[양자역학] 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation

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4. State vector $|\psi ⟩$ 은 시간에 대하여 Schrödinger equation을 따른다. ( $H$ 는 시스템의 Hamiltonian operator)

$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi ⟩=H|\psi ⟩$$

물리학의 궁극적인 목표는 시간 $t_0$ 에서 어떤 물리적 시스템이 주어져 있을 때, 이 시스템이 시간에 따라서 어떻게 변하는지 구하는 것이다. 고전역학에서는 $t_0$ 에서 phase space의 좌표 $(x_0,p_0)$ 와 Hamiltonian $\mathcal{H}(x,p)$가 주어졌을 때, 그 시스템은 Hamilton equation

$$\begin{array}{rcl}\dot{x}& =& \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}\\ \\ \dot{p}& =& -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}\end{array}$$

의 solution을 따르게 된다. 같은 방식으로 양자역학에서는 Schrödinger equation의 solution을 따른다.

#Time Independent Schrödinger equation

특별히 시간에 대하여 explicit하게 표현되지 않는 Hamiltonian operator $H$ 를 가정하자. 이를 Hamiltonian operator가 시간에 independent하다고 부른다. 또한 $H$의 모든 eigenvalue $E_j$ 와 eigenvector $|E_j⟩$ 을 알고있다고 가정한다. 이 때, Hamiltonian operator는 시간에 따라서 변하지 않기 때문에 eigenvalue들과 eigenvector들도 시간에 따라서 변하지 않는다.

이제 일반적인 state vector $|\psi ⟩$ 은 orthonormal basis들의 linear combination으로 표현하면

$$|\psi ⟩=\sum _j{a}_j|E_j⟩$$

만약 $|\psi ⟩$ 가 시간에 대하여 변화한다면, eigenvector들은 시간에 대하여 변하지 않기 때문에, 계수 $a_j$가 시간에 대하여 변한다는 것을 알 수 있다. 따라서 Schrödinger equation은

$$\begin{array}{rcl}i\hslash \frac{d}{dt}|\psi ⟩& =& i\hslash \sum _j\left(\frac{d{a}_j}{dt}\right)|E_j⟩\\ \\ & =& \sum _j{a}_j{E}_j|E_j⟩=H\left(\sum _j{a}_j|E_j⟩\right)=H|\psi ⟩\end{array}$$

정리하면,

$$\sum _j[i\hslash \frac{d{a}_j}{dt}-E_j{a}_j]|E_j⟩=0$$

이 때, eigenvector들은 basis가 되므로 서로 linearly independent하므로 결국 앞에 곱해진 계수가 모두 0이어야 한다.

$$i\hslash \frac{d{a}_j}{dt}-E_j{a}_j=0$$

이 식의 solution은

$$a_j(t)=a_j(0)e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{j}t}$$

가 된다. 따라서 시간 $t=0$ 에서 state vector 

$$|\psi (0)⟩=\sum _j{a}_j(0)|E_j⟩$$

를 완전히 알고 있다면 (즉, $a_j(0)$ 를 완전히 알고 있다면)

$$|\psi (t)⟩=\sum _j{a}_j(t)|E_j⟩=\sum _j{a}_j(0)e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{j}t}|E_j⟩$$

로 시스템이 시간에 따라 어떻게 변하는지 완전히 기술된다.

따라서 Hamiltonian operator $H$ 가 시간에 independent한 경우, 가장 핵심이 되는 것은 $H$ 의 모든 eigenvalue와 eigenvector를 구하는 것이 된다.

$$H|E_j⟩=E_j|E_j⟩$$

이 eigenvalue equation을 time independent Schrödinger equation이라고 부른다.