[양자역학] 2.2 자유 입자 A Free Particle ①

이번 페이지에서는 모든 영역에서 potential이 0인 입자에 대하여 살펴본다. 이러한 입자를 free particle이라고 한다.

#1-dimensional Case

1차원의 경우 Hamiltonian은

$$ H = \frac{P^2}{2m} = -\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2}{dx^2} $$

이므로 Eigenvalue equation은

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E \psi(x) $$

가 된다. 이 식은 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①의 Eigenvalue equation과 똑같은 형태이다. 그러나 boundary condition이 다르다. Infinite potential well의 경우 boundary condition은 well의 끝에서 wave function이 0이라는 것이었으나 free particle에서는 boundary condition이 없다.

식을 정리하면,

$$ \frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = -\frac{2mE}{\hbar^2} \psi(x) $$

Infinite potential well과 같이 \(E<0\)인 경우에는 해가

$$ \psi(x) = Ae^{\pm\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}x} $$

가 되는데, 이 경우 \(x \to \infty\) 또는 \(x \to -\infty\)인 경우에 wave function이 무한대가 된다는 점에서 물리적으로 허락되지 않는다.

\(E>0\)인 경우에는, 식을 간단히 하기 위해

$$ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

를 정의해서, wave function이

$$ \psi(x) = \sin{kx} $$

$$ \psi(x) = \cos{kx} $$

가 된다. 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 설명한 것처럼, eigenvalue equation의 해는 basis vector들이므로, 해 자체가 중요한 것이 아니라 해들의 모임인

$$ \{ \sin{kx}, \cos{kx} \} $$

가 중요한 것이다. 그러나 이 페이지에서는 이 basis vector들 대신,

$$ \psi(x) = e^{\pm ikx} $$

를 사용하자. 즉, 임의의 wave function은 sin, cos으로 표현할 수 있고, 다른 basis를 사용하면, exponential로 표현할 수도 있다. 이 두 basis 사이의 변환은 Euler formula

$$ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $$

을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어, wave function

$$ f(x) = \sin{x} + 3 \cos{2x} $$

는 exponential로 표현하면,

$$ f(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} + \frac{3(e^{2ix}+e^{-2ix})}{2} = \frac{3}{2} e^{-2ix} + \frac{i}{2} e^{-ix} - \frac{i}{2} e^{ix} + \frac{3}{2} e^{2ix}$$

가 된다.

#Energy of Free Particle #Momentum of Free Particle

Eigenvalue equation의 해 \(e^{\pm ikx}\)를 구할 때, boundary condition에 특별한 제약이 없었으므로, \(k\)는 아무 값이나 될 수 있다. 따라서, \(E\)는 어떠한 양수 값도 가능하다. 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①에서는 boundary condition에 의하여 특별한 값의 \(E\)만 가능했다는 것과 비교하자. 이 둘의 차이는 potential well의 경우 특정한 영역으로 입자의 위치 제한되어 있고, free particle의 경우 입자가 갇혀있지 않고 아무데로 이동할 수 있다는 것이다. 보통, 입자의 위치가 특정한 영역으로 제한된 경우 \(E\)가 양자화되고, 제한되지 않는 경우 \(E\)는 연속적인 스펙트럼을 보인다.

이제 basis vector \(e^{\pm ikx}\)에 momentum operator \(P=-i\hbar \frac{d}{dx}\)를 적용해보자.

$$ -i\hbar\frac{d}{dx}e^{\pm ikx} = \pm \hbar k e^{\pm ikx} $$

따라서, basis vector는 \(P\)의 eigenvector가 되고, 이 때 eigenvalue는 \(\pm \hbar k\)이다. 즉,

$$ \begin{array}{ll} e^{ikx} & \text{: momentum } \hbar k \\ e^{-ikx} & \text{: momentum } -\hbar k \end{array} $$

\(k>0\)이므로 각각 오른쪽으로 이동하는 입자, 왼쪽으로 이동하는 입자를 표현한다. 보통은 \(k\)를 음수까지로 확장하여 \(e^{ikx}\) 하나만 사용한다. momentum값 \(p\)를 직접이용하여, eigenvector를 \(e^{\frac{i}{\hbar}px}\)로 표현할 수도 있다.

하나의 energy값 \(E\)에 대하여, 가능한 basis vector는 \(e^{ix\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}\)와 \(e^{-ix\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}\) 이렇게 2개가 가능하다. 이렇게 하나의 energy 값에 대응되는 basis vector가 1개가 아니라 여러개인 경우, energy level이 degenerate(축퇴)되어있다고 하고 그 개수를 degeneracy라고 부른다.

Basis vector를 sin, cos으로 하는 경우에는 momentum operator의 eigenvector가 되지 않는다. 즉, sin, cos를 basis로 하는 경우에는 energy에 대해서만 eigenvector가 되지만, exponential로 표현하는 경우에는 energy와 momentum 동시에 eigenvector가 된다. 그렇다면, 항상 energy와 momentum 동시에 eigenvector가 되는 basis가 존재하는가? 또는 energy와 다른 물리량 A에 동시에 eigenvector가 되는 basis가 존재하는가? 이에 대한 내용은 4.2 동시 측정 Simultaneous Measurements: Compatible Observables에서 자세히 알아본다.

#3-dimensional Case #Plane Wave

3차원의 경우 Hamiltonian은

$$ H = \frac{P^2}{2m} = \frac{1}{2m}(P_x ^2 + P_y ^2 + P_z ^2 ) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^2}{dy^2} + \frac{d^2}{dz^2} \right) $$

이므로 eigenvalue equation은

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^2}{dy^2} + \frac{d^2}{dz^2} \right) \psi(x,y,z) = E \psi(x,y,z) $$

이를 separation of variables를 이용하면

$$ \psi(x,y,z) = e^{ik_x x}e^{ik_y y} e^{ik_z z} ~~~~~\text{where } k_x , k_y, k_z = \pm 1 , \pm2 , \cdots $$

이를 더 간단히 표현하기 위해서 \(\vec{k}\)를 다음과 같이 정의하자.

$$ \vec{k} = (k_x,k_y,k_z) $$

그러면 eigenvector는

$$ \psi(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} $$

이 된다. 이 때, energy는

$$ E = \hbar^2 (k_x ^2 + k_y ^2 + k_z ^2) $$

그리고 momentum을 구하기 위해 momentum operator \(\vec{P} = P_x \hat{x} + P_y \hat{y} + P_z \hat{z}\)를 적용하면,

$$ \vec{p} = \hbar \vec{k} $$

임을 알 수 있다. 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ④에서 살펴본 시간에 대한 변화를 고려하면, eigenvector는

$$ \psi(\vec{r},t) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} e^{-\frac{i}{\hbar}Et} = e^{i\left(\vec{k} \cdot \vec{r} - \frac{E}{\hbar} t\right)} $$

가 된다. 이 형태는 --em,plane wave--에서 살펴본 electromagnetic field의 plane wave와 똑같은 형태다. 따라서 free particle의 Hamiltonian에 대한 eigenvector를 plane wave라고 부르기도 한다.