(g\), 임의의 상수 \(c\)에 대하여, operator \(L\)이

$$ \begin{align*} L(f+g) &= L(f) + L(g) \\ L(c\cdot f) &= c \cdot L(f) \end{align*} $$

인 경우 \(L\)을 linear operator라고 한다.

예를 들어, position operator \(X\)는 linear operator이다.

$$ \begin{align*} X(f+g) &= x\cdot(f+g)(x) \\ &= x\cdot (f(x)+g(x)) \\ &= x\cdot f(x) + x \cdot g(x) \\ &= X(f) + X(g) \\ X(c\cdot f) &= x \cdot (c \cdot f(x)) \\ &= c(xf(x)) \\ &= c\cdot X(f) \end{align*} $$

그러나 함수를 제곱하는 operator는 linear operator가 아니다.

$$ (f(x)+g(x))^2 \ne (f(x))^2 + ((g(x))^2 $$

이제부터 특별한 언급이 없으면 operator는 linear operator로 가정한다.

operator 사이에도 \(+\), \(-\) 같은 연산이 가능하다. (자주 사용하진 않지만 \(\times\), \(\div\)도 같은 방식으로 가능)

$$ \begin{align*} ( A + B )(f) &= A(f) + B(f) \\ (A-B)(f) &= A(f) - B(f) \end{align*}$$

예를 들어, operator \(A\)가 원래 함수에 \(x\)를 곱하는 연산이고, operator \(B\)는 원래 함수에 \(-1\)을 곱하는 연산이라고 하면,

$$ (A+B)(f) = x f(x) + -1 \cdot f(x) = (x -1) f(x) $$

이므로 새로운 operator \((A+B)\)는 원래 함수에 \((x -1)\)을 곱하는 연산이라고 할 수 있다. 그리고 scalar multiplication(상수곱)이 있다. 위의 예에서 \(A\)에 상수 5를 곱한 연산은

$$ (5A)(f) = 5 \cdot A(f) = 5\cdot xf(x) = 5xf(x) $$

마지막으로 \(AB\)는 오른쪽부터 순서대로 함수에 작용하는 연산이다. 즉, \(AB\)는 원래 함수에 \(B\)부터 작용하고, 그 결과를 다시 \(A\)에 작용시키는 연산이다. (일종의 합성함수)

$$ AB(f) = A(B(f)) $$

따라서 operator \(A\)와 \(B\)의 commutator \([A,B]\) 역시 operator가 된다. 위의 예에서 \(AB\)는 \(-x\)를 곱하는 연산이 되고, \(BA\)도 \(-x\)를 곱하는 연산이 되므로 \([A,B]\)는 어떤 함수가 들어와도 0이 된다. 즉, 모든 함수에 \(B\)를 먼저 작용하고 \(A\)를 작용한 결과와 먼저 \(A\)를 작용하고 \(B\)를 작용한 결과의 차이가 없다는 뜻이다.

DEFINITION            Commute Operators

 

Operator \(A\)와 \(B\)가 \([A,B]=0\)인 경우, \(A\)와 \(B\)가 commute하다고 부른다.

얼핏 생각하기에는 operator의 작용 순서에 따라 차이가 없을 것 같지만, 아주 많은 operator쌍들은 commute하지 않다. 대표적인 예가 지금까지 살펴본 position operator \(X\)와 momentum operator \(P\)이다.

$$ \begin{equation*} \begin{split} X(f) &= x \cdot f(x) \\ P(f) &= - i\hbar \frac{d}{dx}f(x) \end{split} \end{equation*} $$

임의의 함수 \(f\)에 \(XP\)를 작용하면

$$ XP(f) = X(P(f)) = X\left(-i\hbar\frac{d}{dx}f(x)\right) = -i \hbar x \frac{d}{dx}f(x) $$

그리고 \(PX\)를 작용하면

$$ PX(f) = P(X(f)) = P(x\cdot(f(x)) = -i\hbar \frac{d}{dx}(x\cdot f(x)) = -i\hbar f(x) - i\hbar x \frac{d}{dx}f(x) $$

이므로

$$ (XP-PX)(f) = i\hbar f(x) $$

가 된다. 즉, \([X,P]\)는 원래 함수에 \(i\hbar\)를 곱하는 연산이다.

DEFINITION            Identity Operator

임의의 함수에 대하여 자기 자신이 나오는 operator를 identity operator라 하고, \(I\)라고 쓴다.

$$ I(f) = f(x) $$

따라서, \([X,P]=i\hbar I\)를 얻는데 이를 first quantization이라고 부른다.

DEFINITION            First Quantization

$$ [X,P] = i \hbar I $$

(보통 \(I\)를 생략해서 \([X,P]=i\hbar\)라고 쓴다. 이 경우, \([X,P]\)가 상수가 아니라 operator임을 기억하자.)

#Properties of Commutators

Commutator는 다음과 같은 성질을 가진다.

THEOREM            Properties of Commutators

1. Bilinearilty:

$$ \begin{align*} [A+B,C] &= [A,C] + [B,C] \\ [A,B+C] &= [A,B] + [A,C] \end{align*} $$

2. Alternating:

$$ [A,B] = - [B,A] $$

3. 

$$ [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] $$

$$ [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B $$

4. Jacobi Identity:

$$ [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 $$

(증명)

1.

$$ \begin{align*} [A+B,C] (f) &= ((A+B)C)(f) - (C(A+B))(f) \\ &= (A+B)(C(f)) - C((A+B)(f)) \\ &= A(C(f))+B(C(f)) - C(A(f)+B(f)) \\ &= AC(f)+BC(f) - CA(f) - CB(f) \\ &= (AC-CA)(f) + (BC-CB)(f) \\ &= ([A,C] + [B,C])(f) \end{align*} $$

두번째도 같은 방식으로 증명할 수 있다.

2.

$$ \begin{align*} [A,B](f) &= (AB-BA)(f) \\ &= AB(f) - BA(f) \\ &= - (BA-AB)(f) \\ &= - [B,A](f) \end{align*} $$

3.

$$ \begin{align*} [A,BC](f) &= (ABC - BCA)(f) \\ &= (ABC - BAC + BAC - BCA) (f) \\ &= (ABC - BAC)(f) + (BAC - BCA)(f) \\ &= (AB-BA)C(f) + B(AC-CA)(f) \\ &= ([A,B]C + B[A,C])(f) \end{align*} $$

4.

$$ \begin{align*} [A,[B,C]] &= [A,BC-CB] = ABC-ACB-BCA+CBA \\ [B,[C,A]] &= [B,CA-AC] = BCA-BAC-CAB+ACB \\ [C,[A,B]] &= [C,AB-BA] = CAB-CBA-ABC+BAC \end{align*}$$

이므로

$$ [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 $$

(증명끝)

1. Linear operator의 자세한 사항은 [선형대수학] 2.1 Linear Transformation 참고. [본문으로]