(선형대수학) 4.1 Inner Product Space

공간 벡터의 기본 연산으로 벡터 사이의 덧셈과 숫자와의 곱셈 외에도 벡터와 벡터의 곱도 있다. 벡터와 벡터를 연산하여 숫자를 얻는 내적과 벡터와 벡터의 연산으로 다른 벡터를 얻는 외적이 그것이다. 이 페이지에서는 내적에 대하여 살펴볼 것이다.

 

 

Inner Product

 

공간 벡터

$$ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) $$

$$ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) $$

의 내적은

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 $$

로 정의된다. 공간 벡터의 내적은 다음과 같은 성질을 가진다.

 

1. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)

 

2. \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)

 

3. \((k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)

 

4. \(\vec{a}\cdot\vec{a}\ge 0\)

 

5. \(\vec{a}\cdot\vec{a}=0 ~\Longleftrightarrow \vec{a}=\vec{0}\)

 

이러한 성질을 가진 벡터 연산을 일반적인 vector space에도 정의할 수 있다. Vector space를 정의할 때 공간 벡터들의 성질을 정의로 하였듯이 내적 역시 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)와 같은 식이 아닌 공간 벡터 내적의 성질을 가진 것들은 모두 내적으로 정의로 한다. 다만 scalar가 complex number일 경우 \(i\vec{a}\)를 자신과 내적 하면

$$ (i\vec{a})\cdot(i\vec{a})=i^2(\vec{a}\cdot\vec{a})=-\vec{a}\cdot\vec{a} $$

4 번째 성질에 의해 좌변은 양수가 되나 우변은 음수가 되어 모순이 생긴다. 그러므로 벡터의 내적이 일반적인 vector space에서 정의될 때는 약간 확장되어 정의된다.

(이후 scalar는 특별하지 않은 경우 complex number로 생각할 것이다. Complex number \(c\)에 대하여 \(\overline{c}\)는 complex conjugate를 나타낸다. 물리에서는 보통 \(c^*\)를 사용하지만 수학에서는 \(\overline{c}\)를 사용한다. 또한 matrix \(A\)에 대하여 \(A^*\)는 conjugate transpose를 나타낸다. 물리에서는 보통 \(A^\dagger\)를 사용한다.)

 

DEFINITION            Inner Product

 

Vector space \(V\)에 대하여 함수

$$ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle : V\times V \to \mathbb{C} $$

가

 

1. Conjegate symmetry :

$$ \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle=\overline{\left\langle \mathbf{y} , \mathbf{x} \right\rangle} $$

 

2. Linearity in the first argument :

$$ \left\langle a\mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle=a\left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle $$

$$ \left\langle \mathbf{x}+\mathbf{y} , \mathbf{z} \right\rangle=\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \right\rangle+\left\langle \mathbf{y} , \mathbf{z} \right\rangle $$

 

3. Positive-definiteness :

$$ \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \right\rangle \ge 0 $$

$$ \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \right\rangle=0~\Longleftrightarrow~\mathbf{x}=\mathbf{0} $$

를 만족하는 경우 \(\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle\)를 innner product라고 부른다.

 

1번 성질과 2번 성질을 결합하면,

$$ \left\langle \mathbf{x} , a\mathbf{y} \right\rangle=\overline{\left\langle a\mathbf{y} , \mathbf{x} \right\rangle}=\overline{a\left\langle \mathbf{y} , \mathbf{x} \right\rangle}=\overline{a}\left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle $$

임을 알 수 있다. 만약 scalar가 real number인 경우 위의 성질은 공간 벡터의 내적의 성질과 완전히 동일해 진다. 따라서 inner product가 공간 벡터의 일반화된 개념임을 알 수 있다.

 

양자역학의 bra-ket notation \(\left\langle \mathbf{x} | \mathbf{y} \right\rangle\)은 inner product의 2번 성질이 첫번째 인수가 아니라 두번째 인수에 정의되어 있다.

$$ \left\langle \mathbf{x} | a\mathbf{y} \right\rangle=a\left\langle \mathbf{x} | \mathbf{y} \right\rangle $$

이 두 개념은 다른 개념이 아니고 그냥 인수의 순서만 바뀐 것으로 같은 개념이다. 여기에서는 일단 위의 정의를 따르고 양자역학을 다룰 때만 bra-ket notation으로 다시 정의하여 논의할 것이다.

 

Vector space에 inner product가 정의된 경우 그 집합을 inner product space 라고 부른다.

 

 

Examples

 

1. Real Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)(scalar는 real number)의 vector

$$ \mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n) $$

$$ \mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_n) $$

에 대하여

$$ \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle =\sum_{i=1} ^n x_iy_i $$

는 inner product가 된다.

 

 

2. Complex Euclidean space \(\mathbb{C}^n\)의 vector

$$ \mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n) $$

$$ \mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_n) $$

에 대하여

$$ \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle =\sum_{i=1} ^n x_i\overline{y}_i $$

는 inner product가 된다.

