(선형대수학) 3.8 Jordan Normal Form

(선형대수학) 3.7 Primary Decomposition Theorem에 의하면, scalar가 complex number인 finite dimensional vector space \(V\)의 linear operator \(T\)는

① block matrix로 표현될 수 있고

② diagonalizable operator \(D\)와 nilpotent operator \(N\)의 합으로 표현된다.

 

Theorem의 증명 과정에서 사용한 projection operator를 이용하여 \(D\)와 \(N\)을 정의하였으므로 \(T\)가 block matrix로 표현되는 basis에서 \(D\)는 diagonal matrix로 표현되고 \(N\)은 block matrix로 표현된다. 이 페이지에서는 \(N\)의 matrix 표현이 좀 더 구체적으로 어떤 모양이 될 수 있는지 살펴볼 것이다.

 

 

(Jordan Normal Form 증명)

 

 

따라서 일반적인 linear operator \(T\)의 characteristic polynomial가

$$ p=(x-c_1)^{d_1}(x-c_2)^{d_2}\cdots(x-c_k)^{d_k} $$

라면

\([D]=\begin{bmatrix} D_1 & & & \\ & D_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & D_k \end{bmatrix}\)  ,  \([N]=\begin{bmatrix} N_1 & & & \\ & N_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & N_k \end{bmatrix}\)

이 때 \(D_i\), \(N_i\)는 \(d_i\times d_i\) matrix

\(D_i=\begin{bmatrix} c_i & & & & \\ & c_i & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & c_i & \\ & & & & c_i \end{bmatrix}\)  ,  \(N_i=\begin{bmatrix} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 0 \end{bmatrix}\)

가 되는 basis가 존재하므로

$$ [T]=[D]+[N]=\begin{bmatrix} T_1 & & & \\ & T_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & T_k \end{bmatrix}\ $$

\(T_i\)는 \(d_i\times d_i\) matrix

$$ T_i = \begin{bmatrix} c_i & 1 & & & \\ & c_i & 1 & & \\ & & \ddots & & \\ & & & c_i & 1 \\ & & & & c_i \end{bmatrix} $$

로 표현할 수 있다. 이 matrix 표현을 \(T\)의 Jodan normal form이라고 부른다.