(선형대수학) 3.1 Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace

(선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations에서 보았듯이, Linear operator는 vector space의 basis가 주어지면 matrix로 표현될 수 있다. Basis를 어떻게 선택하느냐에 따라서 계산에 편리한 matrix 표현을 얻을 수도 있고 복잡한 표현을 얻을 수도 있다. 가장 간단한 matrix 형태는

$$ \begin{bmatrix} c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} $$

일 것이다. 모든 linear operator는 위와 같은 형태의 matrix로 표현할 수 있는가? 모든 linear operator가 될 수 없다면, 어떤 linear operator가 가능한가? 어떤 basis에서 그런 matrix가 되는가? 등이 앞으로 몇 페이지에 걸쳐 논의할 내용이다.

 

 

Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace

 

Linear operator \(T\)가 위와 같은 형태가 되기 위해서는 basis vector \(\mathbf{e}_k\)에 대하여,
$$ T\mathbf{e}_k=c_k\mathbf{e}_k $$

이어야 한다. 이렇게 linear operator가 작용하면 본래 vector의 scalar multiplication이 되는 성질을 가진 vector들을 eigenvector라고 부른다.

 

DEFINITION            Eigevalue, Eigenvector

 

Vector space \(V\)의 linear operator \(T\)에 대하여 0-vector가 아닌 vector \(\mathbf{v}\)가

$$ T\mathbf{v}=c\mathbf{v} $$

이면, scalar \(c\)를 \(T\)의 eigenvalue라고 부르고, \(\mathbf{v}\)를 eigenvalue \(c\)에 대한 \(T\)의 eigenvector라고 부른다.

 

\(\mathbf{v}\)가 eigenvalue \(c\)에 대한 \(T\)의 eigenvector이면 \(\mathbf{v}\)에 scalar multiplication을 한 vector도 eigenvector가 된다.

$$ T(k\mathbf{v})=k(T\mathbf{v})=k(c\mathbf{v})=c(k\mathbf{v}) $$

또한 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)가 eigenvalue \(c\)에 대한 \(T\)의 eigenvector이면 이들의 addtion도 eigenvector가 된다.

$$ T(\mathbf{v}+\mathbf{w})=T\mathbf{v}+T\mathbf{w}=c\mathbf{v}+c\mathbf{w}=c(\mathbf{v}+\mathbf{w}) $$

따라서 eigenvalue \(c\)에 대한 \(T\)의 eigenvector들의 집합(0-vector 포함)은 \(V\)의 subspace가 된다. 이 space를 eigenspace라고 부른다.

 

DEFINITION            Eigenspace

 

Eigenvalue \(c\)에 대한 \(T\)의 eigenvector들의 집합을 (eigenvalue \(c\)에 대한 \(T\)의) eigenspace라고 부른다.

 

Identity operator를 \(I\)라고 하면, 위 식으로부터
$$ (T-cI)\mathbf{v}=0 $$

가 되어야 한다. 위 정의에서 \(\mathbf{v}\)는 0-vector가 아니므로 \((T-cI)\)는 역함수가 존재하지 않아야 한다. (만약 역함수가 존재한다면, \(\mathbf{v}=(T-cI)^{-1}0=0\)이 된다.) 그러므로 linear operator의 역함수가 존재하지 않을 조건

$$ \det{(T-cI)}=0 $$

를 만족해야 한다. Linear operator의 determinant는 행렬 표현의 determinant와 같으므로 이 조건은

$$ \det{([T]-c[I])}=0 $$

와 같다. 이로부터 matrix의 eigenvalue는 위 식을 만족하는 scalar \(c\)로 정의한다.

따라서 \(x\)에 대한 방정식

$$ \det{(T-xI)}=0 $$

의 해가 \(T\)의 eigenvalue이다. 다항식

$$ f(x)=\det{(T-xI)} $$

를 특별히 charateristic polynomial of \(T\)이라고 부른다.

 

 

Examples

 

 

1. \(\mathbb{R}^2\)의 linear operator \(T\)가

$$ T(x,y)=(x+2y,3x+2y) $$

로 주어졌을 때, eigenvalue, eigenvector를 구하기 위해, 정의로부터

$$ T(a,b)=(a+2b,3a+2b)=c(a,b)=(ca,cb) $$

즉,

$$ a+2b=ca $$

$$ 3a+2b=cb $$

를 만족해야 한다. 그러나 \((a,b)\ne (0,0)\)이므로

$$ (1-c)a+2b=0 $$

$$ 3a+(2-c)b=0 $$

의 해가 무수히 많을 조건

$$ \det\begin{bmatrix} 1-c & 2 \\ 3 & 2-c \end{bmatrix} = 0 $$

을 풀면, \(c\)는 -1 또는 4이다. Eigenvector를 구하기 위해

$$ (1-c)a+2b=0 $$

에 eigenvalue를 대입하면, \(c\)가 -1인 경우

$$ a=-b $$

\(c\)가 4인 경우

$$ 3a=2b $$

가 된다. 정리하면,

 

\((a,-a)\) 형태의 vector, 예를 들어 \((1,-1)\)은 eigenvalue -1에 대한 eigenvector이고

 

\((a,\frac{3a}{2})\)의 형태의 vector, 예를 들어 \((1,\frac{3}{2})\)은 eigenvalue 4에 대한 eigenvector이다.

 

Eigenvalue -1에 대하여 eigenvector는 \((1,-1)\)만 있는것이 아니라, \((a,-a)\) 형태의 모든 vector들이 eigenvector가 된다. Eigenvalue의 정의를 처음보면, 하나의 eigenvalue에 하나의 eigenvector만 있는 것처럼 보일 수 있으나 실제로는 eigenvector들로 subspace를 만들 수 있을만큼 많다.

 

Eigenvalue를 구하는 경우 위와 같이 정의를 이용해도 되지만, \(T\)의 matrix representation

$$ [T]=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} $$

을 이용해, charateristic polynomial

$$ \det{([T]-c[I])}=\det\begin{bmatrix} 1-c & 2 \\ 3 & 2-c \end{bmatrix} $$

으로부터 얻을 수도 있다.(식은 결국 같다.)

 

 

2. Eigenvalue가 없는 linear operator도 있다. Field(scalar의 집합, (선형대수학) 1.1 Vector Space 참고)를 \(\mathbb{R}\)이라고 하자. linear operator \(T\)의 matrix representation이

$$ [T]=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $$

인 경우, charateristic polynomial은

$$ f(x)=\det{(T-xI)}=x^2+1 $$

이 된다. 그러나 \(x^2+1=0\)을 만족하는 scalar(실수)는 존재하지 않는다. 따라서 \(T\)의 eigenvalue는 존재하지 않는다. 만약 field가 complex number와 같이 algebraically closed(모든 다항식을 1차 다항식만의 곱으로 인수분해 할 수 있는 성질)인 경우에는 반드시 eigenvalue가 존재한다.