[양자역학] 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions

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2. 물리적인 값의 측정은 hermitian operator로 표현되며, 측정값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다.

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Hermitian operator는 inner product를 이용하여 정의되는 linear operator이다.^[각주:1] Hermitian operator의 eigenvalue는 항상 실수값을 갖는다. 따라서 두번째 공리는 물리적 측정값은 항상 실수값으로 나온다는 뜻이 된다.

Hermitian operator의 또 다른 특징은 eigenvector들이 vector space의 basis를 이룬다는 것이다.^[각주:2] 즉, Hermitian operator는 diagonalizable하다.^[각주:3] 양자역학에서는 Hamiltonian operator나 momentum operator 등에 대한 eigenvector들을 구하여 basis를 만들고 이를 활용할 것이다.

#First Quantization

마지막으로 남은 문제는 observable을 어떤 operator에 대응시킬 것인가 이다. 고전역학의 Hamiltonian mechanics에서 observable은 generalized position과 generalized momentum의 함수로 표현된다. 양자역학에서는 이를 이용해, 가장 기본적인 Hermitian operator로 position operator와 momentum operator를 가정하고, 고전역학에서 Poisson bracket^[각주:4]으로 나타나는 observable 사이의 구조를 양자역학에서는 commutator로 나타내고 그 구조를 그대로 유지한다.

DEFINITION            Commutator of Observables

Observable \(A\) , \(B\) 에 대하여 \(A\) 와 \(B\) 의 comutator를 다음과 같이 정의한다.

$$ [A,B] = AB - BA $$

고전역학의 Poisson bracket이 가지는 특징들(bilinearity, alternating, Jacobi identity) 모두 commutator에도 적용된다.

THEOREM            Properties of Commutator

 

1. Bilinearity :

$$ \begin{eqnarray*} [A+B,C] & = & [A,C] + [B,C] \\ \\ [A,B+C] &= & [A,B] + [A,C] \end{eqnarray*} $$

2. Alternating:

$$ [A,B]=-[B,A] $$

3. Jacobi identity:

$$ [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0 $$

4. $$[A,BC] = [A,B]C + B[A,C] $$

Poisson bracket \( \left\{ \cdot,\cdot \right\}\) 을 \(\frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]\) 으로 바꾸는 과정을 통해 observable의 operator가 얻어진다. 이를 이용하면, Hamiltonian mechanics의 결론 중 하나인 \( \left\{ x , p \right\} = 1 \) 으로부터 다음과 같은 양자역학의 기본 구조로 바뀐다.

DEFINITION            First Quantization

Position operator \(X\) 와 momentum operator \(P\) 는 다음의 관계를 가진다.^[각주:5]

$$ [X,P] = i\hbar I $$

보통 identity operator를 생략하여 다음과 같이 표현한다.

$$ [X,P] = i\hbar $$

이 관계를 만족하는 operator 쌍으로 다음과 같이 적분으로 정의되는 연산이 있다.

$$ \begin{eqnarray*} \left\langle g \right| X \left| f \right\rangle & = & \int _{\mathbb{R}} xg^*(x)f(x)~dx \\ \\ \left\langle g \right| P \left| f \right\rangle & = & -i\hbar \int _{\mathbb{R}} g^*(x) \frac{df}{dx}(x) ~dx \end{eqnarray*} $$

양자역학 이론에서는 이 operator들을 position operator와 momentum operator로 정의한다. (필요에 따라서 다르게 정의할 수 있다.)

