공간벡터의 내적은 기하학적으로 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도와 관련이 있다.
그러나 일반적인 vector space에서는 직접 vector의 길이라는 것을 생각하기 어렵다. 예를 들어,
에서 길이라는 것을 상상하기 힘들다. 만약 vector space에 inner product가 정의된 경우 공간벡터에서 내적과 길이의 관계를 이용하여 길이에 대응하는 개념을 정의할 수 있을 것이다.
Norm
Inner product space
를
Inner product로부터 유도된 norm은 다음과 같은 특징을 가진다.
1.
2.
3.
공간벡터의 길이는 피타고라스의 정리로부터
이므로 이전 페이지에서 본
로부터 유도된 norm이다. 그러므로 공간벡터의 길이는 위의 3가지 특징을 모두 만족한다. 공간벡터의 길이와 관련된 대부분의 특성들은 피타고라스의 정리로부터 유도할 수도 있지만, 위의 특징들로부터 도출할 수도 있다. 따라서 일반적인 vector space에서 공간벡터의 길이에 대응되는 개념은 위의 특징을 이용하여 정의한다.
Vector space
1. Absolute homogenity :
2. Triangle inequality :
3.
를 만족하면
Inner product로부터 유도된 길이의 개념 역시 norm의 일종임을 확인 할 수 있다. Norm은 inner product와는 독립적인 개념으로 inner product가 정의되지 않더라도 norm을 정의할 수 있다. 다만 inner product가 정의된 경우 inner product를 이용하여 norm을 유도할 수 있다. Inner product와 마찬가지로 norm 역시 하나의 vector space에 정의될 수 있는 가능한 방법이 여러 가지가 있다.
Examples
1. Euclidean norm
의 inner product는
로부터 norm
를 유도할 수 있다. Complex Euclidean space
로부터
2.
는
로 정의된다. 이를 maximum norm이라고 한다. 아래 그림은
CC-BY-SA-3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=678101
3.
로부터 vector space가 된다. 이를
는
를 특별히 Minkowski inequality라고 부른다. Norm 정의의 3번째 조건도
4. Norm of Linear operator
Normed space
는
은 위와 동일한 정의이다.
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