(선형대수학) 3.1 Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace

(선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations에서 보았듯이, Linear operator는 vector space의 basis가 주어지면 matrix로 표현될 수 있다. Basis를 어떻게 선택하느냐에 따라서 계산에 편리한 matrix 표현을 얻을 수도 있고 복잡한 표현을 얻을 수도 있다. 가장 간단한 matrix 형태는

$$\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& c_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c_n\end{array}\right]$$

일 것이다. 모든 linear operator는 위와 같은 형태의 matrix로 표현할 수 있는가? 모든 linear operator가 될 수 없다면, 어떤 linear operator가 가능한가? 어떤 basis에서 그런 matrix가 되는가? 등이 앞으로 몇 페이지에 걸쳐 논의할 내용이다.

 

 

Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace

 

Linear operator $T$가 위와 같은 형태가 되기 위해서는 basis vector ${\mathbf{e}}_k$에 대하여,
$$T{\mathbf{e}}_k=c_k{\mathbf{e}}_k$$

이어야 한다. 이렇게 linear operator가 작용하면 본래 vector의 scalar multiplication이 되는 성질을 가진 vector들을 eigenvector라고 부른다.

 

DEFINITION            Eigevalue, Eigenvector

 

Vector space $V$의 linear operator $T$에 대하여 0-vector가 아닌 vector $\mathbf{v}$가

$$T\mathbf{v}=c\mathbf{v}$$

이면, scalar $c$를 $T$의 eigenvalue라고 부르고, $\mathbf{v}$를 eigenvalue $c$에 대한 $T$의 eigenvector라고 부른다.

 

$\mathbf{v}$가 eigenvalue $c$에 대한 $T$의 eigenvector이면 $\mathbf{v}$에 scalar multiplication을 한 vector도 eigenvector가 된다.

$$T(k\mathbf{v})=k(T\mathbf{v})=k(c\mathbf{v})=c(k\mathbf{v})$$

또한 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 eigenvalue $c$에 대한 $T$의 eigenvector이면 이들의 addtion도 eigenvector가 된다.

$$T(\mathbf{v}+\mathbf{w})=T\mathbf{v}+T\mathbf{w}=c\mathbf{v}+c\mathbf{w}=c(\mathbf{v}+\mathbf{w})$$

따라서 eigenvalue $c$에 대한 $T$의 eigenvector들의 집합(0-vector 포함)은 $V$의 subspace가 된다. 이 space를 eigenspace라고 부른다.

 

DEFINITION            Eigenspace

 

Eigenvalue $c$에 대한 $T$의 eigenvector들의 집합을 (eigenvalue $c$에 대한 $T$의) eigenspace라고 부른다.

 

Identity operator를 $I$라고 하면, 위 식으로부터
$$(T-cI)\mathbf{v}=0$$

가 되어야 한다. 위 정의에서 $\mathbf{v}$는 0-vector가 아니므로 $(T-cI)$는 역함수가 존재하지 않아야 한다. (만약 역함수가 존재한다면, $\mathbf{v}=(T-cI{)}^{-1}0=0$이 된다.) 그러므로 linear operator의 역함수가 존재하지 않을 조건

$$det(T-cI)=0$$

를 만족해야 한다. Linear operator의 determinant는 행렬 표현의 determinant와 같으므로 이 조건은

$$det([T]-c[I])=0$$

와 같다. 이로부터 matrix의 eigenvalue는 위 식을 만족하는 scalar $c$로 정의한다.

따라서 $x$에 대한 방정식

$$det(T-xI)=0$$

의 해가 $T$의 eigenvalue이다. 다항식

$$f(x)=det(T-xI)$$

를 특별히 charateristic polynomial of $T$이라고 부른다.

 

 

Examples

 

 

1. ${\mathbb{R}}^2$의 linear operator $T$가

$$T(x,y)=(x+2y,3x+2y)$$

로 주어졌을 때, eigenvalue, eigenvector를 구하기 위해, 정의로부터

$$T(a,b)=(a+2b,3a+2b)=c(a,b)=(ca,cb)$$

즉,

$$a+2b=ca$$

$$3a+2b=cb$$

를 만족해야 한다. 그러나 $(a,b)\ne (0,0)$이므로

$$(1-c)a+2b=0$$

$$3a+(2-c)b=0$$

의 해가 무수히 많을 조건

$$det\left[\begin{array}{cc}1-c& 2\\ 3& 2-c\end{array}\right]=0$$

을 풀면, $c$는 -1 또는 4이다. Eigenvector를 구하기 위해

$$(1-c)a+2b=0$$

에 eigenvalue를 대입하면, $c$가 -1인 경우

$$a=-b$$

$c$가 4인 경우

$$3a=2b$$

가 된다. 정리하면,

 

$(a,-a)$ 형태의 vector, 예를 들어 $(1,-1)$은 eigenvalue -1에 대한 eigenvector이고

 

$(a,\frac{3a}{2})$의 형태의 vector, 예를 들어 $(1,\frac{3}{2})$은 eigenvalue 4에 대한 eigenvector이다.

 

Eigenvalue -1에 대하여 eigenvector는 $(1,-1)$만 있는것이 아니라, $(a,-a)$ 형태의 모든 vector들이 eigenvector가 된다. Eigenvalue의 정의를 처음보면, 하나의 eigenvalue에 하나의 eigenvector만 있는 것처럼 보일 수 있으나 실제로는 eigenvector들로 subspace를 만들 수 있을만큼 많다.

 

Eigenvalue를 구하는 경우 위와 같이 정의를 이용해도 되지만, $T$의 matrix representation

$$[T]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right]$$

을 이용해, charateristic polynomial

$$det([T]-c[I])=det\left[\begin{array}{cc}1-c& 2\\ 3& 2-c\end{array}\right]$$

으로부터 얻을 수도 있다.(식은 결국 같다.)

 

 

2. Eigenvalue가 없는 linear operator도 있다. Field(scalar의 집합, (선형대수학) 1.1 Vector Space 참고)를 $\mathbb{R}$이라고 하자. linear operator $T$의 matrix representation이

$$[T]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$$

인 경우, charateristic polynomial은

$$f(x)=det(T-xI)=x^2+1$$

이 된다. 그러나 $x^2+1=0$을 만족하는 scalar(실수)는 존재하지 않는다. 따라서 $T$의 eigenvalue는 존재하지 않는다. 만약 field가 complex number와 같이 algebraically closed(모든 다항식을 1차 다항식만의 곱으로 인수분해 할 수 있는 성질)인 경우에는 반드시 eigenvalue가 존재한다.