#Eigenvectors of Position Operator #Eigenvectors of Momentum Operator

이제 \(X\) 의 eigenvalue를 \(a\) , eigenvector를 \(\left| a \right\rangle\) 라고 하자. Eigenvector가 어떤 형태인지 살펴보기 위하여, 임의의 vector \(\left| f \right\rangle\) 와 inner product를 해보면,

$$ \left\langle f \right| X \left| a \right\rangle = \int_{\mathbb{R}} x f^*(x)u(x) dx = a \int_{\mathbb{R}} f^*(x) u(x) dx = a \left\langle f \right| \left. a \right\rangle $$

이러한 식을 만족하는 것은

$$ u(x) = \delta (x-a) $$

이다. 따라서, \(\left| f \right\rangle\) 와  \(\left| a \right\rangle\) 의 inner product는

$$ \left\langle a \right| \left. f \right\rangle = \int _{\mathbb{R}} \delta (x-a) f(x) ~dx = f(a) $$

즉, 위치 \(a\) 에서 함수 \(f\) 의 값이 된다. 보통 텍스트북에서는 eigenvalue를 \(x\) 로 사용하여

$$ \left\langle x \right| \left. f \right\rangle = \int _{\mathbb{R}} \delta (x-x')f(x') ~dx' = f(x) $$

로 쓰고, \(\left\langle x \right| \left. f \right\rangle\) 를 position space에서의 wave function 또는 그냥 wave function이라고 부른다.

이렇게 부르는 이유는 \(P\) 의 eigenvector를 살펴볼 때 더 명확해 진다. \(P\) 의 eigenvalue를 \(p\) , eigenvector를 \(\left| p \right\rangle\) 라고 하자. 같은 방식으로

$$ \left\langle f \right| P \left| p \right\rangle = -i\hbar \int_{\mathbb{R}} f^*(x) \frac{d}{dt}k(x) dx = p \int_{\mathbb{R}} f^*(x) k(x) dx = p \left\langle f \right|  \left. p \right\rangle $$

이러한 식을 만족하는 함수는

$$ k(x) = e^{\frac{i}{\hbar}px} $$

이다. 따라서, \(\left| f \right\rangle\) 와  \(\left| p \right\rangle\) 의 inner product는

$$ \left\langle p \right| \left. f \right\rangle = \int_{\mathbb{R}} e^{-\frac{i}{\hbar}px}f(x)~dx $$

즉, 함수 \(f(x)\) 의 Fourier transform이 된다. 보통 Fourier transform을 \(k\) space에서의 함수 표현이라고 하는 것처럼, 양자역학에서는 momentum space에서의 wave function이라고 부른다. Position space에서의 wave function은 여기에 대칭적으로 붙은 이름이다.

#Function Expressions of Position and Momentum Operators

vector \(\left| f \right\rangle\) 이 함수 \(f(x)\) 를 나타낸다면, position operator를 적용한 \(X\left| f \right\rangle\) 그리고 momentum operator를 적용한 \(P\left| f \right\rangle\) 은 어떤 함수를 나타내는 것일까? 그러나 \(X\) 와 \(P\)는 위와 같이 정의되어 있기 때문에, \(X\left| f \right\rangle\) 를 생각하는 것은 어렵다. 대신

$$ \left\langle x | f \right\rangle = f(x) $$

라는 것을 이용해, \( \left\langle x \right| X \left| f \right\rangle \) 그리고 \( \left\langle x \right| P \left| f \right\rangle \) 를 살펴보면

$$ \begin{eqnarray*} \left\langle x \right| X \left| f \right\rangle & = & \int _{\mathbb{R}} x' \delta(x-x') f(x') ~dx' = xf(x) \\ \\ \left\langle x \right| P \left| f \right\rangle & = & -i\hbar \int _{\mathbb{R}} \delta(x-x') \frac{df}{dx'} ~dx' = -i\hbar \frac{df}{dx} \end{eqnarray*} $$

따라서 보통 \(X\left| f \right\rangle\) 는 함수 \(xf(x)\) , \(P\left| f \right\rangle\) 는 함수 \(-i\hbar \frac{df}{dx}\) 로 나타내기도 한다. 

Useful Relations

Spectral theory에 의하면, \(X\) 와 \(P\) 의 eigenvector \(\left| x \right\rangle\) 와 \(\left| p \right\rangle\) 들은 다음과 같은 관계가 성립한다.

