[양자역학] PRE. Mathematical Introduction

양자역학을 배우는 방식은 교재마다, 역사적인 순서를 따라 흑체 복사, 광전 효과, 파동-입자 이중성, 보어 모형, 슈뢰딩거 방정식을 순차적으로 소개하는 방식을 선택하기도 하고, 양자역학의 공리로부터 이론을 전개하는 방식을 선택하기도 한다. 주로 역사적인 순서를 따르는 방식은 양자역학의 특이한 현상을 소개하고 설명하기에는 유리하지만, 이론 자체를 이해하기에는 공리로부터 시작하는 것이 더 유리하다. 

본 블로그에서는 양자역학의 공리에서 시작하여 쉬운 모형부터 점차 어려운 모형까지 살펴볼 것이다. 본격적인 논의에 들어가기에 앞서, 양자역학의 이론을 전개하기 위해서는 선형대수학 개념들이 필요하다. 특히 양자역학에서 중요한 개념들을 아래에 소개한다.

1. Vector, Basis Expansion, Matrix Representation

          1.1 Vector Space

          1.2 Linearly Independent

          1.3 Basis, Dimension

          1.4 Coordinate Representation

2. Linear Operator, Matrix Representation

          2.1 Linear Transformation

          2.2 The Set of Linear Transformations

          2.4 Dual Space

          2.5 Representations of Linear Transformations

3. Eigenvalue, Eigenspace, Diagonalizable

          3.1 Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace

          3.2 Diagonalizable Operators

          3.3 Direct Sum Decomposition

          3.5 Simultaneously Diagonalizable, Commutator

4. Inner Product, Orthonormal Basis, Hermitian, Unitary, Spectral Theorem

          4.1 Inner Product Space

          4.2 Norm

          4.3 Orthogonality, Gram-Schmidt Process

          4.4 Hermitian Adjoint of Operators

          4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators)

          4.6 Isometry, Unitary Operator

          4.7 Normal Operators

(Additional) Hilbert Space, Orthogonal Polynomials

          5.3 \(L^2\) Space

          5.6 Classical Orthogonal Polynomials