 

 

3. \(n\)-dimensional vector space \(V\)는 \(\mathbb{C}^n\)과 isomorphic하므로 이를 이용해 inner product를 정의할 수 있다. \(V\)의 basis를

$$ \mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n\} $$

라고 하면, isomorphism

$$ f(\mathbf{e}_1)=(1,0,\cdots,0) $$

$$ f(\mathbf{e}_2)=(0,1,\cdots,0) $$

$$ \vdots $$

$$ f(\mathbf{e}_n)=(0,0,\cdots,1) $$

을 이용하여

$$ \mathbf{x}=\sum_{i=1}^n x_i\mathbf{e}_i $$

$$ \mathbf{y}=\sum_{i=1}^n y_i\mathbf{e}_i $$

에 대하여

$$ \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle = \left\langle f(\mathbf{x}) , f(\mathbf{y}) \right\rangle=\sum_{i=1}^n x_i\overline{y}_i $$

로 정의하면 inner product가 된다.

 

 

4. \(n\times n\) complex matrices space에 대하여

$$ \left\langle A , B \right\rangle=\mathrm{tr}(B^*A) $$

은 inner product가 된다. \(n\times n\) complex matrices space는 \(n^2\)-dimensional vector space이므로 3번 예제와 같은 inner product도 정의할 수 있다. 이처럼 하나의 vector space에 하나의 inner product만 가능한 것이 아니고 여러 방법으로 정의할 수 있다.

 

 

5. 정의역 \(X=[a,b]\)에서 \(\left|f(x)\right|^2\)가 적분 가능한 함수 \(f:X\to\mathbb{C}\)의 집합은

$$ \int_X \left| f(x)+g(x) \right|^2~dx \le 2\left(\int_X \left|f(x)\right|^2~dx+\int_X \left|g(x)\right|^2~dx\right) $$

라는 사실로부터 vector space가 된다. 이를 square integrable space \(\mathcal{L}^2\)(또는 Lebesgue space)라고 한다.

$$ \mathcal{L}^2=\left\{f:X\to\mathbb{C} ~\left|~ \int_X \left|f(x)\right|^2~dx \le\infty \right.\right\} $$

\(\mathcal{L}^2\)에서

$$ \left\langle f,g \right\rangle=\int_X f(x)\overline{g(x)}dx $$

로 정의하면,

 

① 함수 \(f\)의 real part를 \(\mathfrak{R}(f)\), imaginary part를 \(\mathfrak{I}(f)\)라고 하면,

$$ f=\mathfrak{R}(f)+i\mathfrak{I}(f) $$

$$ g=\mathfrak{R}(g)+i\mathfrak{I}(g) $$

로 부터

 

               \( \left\langle f,g \right\rangle = \int_X f(x)\overline{g(x)}dx = \int_X \{\mathfrak{R}(f)+i\mathfrak{I}(f)\} \{\mathfrak{R}(g)-i\mathfrak{I}(g) \}dx \)

(공백)

                         \( = \int_X \{ \mathfrak{R}(f)\mathfrak{R}(g)+\mathfrak{I}(f)\mathfrak{I}(g)\}+i\int_X \{\mathfrak{I}(f)\mathfrak{R}(g)-\mathfrak{R}(f)\mathfrak{I}(g)\} \)

(공백)

                         \( = \overline{\int_X \{ \mathfrak{R}(f)\mathfrak{R}(g)+\mathfrak{I}(f)\mathfrak{I}(g)\}-i\int_X \{\mathfrak{I}(f)\mathfrak{R}(g)-\mathfrak{R}(f)\mathfrak{I}(g)\}} \)

(공백)

                         \( = \overline{\int_X \{\mathfrak{R}(f)-i\mathfrak{I}(f)\} \{\mathfrak{R}(g)+i\mathfrak{I}(g) \}dx} = \overline{\int_X g(x)\overline{f(x)}dx}=\overline{\left\langle g,f \right\rangle} \)

 

이다.

 

② 적분의 성질로부터

$$ \left\langle a\cdot f,g \right\rangle=a\left\langle f,g \right\rangle $$

$$ \left\langle f+g,h \right\rangle=\left\langle f,h \right\rangle+\left\langle g,h \right\rangle $$

를 얻을 수 있다.

 

③

$$ f(x)\overline{f(x)}=\left|f(x)\right|^2 \ge 0 $$

이므로

$$ \left\langle f,f \right\rangle =\int_X \left|f(x)\right|^2dx \ge 0 $$

이다. 문제가 될 수 있는 것은

$$ \left\langle f,f \right\rangle=0 ~\longleftrightarrow~ f=0 $$

이다. 예를 들어,

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{} 1 & \mathrm{for~}x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. $$

의 \(\left\langle f,f \right\rangle=0\)이지만 \(f\ne 0\)이다. 사실 \(\mathcal{L}^2\)에 적분론의 almost everywhere 개념을 이용하여 square integrable space \(L^2\)를 재정의한다.((선형대수학) 5.3 \(L^2\) Space 참고) 물리학과 학부 수준에서는 보통 연속함수를 다루므로 이러한 경우는 신경 쓰지 않아도 된다.

 

이를 종합하면,

$$ \left\langle f,g \right\rangle=\int_X f(x)\overline{g(x)}dx $$

가 \(L^2\)에서의 inner product임을 알 수 있다.