THEOREM            (Some Results of Spectral Theory)

1. orthonormal:

$$ \begin{eqnarray*} \left\langle x | x' \right\rangle & = & \delta(x-x') \\ \\ \left\langle p | p' \right\rangle & = & \delta(p-p') \end{eqnarray*} $$

2. identity operator:

$$ \begin{eqnarray*} \left\langle f | g \right\rangle & = & \int_{\mathbb{R}} \left\langle f | x' \right\rangle \left\langle x' | g \right\rangle ~dx' \\ \\ \left\langle f | g \right\rangle & = & \int_{\mathbb{R}} \left\langle f | p' \right\rangle \left\langle p' | g \right\rangle ~dp' \end{eqnarray*} $$

3. spectral theorem:

$$ \begin{eqnarray*} \left\langle f \right| X \left| g \right\rangle & = & \int_{\mathbb{R}} x' \left\langle f | x' \right\rangle \left\langle x' | g \right\rangle ~dx' \\ \\ \left\langle f \right| P \left| g \right\rangle & = & \int_{\mathbb{R}} p' \left\langle f | p' \right\rangle \left\langle p' | g \right\rangle ~dp' \end{eqnarray*} $$

2번의 관계를

$$ \left\langle f | g \right\rangle = \int_{\mathbb{R}} \left\langle f | x' \right\rangle \left\langle x' | g \right\rangle ~dx' = \left\langle f \right| \left( \int _{\mathbb{R}} \left| x' \right\rangle \left\langle x' \right| ~dx' \right) \left| g \right\rangle $$

처럼 정리를 해서

$$ \int _{\mathbb{R}} \left| x' \right\rangle \left\langle x' \right| ~dx' = I $$

( \(I\) 는 identity operator)로 쓰기도 한다. 이를 completeness relation이라고 부르기도 한다.

3번의 관계도 같은 방식으로 정리를 하면,

$$ \int _{\mathbb{R}} \left| x' \right\rangle x' \left\langle x' \right| ~dx' = X $$

가 된다.

#General Observables

일반적인 물리적 측정은 고전역학에서 generalized position \(x\) 와 generalized momentum \(p\) 의 함수로 표현된다. 예를 들어, 운동에너지는

$$ K(x,p) = \frac{p^2}{2m} $$

과 같이 표현된다. 양자역학에서는 고전역학의 함수에 있는 \(x\) 와 \(p\)를 position operator \(X\) 와 momentum operator \(P\) 로 바꾼 operator로 표현한다. 예를 들어, 운동에너지는

$$ K(X,P) = \frac{P^2}{2m} $$

이 된다. 만약, state vector \(\left| f \right\rangle\) 이 함수 \(\sin{(kx)}\) 를 나타낸다고 하면,

$$ \left\langle x \right| K \left| f \right\rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \sin{(kx)} = \frac{\hbar^2k^2}{2m} \sin{(kx)} $$

임을 알 수 있다. 따라서, \(\left| f \right\rangle\) 는 eigenvector가 되고 eigenvalue는 \(\frac{\hbar^2k^2}{2m}\) 가 된다.

Critical Problems

이렇게 observable을 classical mechanics의 함수에서 hermitian operator로 바꾸는 과정에서 생기는 문제가 존재한다. 고전역학의 observable \(xp\) 는 양자역학에서 \(XP\) 로 되어야 하는지 아니면 \(PX\) 로 되어야 하는지 말해주는 바가 없다. 이 두 operator는 first quantization에 따라 \(i\hbar\) 만큼 값에 차이를 보인다. 또다른 문제점으로는 first quantization을 만족하는 operator 쌍이 여러 가지가 있다는 것이다. 그 중에서 어떤 것을 선택해야 하는지 역시 말해주는 바가 없다.

1. Hermitian operator의 정의는 [선형대수학] 4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators) 참고. [본문으로]
2. Hermitian operator의 eigenvector들이 basis가 되는 것에 대한 내용은 [선형대수학] 4.7 Normal Operator 참고. [본문으로]
3. Operator의 diagonalizable에 대한 자세한 내용은 [선형대수학] 3.2 Diagonalizable Operators 참고. [본문으로]
4. Poisson bracket의 정의는 --classical, poisson bracket-- 참고. [본문으로]
5. \\(I\\) 는 identity operator [본문으로]