[양자역학] 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation

(공백)

4. State vector \(\left| \psi \right\rangle\) 은 시간에 대하여 Schrödinger equation을 따른다. ( \(H\) 는 시스템의 Hamiltonian operator)

$$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \right\rangle = H \left| \psi \right\rangle $$

물리학의 궁극적인 목표는 시간 \(t_0\) 에서 어떤 물리적 시스템이 주어져 있을 때, 이 시스템이 시간에 따라서 어떻게 변하는지 구하는 것이다. 고전역학에서는 \(t_0\) 에서 phase space의 좌표 \((x_0,p_0)\) 와 Hamiltonian \(\mathcal{H}(x,p)\)가 주어졌을 때, 그 시스템은 Hamilton equation

$$ \begin{eqnarray*} \dot{x} & = & \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} \\ \\ \dot{p} & = & -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} \end{eqnarray*} $$

의 solution을 따르게 된다. 같은 방식으로 양자역학에서는 Schrödinger equation의 solution을 따른다.

#Time Independent Schrödinger equation

특별히 시간에 대하여 explicit하게 표현되지 않는 Hamiltonian operator \(H\) 를 가정하자. 이를 Hamiltonian operator가 시간에 independent하다고 부른다. 또한 \(H\)의 모든 eigenvalue \(E_j\) 와 eigenvector \(\left| E_j \right\rangle\) 을 알고있다고 가정한다. 이 때, Hamiltonian operator는 시간에 따라서 변하지 않기 때문에 eigenvalue들과 eigenvector들도 시간에 따라서 변하지 않는다.

이제 일반적인 state vector \(\left| \psi \right\rangle\) 은 orthonormal basis들의 linear combination으로 표현하면

$$ \left| \psi \right\rangle = \sum _j a_j ~\left| E_j \right\rangle $$

만약 \(\left| \psi \right\rangle\) 가 시간에 대하여 변화한다면, eigenvector들은 시간에 대하여 변하지 않기 때문에, 계수 \(a_j\)가 시간에 대하여 변한다는 것을 알 수 있다. 따라서 Schrödinger equation은

$$ \begin{eqnarray*} i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \right\rangle & = & i\hbar \sum_j \left(\frac{d a_j}{dt}\right) \left| E_j \right\rangle \\ \\ & = & \sum_j a_j E_j \left| E_j \right\rangle = H \left( \sum_j a_j \left| E_j \right\rangle \right) = H \left| \psi \right\rangle \end{eqnarray*} $$

정리하면,

$$ \sum_j \left[ i\hbar \frac{da_j}{dt} - E_j a_j \right] \left| E_j \right\rangle = 0 $$

이 때, eigenvector들은 basis가 되므로 서로 linearly independent하므로 결국 앞에 곱해진 계수가 모두 0이어야 한다.

$$ i\hbar \frac{da_j}{dt} - E_j a_j = 0 $$

이 식의 solution은

$$ a_j(t) = a_j(0) ~e^{-\frac{i}{\hbar} E_j t} $$

가 된다. 따라서 시간 \(t=0\) 에서 state vector 

$$ \left| \psi (0) \right\rangle = \sum _j a_j (0) ~\left| E_j \right\rangle $$

를 완전히 알고 있다면 (즉, \(a_j(0)\) 를 완전히 알고 있다면)

$$ \left| \psi (t) \right\rangle = \sum _j a_j (t) ~\left| E_j \right\rangle = \sum _j a_j (0)~e^{-\frac{i}{\hbar} E_j t} ~\left| E_j \right\rangle $$

로 시스템이 시간에 따라 어떻게 변하는지 완전히 기술된다.

따라서 Hamiltonian operator \(H\) 가 시간에 independent한 경우, 가장 핵심이 되는 것은 \(H\) 의 모든 eigenvalue와 eigenvector를 구하는 것이 된다.

$$ H \left| E_j \right\rangle = E_j \left| E_j \right\rangle $$

이 eigenvalue equation을 time independent Schrödinger equation이라고 부른다.