[양자역학] 2.2-(2) Example: 양자 터널링 Quantum Tunnelling

이번 페이지에서는 finite potential 벽에 대하여 Schrodinger Equation을 풀어보고, 양자역학의 중요한 결론인 quantum tunnelling(양자 터널링)에 대하여 알아본다. finite potential 벽

$$V(x)=\{\begin{array}{ccl}{V}_0& ,& 0<x<a\\ 0& ,& \text{otherwise}\end{array}$$

에 대한 Schrodinger eqation을 정리하면,

① $x\le 0$ 영역에서

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi (x)$$

② $0<x<a$ 영역에서

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=-\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}\psi (x)$$

③ $a\le x$ 영역에서

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi (x)$$

이 때, 우리가 관심있는 것은 energy $E>0$가 potential 벽 $V_0$보다 작은 상태로 입자가 $x<0$ 영역에서 오른쪽으로 들어왔을 때이다. 따라서 위 식들의 해는

① $x<0$ 영역에서

$${\psi }_1(x)=A{e}^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }x}+B{e}^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }x}$$

② $0<x<a$ 영역에서

$${\psi }_2(x)=C{e}^{\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }x}+D{e}^{-\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }x}$$

③ $a\le x$ 영역에서

$${\psi }_3(x)=E{e}^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }x}+F{e}^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }x}$$

그리고, Schrodinger equation은 2차 미분이 포함되어 있으므로 원 함수와 1차 미분이 영역의 경계에서 연속이어야 한다. 그러므로 boundary condition은

ⓐ $x=0$에서 연속:

$$A+B=C+D$$

ⓑ $x=0$에서 1차 미분 연속:

$$i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }A-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }B=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }C-\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }D$$

ⓒ $x=a$에서 연속:

$$e^{\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a}C+e^{-\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a}D=e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }a}E+e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }a}F$$

ⓓ $x=a$에서 1차 미분 연속:

$$\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }{e}^{\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a}C-\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }{e}^{-\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a}D=i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }{e}^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }a}E-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }{e}^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }a}F$$

마지막으로 $x<0$ 영역에서는 입사파와 반사파가 존재하자만, $x>a$ 영역에서는 입사파만 있어야 하므로

ⓔ $F=0$ 

물론 $A=B=C=D=E=0$의 해가 존재하지만, 그 외의 해도 존재한다. 특히 우리가 관심있는 값은

$$\frac{E}{A}=\frac{\text{투과파}}{\text{입사파}}\text{의 비율}$$

이다. 이 연립방정식을 풀면,

$$\frac{E}{A}=\frac{2e^{(-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }a)}{e}^{\left(\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a\right)}\sqrt{2mE}\sqrt{2m(V_0-E)}}{\sqrt{2mE}\sqrt{2m(V_0-E)}(1+e^{\left(2\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a\right)})+i(2mE-m{V}_0)(1-e^{\left(2\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }a\right)})}$$

으로 투과파의 비율이 0이 아니라는 것을 알 수 있다.

고전역학적으로, 입자가 자신이 가진 에너지보다 더 높은 potential 벽을 만나면 그 벽을 넘어서 갈 수 없다. 그러나 위의 결과에서 볼 수 있듯이, 양자역학적으로는 입자의 에너지보다 더 높은 potential이 존재하더라도 이를 뚫고서 투과할 수 있는 확률이 존재한다. 이러한 현상을 quantum tunnelling(양자 터널링)이라고 부른다. 다음 그림은 wave packet이 자신의 에너지보다 더 높은 potential을 만났을 때 potential의 오른쪽에 아주 작은 확률로 통과하는 것을 볼 수 있다.

Becarlson / CC BY-SA via Wikimedia

이러한 quantum tunnelling을 실제로 응용하여 원자의 배열을 볼 수 있는데, 대표적으로 Scanning Tunneling Microscope(STM)이 있다.

Jubobroff / CC BY-SA via wikimedia