(선형대수학) 3.8 Jordan Normal Form

(선형대수학) 3.7 Primary Decomposition Theorem에 의하면, scalar가 complex number인 finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$는

① block matrix로 표현될 수 있고

② diagonalizable operator $D$와 nilpotent operator $N$의 합으로 표현된다.

 

Theorem의 증명 과정에서 사용한 projection operator를 이용하여 $D$와 $N$을 정의하였으므로 $T$가 block matrix로 표현되는 basis에서 $D$는 diagonal matrix로 표현되고 $N$은 block matrix로 표현된다. 이 페이지에서는 $N$의 matrix 표현이 좀 더 구체적으로 어떤 모양이 될 수 있는지 살펴볼 것이다.

 

 

(Jordan Normal Form 증명)

 

 

따라서 일반적인 linear operator $T$의 characteristic polynomial가

$$p=(x-c_1{)}^{d_1}(x-c_2{)}^{d_2}\cdots (x-c_k{)}^{d_k}$$

라면

$[D]=\left[\begin{array}{cccc}{D}_1& & & \\ & D_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & D_k\end{array}\right]$  ,  $[N]=\left[\begin{array}{cccc}{N}_1& & & \\ & N_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & N_k\end{array}\right]$

이 때 $D_i$, $N_i$는 $d_i\times d_i$ matrix

$D_i=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_i& & & & \\ & c_i& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & c_i& \\ & & & & c_i\end{array}\right]$  ,  $N_i=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ & 0& 1& & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0& 1\\ & & & & 0\end{array}\right]$

가 되는 basis가 존재하므로

$$[T]=[D]+[N]=\left[\begin{array}{cccc}{T}_1& & & \\ & T_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & T_k\end{array}\right]$$

$T_i$는 $d_i\times d_i$ matrix

$$T_i=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_i& 1& & & \\ & c_i& 1& & \\ & & \ddots & & \\ & & & c_i& 1\\ & & & & c_i\end{array}\right]$$

로 표현할 수 있다. 이 matrix 표현을 $T$의 Jodan normal form이라고 부른다.