(선형대수학) 3.7 Primary Decomposition Theorem

$n$-dimensional vector space $V$의 linear operator $T$가 diagonalizable하다면, $T$의 minimal polynomial $p(x)$는 $T$의 eigenvalue들이 해가되는 1차 다항식들의 곱이 되고

$$p(x)=(x-c_1)\cdots (x-c_k)$$

$V$는 eigenvalue $c_i$에 대한 eigenspace

$$W_i=\{\mathbf{v}\in V|T\mathbf{v}=c_i\mathbf{v}\}$$

의 direct sum이 된다.

$$V=W_1\oplus \cdots \oplus W_k$$

$W_i$의 vector $\mathbf{v}$는 $T\mathbf{v}=c_i\mathbf{v}$이므로

$$(T-c_{i}I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$$

즉, $W_i$는 $(T-c_{i}I)$의 null space가 된다.((선형대수학) 2.6 Kernel of Linear Transformation 참고) 이 사실들을 종합하면, linear operator $T$가 diagonalizable하면, $V$는 minimal polynomial $p(T)$의 인수 (T-c_i I)의 null space들의 direct sum이 된다.

 

Diagonalizable하지 않은 일반적인 linear operator의 경우 minimal polynomial은 eigenvalue들을 해로 가지는 1차 다항식들의 곱으로 표현되지 않는다. 그렇지만 $V$는 minimal polynomial의 인수로 만든 null space들의 direct sum으로 표현된다는 점은 여전히 성립한다. 이를 primary decomposition theorem이라고 부른다.

 

THEOREM            Primary Decomposition Theorem

 

Finite-dimensional vector space $V$의 linear operator $T$의 minimal polynomial $p$가 인수분해가 더이상 되지 않는 polynomial \(p_i)들의 곱

$$p=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_j}$$

로 표현된다고 하자. $W_i$를 $p_i(T{)}^{r_i}$의 null space라고 한다면

 

① $W_i$는 $T$에 대하여 invariant하고

 

② $V=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k$이다.

 

②로부터 $V$의 basis를 $W_i$들의 basis로 설정할 수 있으므로, ①에 의해 이 basis에서 $T$의 matrix 표현이 block matrix가 된다.

 

$[T]=\left[\begin{array}{cccc}{T}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& T_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & T_k\end{array}\right]$, $T_i$는 $m_i\times m_i$ matrix

 

이 때 block matrix의 크기 $m_i=\dim (W_i)$는 $r_i$와는 상관없는 값이다.

 

Primary Decomposition Theorem을 증명하는 것은 (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition에서 본 것과 같이 $W_i$를 image로 가지는 projection operator를 찾는 것이다. Polynomial

$$f_i=\frac{p}{p_i^{r_i}}$$

를 정의하면, 각 $f_i$들은 서로소이므로 서로소의 정의로부터

$$\sum _{i=1}^k{f}_i{g}_i=1$$

인 polynomial $g_i$들이 존재한다. 또한 $i\ne j$이면, $f_i{f}_j$는 $p$의 인수를 모두 포함하므로 $p$로 나누어진다. 이제 linear operator

$$P_i=f_i(T)g_i(T)$$

를 정의하면,

$$P_1+P_2+\cdots +P_k=\sum _{i=1}^k{f}_i(T)g_i(T)=I$$

$$P_i{P}_j=f_i(T)g_i(T)f_j(T)g_j(T)=0$$

이다. 또한 ${\mathbf{w}}_i\in W_i$라고 하면,

$$P_i{\mathbf{w}}_i={\mathbf{w}}_{\mathbf{i}}$$

$$P_j{\mathbf{w}}_i=\mathbf{0}$$

이다. 따라서 primary decomposition theorem은 성립한다.

 

만약 minimal polynomial가

$$p=(x-c_1{)}^{r_1}(x-c_2{)}^{r_2}\cdots (x-c_k{)}^{r_k}$$

와 같이 인수가 모두 1차 다항식이라면 characteristic polynomial은 minimal polynomial과 같은 해를 가지므로 $c_i$는 eigenvalue가 된다. 이제 eigenspace $W_i$로의 projection $E_i$를 이용해 새로운 linear operator

$$D=c_1{E}_1+c_2{E}_2+\cdots +c_k{E}_k$$

를 정의하면 $D$는 (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition의 결론에 의해 diagonalizable이 된다. 즉, eigenvalue $c_i$에 대한 eigenvector ${\mathbf{w}}_i\in W_i$에 대하여,

$$D{\mathbf{w}}_i=(c_1{E}_1+c_2{E}_2+\cdots +c_k{E}_k){\mathbf{w}}_i=c_i{\mathbf{w}}_i$$

이므로,

$$\begin{array}{}(m_1\times m_1)(m_2\times m_2)\cdots \\ [D]=\left[\begin{array}{cccccccc}{c}_1& & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & c_1& & & & & \\ & & & c_2& & & & \\ & & & & \ddots & & & \\ & & & & & c_2& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & c_k\end{array}\right]\end{array}$$

 

또 새로운 linear operator

$$N=T-D=T(E_1+\cdots +E_k)-D=(T-c_{1}I)E_1+\cdots +(T-c_{k}I)E_k$$

를 정의하면,

$$E_i{E}_i=E_i$$

$$E_i{E}_j=0$$

라는 점을 이용하여

$$N^r=(T-c_{1}I{)}^r{E}_1+\cdots +(T-c_{k}I{)}^r{E}_k$$

가 된다. 만약 $r$이 모든 $r_i$보다 크다면, $E_i$의 image가 $(T-c_{i}I{)}^{r_i}$의 null space이므로 $N^r=0$이 된다. 이렇게 승수를 했을 경우 0이 되는 operator를 nilpotent라고 부른다.

 

DEFINITION            Nilpotent Operators

 

Vector space $V$의 linear operator $T$에 대하여 $T^r=0$인 자연수 $r$이 존재하면 $T$를 nilpotent라고 부른다.

 

$N$을 위와 같이 정의하면, eigenvalue $c_i$에 대한 eigenvector ${\mathbf{w}}_i\in W_i$에 대하여, $N{\mathbf{w}}_i\in W_i$이므로 $N$의 matrix representation은 block diagonal matrix가 된다.

 

scalar가 complex number와 같이 algebraically closed 성질을 가진다면 모든 polynomial은 항상 1차 polynomial들로 인수분해 되므로 모든 linear operator $T$는 diagonalizable operator $D$와 nilpotent (block matrix) $N$으로 분해된다.

$$T=D+N$$