(선형대수학) 3.6 Triangular Form

Finite-dimensional vector space $V$의 linear operator $D$가 diagonalizable하면 $D$의 matrix 표현이

$$[D]=\left[\begin{array}{cccc}a& 0& \cdots & 0\\ 0& b& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c\end{array}\right]$$

가 되는 $V$의 basis $\mathcal{B}$가 존재한다. 그러나 linear operator가 diagonalizable하지 않을 경우 위와 같은 형태로 표현할 수 없다. 그렇다면 일반적인 linear operator의 경우 어느정도로 심플한 matrix 표현이 가능한지 앞으로 몇 페이지에 걸쳐 살펴볼 것이다.

 

이번 페이지에서는 upper traingular matrix 표현

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

이 어떤 경우에 가능한지 알아보자. 만약 linear operator $T$가 위와 같은 형태의 matrix 표현이 되는 basis가 존재한다면 $T$가 triangulable하다고 부른다. 결론부터 이야기하자면 scalar가 complex number라면 모든 linear operator는 triangulable하다.

 

일단 triangulable linear operator $T$의 characteristic polynomial $f(x)$를 구하면

$$f(x)=det(xI-T)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{mm})$$

이 때 $a_{ii}$들은 같은 값을 가질 수 있으므로 구별되는 값 $c_j$들로 표현하면

$$f(x)=(x-c_1{)}^{d_1}(x-c_2{)}^{d_2}\cdots (x-c_k{)}^{d_k}$$

가 된다. 따라서 Cayley-Hamilton Theorem(Minimal Polynomial 참조)에 의해 minimal polynomial $p(x)$는

$$p(x)=(x-c_1{)}^{r_1}(x-c_2{)}^{r_2}\cdots (x-c_k{)}^{r_k},r_i\le d_i$$

가 된다. (만약 $r_1=r_2=\cdots =r_k=1$이라면 $T$는 diagonalizable이다.) 즉, $T$가 triangulable이면 minimal polynomial은 1차 다항식들의 곱으로 표현된다.

 

 

위 명제의 역, linear operator의 minimal polynomial이 1차 다항식들의 곱으로 표현되는 경우 triangulable이다는 것도 성립한다.

 

만약 $T$가 위와 같은 minimal polynomial $p(x)$를 가진다면, $V$의 subspace $W_0=\{\mathbf{0}\}$에 대하여

 

① $\mathbf{v}\notin W_0$ 이고

 

② 어떤 scalar $c$에 대하여 $(T-cI)\mathbf{v}\in W_0$

 

인 $\mathbf{v}$가 반드시 존재한다. 그 이유는 $W_0$가 $T$에 대하여 invariant하기 때문에 $W_0$에 없는 vector $\mathbf{s}$에 대하여 polynomial $g(x)$가

$$g(T)\mathbf{s}\in W_0$$

를 만족하는 최소 차수의 다항식이라면, $p(T)\mathbf{s}\in W_0$이므로 $g(x)$가 $p(x)$를 나눌 수 있어야 한다.($g(x)$는 subring의 ideal, --page link-- 참조) 따라서

$$g(x)=(x-c_1{)}^{m_1}(x-c_2{)}^{m_2}\cdots (x-c_k{)}^{m_k}$$

가 된다. polynomial $h(x)$를

$$g(x)=(x-c)h(x)$$

만족하는 것으로 잡으면, 새로운 vector $\mathbf{v}$를

$$\mathbf{v}=h(T)\mathbf{s}$$

로 정의함으로써

$$\mathbf{v}\notin W_0,(T-cI)\mathbf{v}=g(T)\mathbf{s}\in W_0$$

를 만족하게 된다. 그러한 성질을 만족하는 vector ${\mathbf{e}}_1$을 뽑는다.(scalar는 $a_{11}$이라고 하자.) 이제 ${\mathbf{e}}_1$에 의해 span되는 subspace $W_1$은 $(T-a_{11}I){\mathbf{e}}_1=\mathbf{0}$, 즉

$$T{\mathbf{e}}_1=a_{11}{\mathbf{e}}_1$$

로부터 $T$에 대하여 invariant함을 알 수 있다. 따라서 위의 성질을 만족하는 vector ${\mathbf{e}}_2$가 존재한다. 같은 방식으로

$$(T-a_{22}I){\mathbf{e}}_2=a_{12}{\mathbf{e}}_1$$

즉,

$$T{\mathbf{e}}_2=a_{12}{\mathbf{e}}_1+a_{22}{\mathbf{e}}_2$$

이고, ${\mathbf{e}}_1$과 ${\mathbf{e}}_2$에 의해 span되는 subspace $W_2$가 $T$에 대하여 invariant함을 알 수 있다. 이러한 방식으로 선택된 basis

$$\mathcal{B}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\}$$

는

$$T{\mathbf{e}}_i=a_{1i}{\mathbf{e}}_1+a_{2i}{\mathbf{e}}_2+\cdots +a_{ii}{\mathbf{e}}_i$$

를 만족하게 된다. 따라서

$$[T]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

가 된다.

 

THEOREM            Triangulable Operators

 

Finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$에 대하여

 

$T$는 triangulable $⟺$ $T$의 minimal polynomial이 1차 다항식들의 곱으로 표현됨

 

Scalar가 complex number인 경우 algebraically closed, 즉 모든 다항식은 1차 다항식들로 인수분해 가능하므로 characteristic polynomial은 1차 다항식들의 곱으로만 이뤄지고 Cayley-Hamilton theorem에 의해 minimal polynomial도 1차 다항식들의 곱으로만 이뤄진다. 따라서 모든 linear operator는 triangulable하다는 결론을 얻게 된다.