(선형대수학) 3.6 Triangular Form

Finite-dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(D\)가 diagonalizable하면 \(D\)의 matrix 표현이

$$ [D]=\begin{bmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c \end{bmatrix} $$

가 되는 \(V\)의 basis \(\mathcal{B}\)가 존재한다. 그러나 linear operator가 diagonalizable하지 않을 경우 위와 같은 형태로 표현할 수 없다. 그렇다면 일반적인 linear operator의 경우 어느정도로 심플한 matrix 표현이 가능한지 앞으로 몇 페이지에 걸쳐 살펴볼 것이다.

 

이번 페이지에서는 upper traingular matrix 표현

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

이 어떤 경우에 가능한지 알아보자. 만약 linear operator \(T\)가 위와 같은 형태의 matrix 표현이 되는 basis가 존재한다면 \(T\)가 triangulable하다고 부른다. 결론부터 이야기하자면 scalar가 complex number라면 모든 linear operator는 triangulable하다.

 

일단 triangulable linear operator \(T\)의 characteristic polynomial \(f(x)\)를 구하면

$$ f(x)=\det{(xI-T)}=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{mm}) $$

이 때 \(a_{ii}\)들은 같은 값을 가질 수 있으므로 구별되는 값 \(c_j\)들로 표현하면

$$ f(x)=(x-c_1)^{d_1}(x-c_2)^{d_2}\cdots(x-c_k)^{d_k} $$

가 된다. 따라서 Cayley-Hamilton Theorem(Minimal Polynomial 참조)에 의해 minimal polynomial \(p(x)\)는

$$ p(x)=(x-c_1)^{r_1}(x-c_2)^{r_2}\cdots(x-c_k)^{r_k}~,~r_i\le d_i $$

가 된다. (만약 \(r_1=r_2=\cdots=r_k=1\)이라면 \(T\)는 diagonalizable이다.) 즉, \(T\)가 triangulable이면 minimal polynomial은 1차 다항식들의 곱으로 표현된다.

 

 

위 명제의 역, linear operator의 minimal polynomial이 1차 다항식들의 곱으로 표현되는 경우 triangulable이다는 것도 성립한다.

 

만약 \(T\)가 위와 같은 minimal polynomial \(p(x)\)를 가진다면, \(V\)의 subspace \(W_0=\{\mathbf{0}\}\)에 대하여

 

① \(\mathbf{v} \notin W_0 \) 이고

 

② 어떤 scalar \(c\)에 대하여 \((T-cI)\mathbf{v} \in W_0 \)

 

인 \(\mathbf{v}\)가 반드시 존재한다. 그 이유는 \(W_0\)가 \(T\)에 대하여 invariant하기 때문에 \(W_0\)에 없는 vector \(\mathbf{s}\)에 대하여 polynomial \(g(x)\)가

$$ g(T)\mathbf{s} \in W_0 $$

를 만족하는 최소 차수의 다항식이라면, \(p(T)\mathbf{s} \in W_0 \)이므로 \(g(x)\)가 \(p(x)\)를 나눌 수 있어야 한다.(\(g(x)\)는 subring의 ideal, --page link-- 참조) 따라서

$$ g(x)=(x-c_1)^{m_1}(x-c_2)^{m_2}\cdots(x-c_k)^{m_k} $$

가 된다. polynomial \(h(x)\)를

$$ g(x)=(x-c)h(x) $$

만족하는 것으로 잡으면, 새로운 vector \(\mathbf{v}\)를

$$ \mathbf{v}=h(T)\mathbf{s} $$

로 정의함으로써

$$ \mathbf{v} \notin W_0 ~,~ (T-cI)\mathbf{v}=g(T)\mathbf{s} \in W_0 $$

를 만족하게 된다. 그러한 성질을 만족하는 vector \(\mathbf{e}_1\)을 뽑는다.(scalar는 \(a_{11}\)이라고 하자.) 이제 \(\mathbf{e}_1\)에 의해 span되는 subspace \(W_1\)은 \((T-a_{11}I)\mathbf{e}_1=\mathbf{0}\), 즉

$$ T\mathbf{e}_1=a_{11}\mathbf{e}_1 $$

로부터 \(T\)에 대하여 invariant함을 알 수 있다. 따라서 위의 성질을 만족하는 vector \(\mathbf{e}_2\)가 존재한다. 같은 방식으로

$$ (T-a_{22}I)\mathbf{e}_2 = a_{12}\mathbf{e}_1 $$

즉,

$$ T\mathbf{e}_2=a_{12}\mathbf{e}_1+a_{22}\mathbf{e}_2 $$

이고, \(\mathbf{e}_1\)과 \(\mathbf{e}_2\)에 의해 span되는 subspace \(W_2\)가 \(T\)에 대하여 invariant함을 알 수 있다. 이러한 방식으로 선택된 basis

$$ \mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n\} $$

는

$$ T\mathbf{e}_i=a_{1i}\mathbf{e}_1+a_{2i}\mathbf{e}_2+\cdots+a_{ii}\mathbf{e}_i $$

를 만족하게 된다. 따라서

$$ [T]=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

가 된다.

 

THEOREM            Triangulable Operators

 

Finite dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(T\)에 대하여

 

\(T\)는 triangulable \(\Longleftrightarrow\) \(T\)의 minimal polynomial이 1차 다항식들의 곱으로 표현됨

 

Scalar가 complex number인 경우 algebraically closed, 즉 모든 다항식은 1차 다항식들로 인수분해 가능하므로 characteristic polynomial은 1차 다항식들의 곱으로만 이뤄지고 Cayley-Hamilton theorem에 의해 minimal polynomial도 1차 다항식들의 곱으로만 이뤄진다. 따라서 모든 linear operator는 triangulable하다는 결론을 얻게 된다.