[양자역학] 2.2-(2) Example: 양자 터널링 Quantum Tunnelling

이번 페이지에서는 finite potential 벽에 대하여 Schrodinger Equation을 풀어보고, 양자역학의 중요한 결론인 quantum tunnelling(양자 터널링)에 대하여 알아본다. finite potential 벽

$$ V(x) = \left\{ \begin{array}{ccl} V_0 & , & 0<x<a \\ 0 & , & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

에 대한 Schrodinger eqation을 정리하면,

① \(x\le 0\) 영역에서

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = -\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) $$

② \(0<x<a\) 영역에서

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = -\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\psi(x) $$

③ \(a\le x\) 영역에서

$$ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = -\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) $$

이 때, 우리가 관심있는 것은 energy \(E>0\)가 potential 벽 \(V_0\)보다 작은 상태로 입자가 \(x<0\) 영역에서 오른쪽으로 들어왔을 때이다. 따라서 위 식들의 해는

① \(x<0\) 영역에서

$$ \psi_1(x) = A e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x} + B e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x} $$

② \(0<x<a\) 영역에서

$$ \psi_2(x) = C e^{\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}x} + D e^{-\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}x} $$

③ \(a\le x\) 영역에서

$$ \psi_3(x) = E e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x} + F e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x} $$

그리고, Schrodinger equation은 2차 미분이 포함되어 있으므로 원 함수와 1차 미분이 영역의 경계에서 연속이어야 한다. 그러므로 boundary condition은

ⓐ \(x=0\)에서 연속:

$$ A + B = C +D $$

ⓑ \(x=0\)에서 1차 미분 연속:

$$ i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}A - i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}B = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}C - \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}D $$

ⓒ \(x=a\)에서 연속:

$$ e^{\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a}C + e^{-\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a}D = e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a}E + e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a}F $$

ⓓ \(x=a\)에서 1차 미분 연속:

$$ \frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar} e^{\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a} C - \frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar} e^{-\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a} D = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a} E - i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a} F $$

마지막으로 \(x<0\) 영역에서는 입사파와 반사파가 존재하자만, \(x>a\) 영역에서는 입사파만 있어야 하므로

ⓔ \(F=0\) 

물론 \(A=B=C=D=E=0\)의 해가 존재하지만, 그 외의 해도 존재한다. 특히 우리가 관심있는 값은

$$ \frac{E}{A} = \frac{\text{투과파}}{\text{입사파}} \text{의 비율} $$

이다. 이 연립방정식을 풀면,

$$ \frac{E}{A} = \frac{2e^{\left(-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a\right)} e^{\left(\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a\right)} \sqrt{2mE}\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\sqrt{2mE}\sqrt{2m(V_0 -E)}\left(1+e^{\left(2\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a\right)}\right) + i\left(2mE-mV_0\right)\left(1-e^{\left(2\frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}a\right)}\right)}$$

으로 투과파의 비율이 0이 아니라는 것을 알 수 있다.

고전역학적으로, 입자가 자신이 가진 에너지보다 더 높은 potential 벽을 만나면 그 벽을 넘어서 갈 수 없다. 그러나 위의 결과에서 볼 수 있듯이, 양자역학적으로는 입자의 에너지보다 더 높은 potential이 존재하더라도 이를 뚫고서 투과할 수 있는 확률이 존재한다. 이러한 현상을 quantum tunnelling(양자 터널링)이라고 부른다. 다음 그림은 wave packet이 자신의 에너지보다 더 높은 potential을 만났을 때 potential의 오른쪽에 아주 작은 확률로 통과하는 것을 볼 수 있다.

Becarlson / CC BY-SA via Wikimedia

이러한 quantum tunnelling을 실제로 응용하여 원자의 배열을 볼 수 있는데, 대표적으로 Scanning Tunneling Microscope(STM)이 있다.

Jubobroff / CC BY-SA via wikimedia