(선형대수학) 3.4 Minimal Polynomial

Finite vector space $V$의 linear operator $T$가 diagonalizable하고 구별되는 eigenvalue $c_1$, $c_2$, ..., $c_k$를 가지는 경우 matrix 표현이, 예를 들어 $c_1$에 대한 eigenspace의 dimension이 2인 경우,

$$\left[\begin{array}{ccccc}{c}_1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& c_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& c_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & c_k\end{array}\right]$$

가 되는 basis가 존재한다. 이 basis에서 $T-c_{1}I$의 matrix 표현은

$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& c_2-c_1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & c_k-c_1\end{array}\right]$$

이므로

$$(T-c_{1}I)(T-c_{2}I)\cdots (T-c_{k}I)=0$$

을 만족한다. 만약 다항식 $f(x)$가

$$f(x)=(x-c_1)(x-c_2)\cdots (x-c_k)$$

라면

$$f(T)=(T-c_1)(T-c_2)\cdots (T-c_k)=0$$

이 된다. 이 polynomial에서 한 인수만 없어도 $T$를 대입했을 때 0이 되지 않는다. 이렇게 $T$를 대입했을 때 0이 되는 최소 차수의 다항식을 minimal polynomial이라고 한다.

 

DEFINITION            Minimal Polynomial

 

Finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$에 대하여 $f(T)=0$을 만족하는 최소 차수의 다항식 $f(x)$를 $T$에 대한 minimal polynomial이라고 한다.

 

보통 minimal polynomial의 인수들을 최대 차수의 계수가 1이 되도록 잡는것이 일반적이다. 위에서 본 바와 같이 $T$가 diagonalizable하면, minimal polynomial이 eigenvalue들만을 해로하는 다항식

$$f(x)=(x-c_1)(x-c_2)\cdots (x-c_k)$$

가 된다. 반대의 경우도 성립하는가? 선형대수학 정리에 의하면 linear opeartor $T$의 minimal polynomial이 위와 같은 형태일 경우 $T$는 diagonalizable하다. 다음과 같은 polynomial

$$p_i(x)={\mathrm{\Pi }}_{i\ne j}\frac{x-c_i}{c_j-c_i}$$

를 생각해보자. 그러면,

$$1=p_1+p_2+\cdots +p_k$$

$$x=c_1{p}_1+c_2{p}_2+\cdots +c_k{p}_k$$

를 만족하게된다. 더 일반적으로 k-1 차 이하의 다항식 $g(x)$에 대하여

$$g(x)=g(c_1)p_1+g(c_2)p_2+\cdots +g(c_k)p_k$$

를 만족한다. 이제 linear operator $P_i=p_i(T)$로 정의하자. 위의 식으로부터

$$I=P_1+P_2+\cdots +P_k$$

$$T=c_1{P}_1+c_2{P}_2+\cdots +c_k{P}_k$$

를 얻는다. 게다가 $i\ne j$이면 $p_i{p}_j$는 minimal polynomial $f(x)$로 나눠지므로

$$P_i{P}_j=0$$

이다. (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition의 결론에 의하면, $P_i$는 eigenspace로의 projection이 되고 $V$는 이러한 eigenspace의 direct sum이 된다. 그러므로 $T$는 diagonalizable하다.

 

일반적인 linear operator의 경우 diagonalizable임을 확인하기 위해 minimal polynomial을 구해야 하는데, minimal polynomial의 해가 eigenvalue가 아닌 것이 있는지가 문제가 된다. 그러나 선형대수학 정리는 minimal polynomial의 해가 항상 eigenvalue이며 또한 모든 eigenvalue를 포함해야 한다는 것을 보여준다.

 

THEOREM            Cayley-Hamilton Theorem

 

Finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$에 대하여 characteristic polynomial과 minimal polynomial은 같은 해를 가지고 minimal polynomial이 characteristic polynomial을 나눈다. 즉, $T$의 characteristic polynomial $p(x)$가

$$p(x)=(x-c_1{)}^{d_1}(x-c_2{)}^{d_2}\cdots (x-c_k{)}^{d_k}$$

의 형태이면 minimal polynomial $f(x)$는

$$f(x)=(x-c_1{)}^{r_1}(x-c_2{)}^{r_2}\cdots (x-c_k{)}^{r_k},1\le r_i\le d_i$$

이다.

 

따라서 finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$가 구별되는 eigenvalue $c_1$, $c_2$, ..., $c_k$를 가지는 경우

 

$T$가 diagonalizable 하다 $⟵$ $T$의 minimal polynomial이 $(x-c_1)(x-c_2)\cdots (x-c_k)$이다.

 

가 된다.